Appunti Matematica e statistica

SUCCESSIONI

Successione = lista ordinata e infinita di numeri reali (N) X0, X1, X2, X3, …, Xn

Posso pensarla come una funzione definita su N f: N R

à

n f(n) Xn = f(n)

à

Progressioni aritmetiche

Successione di numeri reali (R) tali che la differenza tra un termine e il precedente è costante. Costante d = ragione della pr.ar.

X = X + n×d

X – X = d à

n n-1 n 0

Progressioni geometriche

Descrivono fenomeni con crescite esponenziali (es: crescita popolazioni animali con risorse infinite)

Successione di numeri reali (R) tali che il rapporto tra un termine e il precedente è costante. Costante q = ragione della pr.geom.

! ×

! n

X = X q

=q à n 0

! !"#

Modello diffusione di un’epidemia

lI l) l

n

I = infetti al giorno n I = I + = I (1 + prog. geometrica di ragione q = 1 + crescita esponenziale

à à

n n 0 0 0

Questa descrizione va bene nei primi giorni dell’epidemia ma non per lunghi periodi, la popolazione non è infinita quindi dopo

un certo tempo il numero di infetti tenderà a stabilizzarsi

Modifico il modello perché valga sia per tempi brevi che per tempi lunghi

Supponiamo di avere una popolazione di N individui

I = infetti al giorno n

n "

= lI × $

I - I

n+1 n n

S = suscettibili (sani che possono infettarsi) al giorno n #

n +

N = popolazione totale = I S

n n

- à

se S N cioè se il numero di suscettibili è vicino al numero totale di persone allora vale il modello esponenziale

n

- più S diminuisce (più la popolazione si infetta) più I diventa piccolo, cioè il numero di nuovi infetti diminuisce

n n

Modello logistico

Osservando che S = N – I

n n $

= lI ×(1 $

Posso riscrivere il modello di diffusione come: I - I – ) Per tempi grandi I N per cui nuovi infetti 0

à à

n+1 n n n

#

Descrive bene i fenomeni di saturazione

®

Limiti di successioni (n +¥)

- Successioni con limite l (lÎR) quando i valori della successione si avvicinano ad un numero fissato (l) lim + = ,

%

% → ()

Esiste un valore di n (-) per cui per ogni altro n≥- il grafico sta nell’intervallo delle y [l+e ; l-e]

¥

- Successione tende/diverge a se X diventa arbitrariamente grande al crescere di n lim + = +∞

n %

% → ()

Esiste un valore di n (-) per cui per ogni altro n≥- il grafico sta sopra la retta y = M

Convergenza progressioni aritmetiche e geometriche

Aritmetiche

X = X + n×d - d > 0 X diverge a +¥

à

n 0 n

- d < 0 X diverge a -¥

à n

Geometriche

× - 0 < q < 1 X tende a 0

n

X = X q à n

n 0 - q > 1 X diverge a +¥

à n

Funzioni oscillanti es: sin(x) e cos(x)

Esistono successioni che non hanno limite e che non tendono ne a +¥ ne a -¥

4

0 = sin (- )

% 2

e

Per quanto piccolo sia ci saranno sempre dei valori che escono dall’intervallo

®

(la funzione non ammette limite per n +¥) * +

Considero la funzione modificata 0 = sin (- ) per cui lim 0 = 0

% %

% , %→ ()

NB non tutte le funzioni che oscillano non hanno limite, alcune oscillando tendono a 0

à

PROBABILITÀ DISCRETA

L’insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento casuale (aleatorio) è detto spazio campionario (dei campioni) = Ω

NB → Ω non è unico: per 1 esperimento aleatorio si possono avere + spazi campionari in base ai risultati che ci interessano

- Es: 3 palline di colore diverso (R, B, V) e numerate. Ω = {R, B, V} e Ω = {1, 2, 3}

L’insieme di tutti gli eventi associati ad un dato esperimento casuale = spazio degli eventi P(Ω)

Si può definire la probabilità come una funzione che ha come dominio (x) ha lo spazio degli eventi P(Ω) e come codominio

l’intervallo [0;1] → la probabilità è una specie di cardinalità pesata e normalizzata (il peso di tutto è 1)

à =

In generale:

Frequenza assoluta = numero di volte in cui compare una modalità in una distribuzione di dati

Frequenza relativa = frequenza assoluta / numero unità statistiche (numero soggetti)

L : quando una variabile aleatoria tende a +∞ (si ha un

EGGE DEI GRANDI NUMERI

esperimento casuale ripetuto molte volte, es: numeri di lanci di una moneta) allora il

grafico che lega prove ripetute e frequenze dei risultati tende ad un valore atteso

costante corrispondente alla probabilità dell’evento scelto.

Dato uno spazio campionario U, una funzione P che associa ad ogni evento E dello spazio degli eventi un numero reale viene

detta probabilità se soddisfa 3 assiomi:

1. P(E) ≥ 0

2. P(U) = 1 ∅ ∪E

3. Se E ∩E = allora P(E ) = P(E ) + P(E )

1 2 1 2 1 2

Eventi incompatibili = non si possono verificare mai assieme, l’intersezione è 0 (non sono sempre uno il complementare dell’altro)

Eventi esaustivi = l’unione dei due insiemi da l’insieme complessivo (Ω) (non sono sempre uno il complementare dell’altro)

P(E ∩E ) = P(E ) ∙ P(E )

Eventi indipendenti = il verificarsi di uno non influenza la probabilità di verificarsi dell’altro, cioè: 1 2 1 2

P : il verificarsi di un evento (B) condizione la probabilità di verificarsi di un secondo evento (A)

ROBABILITÀ CONDIZIONATA (∩)

(|) = (|) =

può essere anche semplificata come

()

T B : permette di calcolarsi la probabilità che un evento (A) si verifichi sapendo che si è già verificato un altro evento

EOREMA DI AYES P(A|B) P(B|A)

(B), mostra la relazione tra e ()

ℎ ( ∩ ) = ( ∩ ) → (|) ∙ () = (|) ∙ () (|) = ∙ (|)

()

(∩)

( ∩ ) = () ∙ () (|) = = ()

NB → se i due eventi (A, B) sono indipendenti: per cui ()

Se l’evento deve accadere si può costruire un diagramma ad albero del tipo:

P ROVE RIPETUTE

Ripetendo uno stesso esperimento casuale n volte nelle stesse condizioni e indicando con E un evento che rappresenta il successo

dell’esperimento e ha probabilità costante p di verificarsi e (1 – p) di non verificarsi, la probabilità di ottenere k successi su n

−

(1

= ( ) ∙ ∙ − )

prove è: ,

STATISTICA UNIVARIATA

La statistica si occupa dei modi di raccogliere e analizzare i dati per trarne conclusioni e fare previsioni.

Gruppo preso in considerazione = popolazione / universo → spesso se ne considera solo una parte = campione

Ogni singolo soggetto = unità statistica

La caratteristica scelta per l’indagine = carattere → esso può presentarsi secondo diverse modalità

- Quantitativo (numero) → carattere = variabile statistica (aleatoria, X)

o Continua (misurabile)

o Discreta (conteggiabile)

- Qualitativo (parola) → carattere = mutabile statistica

Frequenza assoluta = numero di volte in cui compare una modalità in una distribuzione di dati

Frequenza relativa = frequenza assoluta / numero unità statistiche (numero soggetti)

→ Distribuzione di frequenze = insieme delle coppie ordinate del tipo (modalità ; frequenza corrispondente)

- Distribuzioni semplici interessano 1 carattere

Mediana = valore centrale (se n dispari) o media dei 2 valori centrali (se n pari)

Moda = valore con frequenza massima

∑

= =

Media aritmetica: ∑( ∙ )

=

Posso calcolare la media anche se conosco la distribuzione di frequenze: ∑

In generale un set di dati può essere ordinato e diviso in più sezioni:

- Primo percentile = a sx ho l’1% dei dati e a dx il 99%

- Primo quartile = a sx ho il 25% e a dx il 75%

- Mediana = secondo quartile = 50% a sx e a dx

- Terzo quartile = a sx il 75% e a dx il 25% ( )

−

Conoscendo posso calcolarmi gli errori, detti scarti (di quanto i valori si discostano dalla media) e perché dia sempre

un valore positivo lo si eleva al quadrato ottenendo così lo scarto quadratico medio o deviazione standard: σ 2

( )

∑ −

√

=1

)

( = √ =

- Se σ è grande → i valori sono molto dispersi

- Se σ è piccolo → i valori sono molto concentrati vicino la media

La deviazione standard indica quindi la precisione di una serie di dati (quanto i valori si discostano dal valore medio)

NB → Se si hanno le frequenze assolute nella sommatoria moltiplico gli scarti quadratici al quadrato per le relative f assolute

)

(

)

( =

Coefficiente di variazione: lo si usa per confrontare fenomeni della stessa natura e interpretarli correttamente.

Fa riferimento al fato che le deviazioni standard assumono significato solo se è rapportata alla media (detto anche deviazione

standard relativa). Se moltiplicata per 100 dà la variazione rispetto alla media in percentuale.

Varianza = media degli scarti quadratici (media devianza), misura la variabilità dei valori assunti da una variabile, misura quanto

si discostano quadraticamente dalla media aritmetica (o dal valore atteso)

2

∑ ( )

−

=1 2

) ) )

= = = ( → ( = √(

NB → Se si hanno le frequenze assolute nella sommatoria moltiplico gli scarti quadratici al quadrato per le relative f assolute

→ una delle proprietà della varianza è che può essere calcolata come: Var = media dei quadrati – quadrato della media,

2 2 2 2

2 2 2 2