Appunti lezioni di Meccanica orbitale

8 appelli come per impianti Esame: scritto, 3 domande: 1 a piacere, le altre 2 di conseguenza al fine di coprire con le domande tutto il programma Non si può fare affidamento su questo: se scegli una domanda difficile su un argomento, non è detto che dopo non possa essere approfondito ulteriormente tale argomento L’esame non può durare più di due ore e mezzo

ATTRAZIONE GRAVITAZIONALE

F_1,2 = - G     m₁m₂ r²      r_1,2

m1, m2: masse gravitazionali Principio di equivalenza: massa inerziale e gravitazionale sono uguali Massa inerziale: quella accostata alla massa in F=ma Massa gravitazionale: quella che entra in gioco in un sistema gravitazionale

Non è un sistema inerziale: l’origine non si muove di moto rettilineo uniforme, la terra ha un’orbita ellittica Nei tempi da noi considerati però (tempi scala di ore) la traiettoria si può approssimare rettilinea e le velocità costanti => sistema PSEUDO-INERZIALE (Velocità quasi costante e direzione che varia molto lentamente)

Equazione di Poisson

dθ infinitesimo

Δ^r̂ = Δθ · (_C₃ x ^r̂)

d^r̂/dt = ^ω̂ x ^r̂

Eq. di Poisson

d^r̂/dt = lim_Δt→0 (Δ^r̂/Δt) = Ö(_C₃ x ^r̂) = ^ω̂ x ^r̂

Δθ/Δt _C₃ x ^r̂

Ora deriviamo il vettore rispetto al tempo, non il versore (come appena fatto)

d^r̲/dt = d(^rr̂)/dt = dr/dt ^r̂ + r d^r̂/dt =

= ^ṙr̂ + r^ω̂ x ^r̂ = ^ṙ + ^ω̂ x ^r̲

d^r̲/dt = ^ṙ + ^ω̂ x ^r̲

Eq. Fondamentale della cinematica

r × (ṙ + ω × r) = r × ṙ + r × (ω × r)

a × (b × c) = (a ⋅ c)b - (b ⋅ a)c

= r²ω̅ - (ω̅ ⋅ r̅)r̅ = r²ω̅

=0 cos90°=0 ω̅ ⊥ r

Ŷ‖ ĩ/ω = Ŷ ⊥ piano del moto

r = r_P (pericentro)

θ = 0

r = _P / 1 - e => r = r_A (apocentro)

θ = π

r = (h²) / μ (semi-lato retto)

θ = π / 2

1) Ricaviamo il modulo di e a partire da r_p e r_a

r_P = _P / 1 + e => P = r_P (1 + e)

r_A = _P / 1 - e => P = r_A (1 - e)

r_P (1 + e) = r_A (1 - e)

r_P + r_P e = r_A - r_A e

e = (r_A - r_P) / (r_A + r_P)

2) Ricaviamo a partendo da r_p e r_a

2a = r_A + r_P

a = (r_A + r_P) / 2

Ora invece voglio ricavare le relazioni inverse

r_A(a, e) = r_A

r_P(a, e) = r_P

27/3/2022

Dal sistema di riferimento inerziale a quello orbitale (ortonormale)

in verde: proiezioni di h su C₁, C₂, C₃

h è costruito così per facilitare alcuni calcoli, ciò non sottrae generalità

Il vettore e ha come unico vincolo la perpendicolarità da h

Piano orbitale; perpendicolare ad h

Sopra al piano equatoriale

Piano della traiettoria, se sappiamo che la traiettoria è un'orbita, diventa piano orbitale

L'unico caso in cui il piano orbitale coincide con il piano equatoriale è se h ha componente solo su c3, ovvero se h versore coincide con c3 versore

Piano equatoriale:

ARGOMENTO DEL NODO ASCENDENTE (Omega grande): parametro angolare che descrive la direzione della retta di intersezione tra il piano orbitale e equatoriale, appartiene al piano equatoriale (c1 e N sono sul piano equatoriale)

Omega grande va da c1 positivo fino a intersecare il punto di cui il piano passa dal semispazio positivo a quello negativo, ovvero la linea dei nodi N

Nodo ascendente: parte della linea dei nodi che sta salendo

h_T cos Ω = - h₂     h_T sen Ω = h₁

cos Ω = - ^h₂/_hT     sen Ω = ^h₁/_hT

h_T = h sen i

Devo prendere seno coseno e segni per non escludere nessun quadrante

Arcotg a quattro quadranti (atan2) ha bisogno sia del seno che del coseno, perchè essa mi definirebbe altrimenti solo un angolo tra 0 e pi (se li avessi definiti come tan), a me serve tra 0 e 2pi

A partire da h quindi, posso definire omega grande, grazie alle relazioni ricavate sopra

h₁ cos i = h₃

cos i = ^h₃/_|h|

In questo caso è sufficiente il coseno perchè i è compreso tra 0 e pi

E_p = -^μ/_2a => costante

ε = ¹/₂ v² - ^μ/_r = -^μ/_2a

L'energia è costante lungo l'orbita, la possiamo calcolare grazie alle condizioni iniziali, possiamo calcolarla al pericentro: l'energia dipende da uno solo del semiasse maggiore, in definitiva

Per riassumere, l'energia dipende solo da un parametro, quello che descrive la grandezza dell'orbita: non dipende da nessun altro parametro

Più grande è il semiasse maggiore, maggiore è l'energia: il valore asintotico a cui tende essa è zero

a > 0

ε = -^μ/_2a = ¹/₂μ²/h²(e²-1)

(p = ^h2/_μ; ρ = a(1-e²)) => ¹/_a = ^μ/_h²(1-e²)

ε = 1/2

e = √_{1+^2εr2/μ²}