Appunti lezioni di Meccanica dei solidi

I P.I.

Teoria delle travi

1. cinematica
2. calcolo reazioni vincolari: (ΣF_i=0, ΣM_oi=0)
3. calcolo azioni interne: (ΣF_zi=0, ΣM_oi=0)

peso → vincolo risponde con reazione vincolare struttura risponde con azioni interne

Struttura monodimensionale = forma geometrica con 1 dim >> altre bidimensionale = spessore << altre

• >> almeno 1
• << ordine di grandezza

Pastra → peso diretto ortogonalmente

II P.I.

Meccanica dei solidi

1. cinematica
2. statica
3. legame costitutivo (materiali)
4. teorie come "continuo" (teoria di DSV)
• momento flettente momento torcente momento assiale azione tagliante
5. parametro del limite elastico
6. stabilità dell'equilibrio

FORZE e enti fisici non caratterizzabili da uno scalare

• X₂
• X₁
• X₃

Momento di una forza

• X₂
• X₃

M_o = d × F

polo

|M_o| = |d| · |F| · sinα

se α=0, F, d hanno stessa direzione e M=0

I tre vettori formano una terna destrorsa

(M_o, piano (F, d))

M_o^R = ∑_i M_oi = ∑_i d_oi × F_i

Dato un sistema di forze F_i, i = 1,..., N

SISTEMA DI FORZE È IN EQUILIBRIO

R - ∑_i F_i

M_o = ∑_i d_oi × f_i

Coppie di forze

R = 0M^o ≠ 0

• X₂
• X₃

Mo = Mo_A + Mo₂

dxF = |d| |F| / sinα

|F| |d|

REAZIONI VINCOLARI

Equazione cardinale statica

ΣF = 0

ΣMa = 0

ΣFa = 0

ΣFz = 0

-F + 0

3F + 0

Ogni vincolo reagisce con tante componenti di reazioni vincolari quante sono i gradi locali

ΣF1 = 0

HA - F = 0, HA = F

ΣFz = 0

VA + VB + 3F = 0, VA = -3F - VB

ΣMa = 0

VB b + Fb - 3F b = 0

VB = -5F

VA = 2F

VERIFICA DELL'EQUILIBRIO

ΣF1 = 0

-F = 0

ΣFz = 2F + 3F - 5F = 0

ΣMc = Fb . r + Fb . 2F b = 0

Azioni interne

Incastro

Riferimento intrinseco:

• n - normale alla sezione |n| = 1

t = tangente alla sezione |t|=1

Θ = k

k = 1

• N - azione assiale
• T - azione tagliente
• M - momento flettente

funzioni

• N(s), T(s), M(s)

N A.A. di trazione (>0)

N A.A. di compressione

Estradosso

Intradosso

dΣ = 1/2 dx₂dx₃ elemento di superficie

EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE

eq. forma scalare

• σ_αβ (n_α)
• σ_α(n_β) n_γ
• σ_αβγ
• σ_α(n_β) e (σ_{γα (nβ)}

eq. forma vettoriale

TENSORE DI SFORZO

σ_αi (n_α)

σ_α(n_β) n_γ

σσ(n_β)

σ(x_i, p)

Teorema di Cauchy, matricele

• σ_n = N
• σ_{t1 = I}

Relazione tra i due

σ_{tα = αn - n}

HP CONGRUENZA

1. Un punto P resta unico anche nella configurazione corrente (esclude la lacerazione del corpo)
2. Due punti P, Q distanti restano distinti anche nella configurazione corrente (si esclude la compenetrazione dei corpi)

x^(x)– X^5(X) funzioni regolari di X

x_^dX = f(X)

• fasci_psi = ^fX
• d^j_dX
• d^k_dX
• se S ≠ S I - I
• se rotazione rigida I I_—

f_i = d^f(x,s)_dX, ^ds

x^Q = x P +^θ

s_Q =^{ds_dX tenso}

θ = o⁴= 0

LEGAME DIRETTO

σ = ε ⋅ E(hκ)

LEGAME INVERSO

ε = σ ⋅ 1/E(hκ)

PROVA MONOASSIALE

σ = F(b) / A₀

σ₀ = F(t) / A(t)

ε = S(t) / L₀

STORZO INGEGNERISTICO

STORZO CAUCHY

DEFORMAZIONE INGEGNERISTICA

e = lg(L/L₀) = lg(L + δ(t)/L₀)

σ

3 catenazioni nella fase lineare

tg α = E

E MODULO DI YOUNG

Pendenza generica - Rigidità del materiale (modulo elastico tangente)

* All'applicazione del carico segue un allungamento istantaneo

FASE LINEARE con allungamenti proporzionali al carico reversibili

FASE NON LINEARE allungamenti molto maggiori e parzialmente permanenti

ROTTURA FINALE per deformazioni elevate

• ν) COEFFICIENTE DI POISSON − εₜ/ε dove εₜ = ΔD / ΔD₀ e ε = ΔL / L₀

• G MODULO ELASTICO TANGENZIALE, pendenza all'origine della curva sperimentale τ-γ

PROVA DI TAGLIO

sui 3 piani

MA utilizziamo materiali con comportamenti favorevoli

ISOTROPIA = risposta del materiale non dipende dalla direzione del carico

Per materiali isotropi

E_A = E₂ = E₃ = E

ν₁₂ = ν₂₁ = ν₁₃ = ν₃₁ = ν₂₃ = ν₃₂ = ν

G₁₂ = G₂₃ = G₃₂ = G₃₁ = G

HP: cinematica lineare (piccoli spostamenti) "geometria infinitesima" materiale lineare

Vale principio sovrapposizione effetti (sulle 3 facce)

Deformazioni in funzione di sforzi

• ε₁₁ = σ₁₁ / E - νσ₂₂ / E - νσ₃₃ / E
• ε₂₂ = σ₂₂ / E - νσ₁₁ / E - νσ₃₃ / E
• ε₃₃ = σ₃₃ / E - νσ₁₁ / E - νσ₂₂ / E

SOMMO

Se materiale isotropo queste quantità non dipendono dalla parte tangenziale

PARTE TANGENZIALE:

• δ₁₂ - 2 ξ₁₂ = σ₁₂ / G
• δ₂₃ = σ₁₃ / G
• δ₃₁ = σ₃₁ / G

σ = C ε

ε = C⁻¹ σ

Non siamo in grado di ricavare C⁻¹

VERIFICA DELLA RESISTENZA

In regime monoassiale confronto facilmente

Confronto

ottenuto dal prove sperimentali

SI effettua il confronto introducendo una funzione della grandezza chiamata grandezza indic.

Verifica di resistenza

dipende SOIO dal materiale

MATERIALI FRAGILI

NEL CASO MONOASSIALE

Sforzi normali massimi e minimi devono essere compresi tra

CRITERIO DI GALILEO (RANKINE)

I criteri dipendono dal materiale. A secondo di quale materiale si ha si decide che criterio.

MA in un solido non ho scalari che descrivono stato di sforzo in quanto ma ho (6 componenti), Come confronto n matric con 2 numerz ?

Si può evidenziare quanto si è “montani” dal pericolo

VERIFICA GRAFICA

con le 6 disuguaglianze si crea un cubo, se stato di sforzo dentro il cubo, ammissibile

• determinato Fst = COEFFICIENTE DI SICUREZZA A TRAZIONE
• se materiale raggiunge condizione critica - cerchio di Mohr che rappresenta raggiunge valori limite
• Resistenza = valore max dello sforzo che può essere raggiunto
• Rigidezza = pendenza della curva sforzi/deform