Appunti Fotonica

OTTICA INTEGRATA E GUIDE D’ONDA

Transizione da fotonica in aria a fotonica integrata

Occupiamoci ora della fotonica integrata. La differenza fondamentale che porta cambiamenti

Free space set-up

sostanziali per il funzionamento di tutti i componenti o comunque la realizzazione delle funzione

viste finora è che la luce non si propaga più nello spazio libero ma nelle guide d’onda, come

mostrato schematicamente in Fig.OG.1.

Transizione da fotonica in aria a fotonica integrata

Free space set-up evoluzione Optical circuit

evoluzione

1 metro Optical circuit

1 millimetro

1 metro

Figura OG.1 Transizione tecnologica da setup in aria libera a guida d’onda ottica

1 millimetro

Siamo in una fase di transizione spazio libero

da fotonica in aria, in cui i laser in sono ma-

nipolati con degli specchi e con delle lenti usate per tenere collimato il fascio laser, sono tutti

componenti discreti e massivi. Tipicamente i setup in aria libera hanno delle dimensioni di ordini

cir-

di unita di metro. L’evoluzione iniziata negli anni 90 è quella di realizzare le stesse funzioni in

cuiti ottici integrati, guide d’onda.

ovvero circuiti in cui la luce non viaggia in aria libera ma in

Le dimensioni sono molto più contenute dell’ordine dei millimetri. È la stessa transizione che è

avvenuta tra l’elettronica e la micro-elettronica. E questo banalmente può essere anche visto con

l’analogia tra i fotoni che si propagano nei setup ottici integrati mente nei circuiti microelettronici si

sono gli elettroni. Il particolare problema della miniaturizzazione è legato alle dimensioni dei dis-

positivi perché la luce è possibile confinarla su superfici dell’ordine della lunghezza d’onda o

frazione come abbiamo visto mentre con la microelettronica si possono raggiungere dimensioni

molto più infinitesimali.

Guide d’onda ottiche

Il primo passaggio fondamentale della fotonica integrata è rappresentato dalle guide d’onda

propagare in maniera guidata il flusso di fotoni

ovvero trovare un modo per e di fatto ci

svincola da problemi di diffrazione e dunque avere particolare attenzione alla propagazione

laterale del fascio laser.

Ottica integrata e guide d’onda Fotonica 130

strisce di materiale dielettrico,

Le guide d’onda ottiche sono non sono metalliche tipica-

mente Niobato di Litio oppure a semiconduttore, di indice di rifrazione n che sono inserite in un

1

n > n

diverso materiale dielettrico avente indice di rifrazione inferiore, . Un fascio di luce si può

1 2

propagare rimanendo confinato all’interno della guida, senza subire l’effetto di diffrazione tipico

della propagazione libera. E` essenziale ricorrere alla propagazione guidata quando il fascio di

percorrere grandi distanze,

luce deve come avviene nelle comunicazioni ottiche, o quando

si vogliano realizzare circuiti e dispositivi ottici miniaturizzati.

Dal punto di vista dell’ottica geometrica la propagazione guidata può essere spiegata osservan-

do che un raggio luminoso che viaggia nella guida in una direzione poco inclinata rispetto all’asse

viene totalmente riflesso quando incontra la superficie di separazione fra i due mezzi dielettri-

Il raggio rimane quindi in-

ci, perché l’angolo di incidenza sia maggiore dell’angolo limite.

trappolato all’interno della guida, propagandosi idealmente senza perdite attraverso una

sequenza di riflessioni totali. guida dielet-

Molti aspetti della propagazione in guida possono essere compresi studiando la

trica planare, che e` costituita da una lastra piana di spessore d e indice di rifrazione n , inserita

1

in un materiale di indice di rifrazione n , come mostrato in Fig.OG.2. La zona interna della guida

2

nucleo (core), mantello (cladding).

e` chiamata e quella esterna La radiazione elettromagnet-

ica è su una dimensione. n > n

1 2

Figura OG.2 Geometria guida d’onda planare bidimensionale

Teoria a raggi per guide d’onda ottiche teoria a raggi. Ciascun fascio

Per studiare il comportamento delle guide d’onda usiamo la

può essere modellizzato tramite un raggio che corrisponde al vettore d’onda k che

si sta propagando. Dalla teoria dell’ottica sappiamo che se incidiamo su una superficie avente

n > n

un indice di rifrazione minore ed impostando la legge di snell sappiamo che i raggi che si

1 2 riflessione to-

propagano possono incidere ad un angolo maggiore dell’angolo limite per avere

tale del fascio incidente, poiché incidendo ad un angolo minore dell’angolo limite avremmo

trasmissione parziale nel mantello. Come si vede dall’immagine sarà fondamentale anche l’ango-

Ottica integrata e guide d’onda Fotonica 131

angolo critico.

lo di incidenza sulla base del nucleo per cui possiamo definire un Possiamo fare

dunque delle considerazioni. Chiaro che stiamo propagando con una lunghezza d’onda λ=λ /n .

0 1

Il vettore d’onda k, rispetto alla geometria scelta, avrà componente nulla in x, poiché il confina-

mento per ora è in mono-direzione y e la propagazione e in z, mentre le componenti in y e z

sono: k = 0, k = n k sin(σ ), k = n k cos(σ ) (5.1)

x y 1 0 z 1 0

L’angolo critico, usando un po’ di trigonometria possiamo ricavarlo dalla legge di snell:

n sin(σ ) = n sin(σ )

1 i 2 t

n > n

1 2 Per avere riflessione interna totale bisogna avere

θ t un angolo di trasmissione rispetto alla normale

di 90°, ovvero:

L n sin(σ ) = n sin(σ )

1 i 2 t λ

σ =

t 2

C n 2

sin(σ ) =

i n

1

questa equazione è verificata solo se incido con un angolo pari o maggiore che prende il nome

di angolo limite: n 2

sin(σ ) =

c n

1

( )

n 2

−1

σ = sin

L n

1

e dunque: λ

σ = − σ =

C L

2 ( )

n

λ 2

−1

= − sin =

2 n

1

( )

n 2

−1

= cos n

1

Da questa relazione possiamo dedurre che se l’angolo di incidenza sarà maggiore della quantità

appena ricavata nella (5.2) allora il fascio laser non viene trasmesso nel mantello e rimane confi-

riflessione interna totale.

nato idealmente infinitamente nel nucleo, siamo nella condizione di

λ

σ > − σ , rifelssione totale interna

i L

2

Il nostro scopo è capire quali sono le condizioni che permettono alla luce di rimanere confinata

dentro il nucleo, il nostro campo equivalente sarà quello in relazione all’asse di propagazione

ovvero relativo a al vettore k . Altra cosa importante è che ci aspettiamo la luce che viaggia sia

z

invariante in propagazione ovvero mantenga una distribuzione spaziale di ampiezza

Ottica integrata e guide d’onda Fotonica 132

costante. Vediamo ora quali sono queste condizioni per cui in qualunque sezione andiamo a

vedere la luce che si propaga troviamo sempre la stessa distribuzione spaziale. Quando consid-

eriamo un raggio generico che si riflette si risovrappone a stesso con uno sfasamento di 2π.

si verifica quando si ha una interferenza costruttiva costante lungo

Questa condizione

tutto il percorso della guida d’onda.

Figura OG.3 Propagazione invariate dei fronti d’onda in guida d’onda

Consideriamo la distribuzione spaziale dei fronti d’onda mostrata in Fig.OG.3 e supponiamo che

la luce che si riflette in A e poi in C si sovrappone alla luce che si e propagata nella guida. La

luce che ha percorso il cammino AC abbia lo stesso sfasamento o multiplo 2πm del fronte

d’onda che ha percorso AB e per dimostralo usiamo un po di trigonometria:

ψ ψ

AB = , AC = cos(λ − 2σ ), AB − AC = 2d sin(σ ) (5.3)

L

sin(σ ) sin(ψ)

lo sfasamento tra fronti d’onda dunque:

2λ ψ 2λ ψ cos(2σ )

′ϕ = n − n

1 1

β sin(σ ) β sin(σ )

0 0

2λ ψ [ ]

= n 1 − cos(2σ )

1

β sin(σ )

0

2λ

= 2d sin(σ ) + 2ρ = 2λ m, m = 0,1,2...

r

β (5.4)

= 2k d + 2ρ = 2λ m

y r

Abbiamo ottenuto una relazione sul vettore d’onda k + uno sfasamento generico che si accu-

y

mula dai fronti d’onda, deve essere multiplo dell’angolo giro.

ragionamento su φ

Facciamo un perché la luce che si propaga accumula uno sfasamento

r

quando incide sulle interfacce dovuto alla polarizzazione. Possiamo avere una polarizzazione sul

piano della guida oppure una polarizzazione perpendicolare al piano del foglio. Nel nostro sis-

tema di riferimento dunque può essere rivolto verso x oppure y. Questo implica quando andiamo

a considerare la riflessione dobbiamo precisare se siamo nello stato σ oppure ρ; lo sfasamento

sarà in funzione dello stato di polarizzazione

φ dunque e dunque avremo due diversi φ .

r r

Ottica integrata e guide d’onda Fotonica 133

polarizzazione TE (trasversale

Nel caso di stato di polarizzazione in direzione x si parla di

elettrico) polarizzazione TM (trasversale

mentre se la luce è polarizzata lungo y si parla di

magnetico).

Figura OG.4 Stati di polarizzazione vettore d’onda in guida d’onda: TE e TM

Se siamo dunque in questa condizione di propagazione invariante possiamo riscrivere la con-

dizione dello sfasamento e manipolando in termini di tangente possiamo grafica come mostrato

due condizioni

in Fig.OG.5. È interessante notare le soluzioni per cui sono soddisfatte le ap-

pena descritte ovvero sia la condizione di incidenza tra mantello e nucleo minore nell’angolo lim-

ite e sia la condizione che i fasci in propagazione si sovrappongono sempre in fase con se stes-

si. modi M

I punti di lavoro della guida d’onda si chiamano che si ripetono periodici con periodo (λ/

2d), sono diverse direzioni di propagazione per le quali ho soddisfatto entrambe le condizioni di

interferenza costruttiva. Ovviamente avrò due diverse soluzioni in base al tipo di polarizzazione se

TM o TE.

Figura OG.5 Soluzioni per cui si verifica propagazione invariante in guida d’onda

angoli discreti

Aver trovato dunque degli per cui il fascio si propaga correttamente invariante

coefficienti di propagazione equivalenti

vuol dire avere trovato dei in direzione z che soltan-

to alcune sono ammesse e sono quelle per cui valgono le due relazioni:

θ = n k cos(σ ), θ = n k cos(σ )

mTM 1 0 mTM mTE 1 0 mTE

Ottica integrata e guide d’onda Fotonica 134

Quante costanti posso avere? Non infini