Appunti Fotonica

∂B

∇× E = − (2.2)

∂t

∇⋅ B =0 (2.3)

∂E

∇ × B = ϵ μ (2.4)

0 0 ∂t

campo elettrico

dove E e` il (unita` di misura: V/m), e B e` l’induzione magnetica (Tesla, T ). La

costante dielettrica (o permittivita` elettrica) del vuoto

costante ε e` chiamata e vale

o permeabilita` magnetica

8.854 × 10 F/m, mentre μ rappresenta la del vuoto e vale 4π ×

−12 o

10 H/m. La prima equazione è definita come la legge di Gauss per il campo elettrico che nel

−7

caso di campo elettrostatico in assenza di cariche elettriche sorgenti sarà nullo. La seconda

equazione è definita dal teorema di Faraday è descrive come il campo elettrico può essere gen-

erato da un campo magnetico variabile nel tempo. La terza equazione è definita come la legge di

Gauss per il campo magnetico e afferma che non esistono cariche magnetica sorgenti o mo-

nopoli magnetici. L’ultima equazione è definita dalla legge di Ampere che descrive come il cam-

po magnetico può essere generato da un campo elettrico variabile. Si noti come come campo

Onde elettromagnetiche Fotonica 30

magnetico ed elettrico siano accoppiati e legati mutuamente, motivo per cui si parla unicamente

campo elettromagnetico.

di

Ricordando una proprietà generale degli operatori differenziali e facendo riferimento alla seconda

equazione di Maxwell, la (2.2): 2

∇ × ( ∇ × E ) = ∇( ∇ ⋅ E ) − ∇ E (2.5)

prendendo il rotore di entrambe i membri della (2.5), e tenendo conto della (2.1), si

ha: ∂( ∇ × B ) (2.6)

2

∇ × ( ∇ × E ) = − ∇ E = − ∂t

equazione delle onde,

Utilizzando la (2.4), si ottiene infine una equazione, detta che contiene

come unica incognita il campo elettrico: 2

1 ∂ E

2

∇ E = (2.7)

c ∂t

2 2

velocità di propagazione dell’onda elettromagnetica.

dove c = (ε μ ) e` la Ovvia-

−1/2

o o

mente B soddisfa ad una equazione identica alla (2.7). piana monocromatica:

Una importante soluzione particolare della (2.7) e` l’onda

i(k⋅r−ωt+ϕ)

E(r, t) = E e (2.8)

0

vettore d’onda, lunghezza d’onda, fre-

dove k e` il che ha modulo k = 2π/ λ, λ e` la ω è la

quenza angolare dell’onda ω =2πf = 2π c / λ e φ una fase costante che può sempre essere

posta uguale a 0 scegliendo opportunamente l’origine dell’asse dei tempi. L’onda descritta dalla

(2.8) e` chiamata piana perché ha superfici equifase (dette anche fronti d’onda) che sono piane.

Le superfici equifase sono perpendicolari a k, come mostrato in Fig. 2.1.

Figura 2.1 Rappresentazione grafica di un onda elettromagnetica avente fronti d’onda superfici piane

Sostituendo la (2.8) nella (2.1), si ha: i k · E = 0, cioè E k. Analogamente, usando la (2.2), si

⊥

trova: B k. Con la (2.4) si dimostra inoltre che E B, e che B ed E hanno la stessa fase. Si

⊥ ⊥

Onde elettromagnetiche Fotonica 31

ricava infine che: B = μ ) E. Riassumendo la situazione, il campo elettrico e quello magnetico

√(ε o o

mutuamente perpendicolari,

sono e giacciono entrambi nel piano perpendicolare alla di-

trasversale.

rezione di propagazione: si tratta quindi di un’onda Inoltre B ed E oscillano in fase.

Energia trasportata da un onda elettromagnetica

trasporta energia.

L’onda elettromagnetica descritta dalle equazioni di Maxwell La direzione

vettore di Poynting,

del flusso di energia e` quella del definito come:

1

S = E × H = E × B (2.9)

P μ 0 potenza per unita` di

Il modulo del vettore S , che ha le dimensioni di W/m2, rappresenta la

P

area trasportata dal campo elettromagnetico. Il vettore di Poynting dell’onda piana e` diretto

come il vettore propagazione k. Inserendo la (2.9) nella (2.8) si ricava la seguente espressione:

̂

2

S = c ϵ E k cos(wt − k ⋅ r + ϕ) (2.10)

P 0 0

I campi a frequenza ottica sono funzioni del tempo che variano molto rapidamente. Spesso,

vettore di Poynting che rappresenta un flusso di energia,

come nel caso del e` più signi-

ficativo considerare il valore medio nel tempo piuttosto che il valore istantaneo. Date due funzioni

sinusoidali alla stessa frequenza a(t) = Acos(ωt +α) e b(t) = Bcos(ωt +β) si ha che la media tem-

porale del prodotto e` data da: 1

< a(t)b(t) > = ABcos(α − β ) (2.11)

2 in-

Utilizzando la (2.11) si ricava che la media temporale del modulo di SP, che viene chiamata

tensita` I dell’onda elettromagnetica, e` uguale a: 2

ϵ E

P 0 0

I = = c (2.12)

A 2

Per un’onda monocromatica, i vettori di campo sono funzioni sinusoidali del tempo e dello

spazio, ma spesso e` utile rappresentarli in termini di funzioni esponenziali complesse come

mostrato nella (2.9). In questo testo i campi saranno spesso indicati come funzioni del tipo E =

Eo exp[−i(ωt −k·r+φ)]. Usando questo tipo di notazione bisognerà comunque ricordare che solo

la parte reale dell’espressione complessa ha un effettivo significato fisico.

Spettro dei segnali ottici

Si consideri un generico fascio di luce caratterizzato da un campo elettrico E(r,t) che, per sem-

campo E(t)

plicità, prendiamo sotto forma scalare. Il (nelle formule seguenti ometteremo la co-

può essere espresso come una sovrapposizione pesata di funzioni

ordinata spaziale r)

sinusoidali a diversa frequenza. La forma matematica di tale sovrapposizione e` l’integrale:

Onde elettromagnetiche Fotonica 32

∞

1 ∫ −iwt

E(t) = dw E(w)e (2.13)

2π −∞

La funzione E(ω) rappresenta, in ampiezza e fase, il peso della componente a frequenza ω. Da

E(ω) e` la trasformata di Fourier di E(t).

un punto di vista matematico,

Invertendo la (2.13), si ha: ∞

∫ iwt

E(w) = dt E(w)e (2.14)

−∞

Lo spettro di intensità del segnale luminoso, S(ω), e` espresso da:

2

ϵ E(w)

| |

0 (2.15)

S(w) = c 2

E` importante sottolineare che nella misura di S(ω) si perde l’informazione sulla fase di E(ω), quindi

la conoscenza di S(ω) non e` sufficiente, in generale, per ricostruire l’andamento temporale

di E(t).

Nel caso particolare di segnale monocromatico, E(t) = Eo exp(−iωot), E(ω) diventa una funzione

singolare, perché e` nulla per tutti i valori ω ≠ ωo , e diventa infinita se ω = ω . Per rappresentare

o

δ di Dirac, La

questo andamento e` utile introdurre la funzione che ha integrale unitario.

trasformata di Fourier dell’onda monocromatica si può scrivere come: (2.16)

E(w) = E δ(w − w )

0 0

La luce emessa dalle sorgenti convenzionali contiene una molteplicità di frequenze, ognuna delle

quali oscilla con una fase completamente casuale e del tutto priva di correlazione con quella

delle altre frequenze. Nel caso del laser e` invece possibile introdurre un vincolo di fase tra le di-

verse frequenze emesse. Questa proprietà e` estremamente importante perché permette di

generare in modo perfettamente controllato impulsi di luce anche molto brevi e con elevate

potenze di picco, come si e` visto nel capitolo precedente.

Polarizzazione della luce polarizzazione,

Una proprietà importante delle onde trasversali e` la ovvero la legge con cui

viene descritta l’evoluzione spaziale della direzione del campo elettrico associato all'onda elet-

polarizzata linearmente

tromagnetica. Un’onda luminosa e` detta se il campo elettrico ad

essa associato oscilla nel tempo senza cambiare direzione. La direzione di E individua la di-

rezione di polarizzazione dell’onda piana.

Nel caso generale, supponendo, per fissare le idee, di considerare un’onda piana che si

propaghi lungo l’asse z, il campo elettrico avrà componenti lungo gli assi x e y che sono en-

trambe funzioni sinusoidali: (2.17)

E = E cos(wt − k z)

x x0

Onde elettromagnetiche Fotonica 33

E = E cos(wt − k z + ϕ) (2.18)

y y0

dove φ e` lo sfasamento fra le due componenti. Ponendo X = E /E = cos(ωt − kz) e Y = E /E

x xo y yo

= cos(ωt −kz+φ) = cos(ωt −kz)cosφ −sin(ωt −kz)sinφ, si può ricavare una equazione implicita tra

X e Y che non contiene più le coordinate spazio-temporali:

2 (2.19)

Xcos(ϕ) − Y = 1 − X sin(ϕ)

Elevando al quadrato entrambi i membri della (2.19) si arriva all’equazione:

2 2 2

X + Y − 2XYcos(ϕ) = sin (ϕ) (2.20)

e quindi: 2

E E E

2

E y x y

x 2

+ − 2 = sin (ϕ) (2.21)

E E E E

2 2 x0 y0

x0 y0

Nel piano individuato dalle due componenti del campo elettrico, la (2.21) rappresenta

della traiettoria

l’equazione descritta dal vertice del vettore campo elettrico nell’intervallo di

periodo ottico caso

tempo corrispondente ad un T = 1/ν , come mostrato in Fig. 2.2. Nel

generale la traiettoria ha forma ellittica. φ = 0, l’ellisse diven-

Nel caso particolare in cui

ta una retta, cioè la direzione del vettore campo elettrico rimane costante nel tempo (polariz-

zazione lineare), formando con l’asse y un angolo θ tale che tanθ = E /E . Anche nel caso in cui

xo yo

lo sfasamento tra le due componenti del campo sia φ = π, la polarizzazione risulta lineare, ma in

una direzione che forma un angolo −θ rispetto all’asse y.

Nel caso particolare φ = ±π/2 e E = E , il vertice del vettore campo elettrico descrive un cer-

xo yo

in questo caso di polarizzazione circolare.

chio. Si parla La rotazione del vettore campo

elettrico può avvenire in senso orario (polarizzazione circolare destrorsa) o antiorario (polariz-

zazione circolare sinistrorsa) a seconda che φ sia uguale a π/2 o a −π/2.

Figura 2.2 Polarizzazione dell’onda elettromagnetica al variare dello sfasamento tra le componenti E e E

x y

Uno stato generico di polarizzazione della luce può essere anche descritto come sovrappo-

sizione di due polarizzazioni circolari, una destrorsa e una sinistrorsa, aventi diversa ampiezza e

Onde elettromagnetiche Fotonica 34

diversa fase. Se le due polarizzazioni circolari hanno diversa ampiezza, la polarizzazione risultante

ellittica,

e` mentre, se hanno la stessa ampiezza, la polarizzazione risultante e` lineare con una

direzione determinata dallo sfasamento fra le due polarizzazioni circolari. depo-

Nel caso del so