Appunti Fondamenti di geotecnica - Moduli 1-4

• NATURA E COSTITUZIONE DEI TERRENI
• MODELLAZIONE DEL COMPORTAMENTO MECCANICO DEL TERRENO
• MODELLI COSTITUTIVI
• CONDIZIONI DI BREVE TERMINE E LUNGO TERMINE / DRENATE E NON
• DETERMINAZIONE IN LABORATORIO DEI PARAMETRI DEI MODELLI
• PERMEABILITÀ, MOTI DI FILTRAZIONE E CONSOLIDAZIONE
• OPERE DI SOSTEGNO
• FONDAZIONI SUPERFICIALI
• FONDAZIONI PROFONDE

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NATURA E COSTITUZIONE DEI TERRENI

L'analisi granulometrica

Ad ogni setaccio utilizzato nella prova si quantificano il Passante (percentuale del peso di materiale che è passato attraverso il setaccio) ed il Trattenuto (percentuale del peso di materiale che non ha passato la maglia del setaccio)

Esempio: RE setaccio 3

Q_tot = Σ q_i = 100

T₃ (i.) = (94 + q_i) / Q_tot * 100

P_J (i.) = (93 + ... + 19_m) / Q_tot * 100

Il Trattenuto, ad un determinato setaccio, è pari al rapporto tra la quantità trattenuta da tutti i setacci precedenti fino al setaccio considerato e la quantità totale. Il Passante invece è il rapporto tra la quantità passata dal setaccio successivo all'ultimo, considerando anche il fondo, e la quantità totale. Le formule generalizzate sono:

T₅ (i.) = (Σ_i q_i) / Q_tot * 100

P_J (i.) = (Σ^m_J+1 q_i + f) / Q_tot

Il corpo può essere teoricamente sezionato in infiniti modi, ad ognuno di essi corrisponde uno stato di forza differente. Avvalendoci del tetraedro di Cauchy però possiamo definire una soluzione unica: conoscendo il stato di sforzo su tre facce ortogonali tra loro, conosciamo lo stato di sforzo su ogni piano.

Le tensioni _m in _n, _n in _m,_n in _l fanno riferimento a specifiche giaciture che si definiscono con coseni direttori e la direzione normale.

Mettendo ora sullo i sistema di riferimento x,y,z. Definisco il Tensore della Tensione come:

Esso è formato da nove parametri, tra i quali si distinguono le Tensioni normali lungo la diagonale e le Tensioni tangenziali. Queste componenti servono a definire lo stato di forzo nel mezzo continuo. Nel piano lo stato di sforzo ha queste componenti:

Per l'equilibrio le tensioni tangenziali devono essere uguali. Facendo il ragionamento in maniera analoga sulle altre facce, possiamo concludere che, essendo le tensioni tangenziali dei piani e coppie uguali tra loro, il Tensore è simmetrico: per definire lo stato di sforzo in un punto di un mezzo continuo mi servono 6 grandezze scalari, 3 tangenziali e 3 normali.

Le matrici simmetriche godono di alcune proprietà, dette Invarianti:

• Il Determinante, al variare del sistema di riferimento, rimane sempre uguale
• I minori del secondo ordine sono legali tra loro
• La traccia della matrice (somma delle componenti diagonali) è sempre uguale ed è pari alla Tensione normale media:

Tensione Normale Media = (_sx + _sy + _sz) / 3

4.4 - Il principio delle tensioni efficaci

Per effetto della costituzione particellare delle terre è ragionevole ritenere che il loro comportamento meccanico dipenda, in qualche misura, dal valore delle tensioni presenti nelle singole fasi. La relazione che definisce quantitativamente tale concetto è stata stabilita nel 1936 da Terzaghi, attraverso il fondamentale "principio delle tensioni efficaci". La prima parte di tale principio recita:

“The stress in any point of a section through a mass of soil can be computed from the total principal stresses a₁, a₂ and a₃ which act at this point. If the voids of the soil are filled with water under a stress u the total principal stresses consist of two parts. One part u acts in the water and in the solid in every direction with equal intensity. It is called the neutral stress (or the pore pressure). The balance σ' = σ₁ -u, σ'₂ = σ₂ -u and σ'₃ = σ₃ -u represents an excess over the neutral stress u and it has its seat exclusively in the solid phase of the soil. This fraction of the total principal stress will be called the effective principal stress”.

Le tensioni in ogni punto di una sezione attraverso una massa di terra possono essere calcolate dalle tensioni principali totali σ₁, σ₂ e σ₃ che agiscono in quel punto. Se i pori della terra sono pieni d'acqua ad una pressione u, le tensioni principali totali si dividono in due parti. Una parte, u, agisce nell'acqua e nella fase solida, con uguale intensità in ogni direzione. Le differenze σ'₁ = σ₁ - u, σ'₂ = σ₂ - u e σ'₃ = σ₃ - u rappresentano un incremento rispetto alla pressione interstiziale ed hanno la loro sede esclusivamente nella fase solida della terra. Questa frazione della tensione principale totale sarà chiamata tensione principale efficace.

Il principio delle tensioni efficaci si esprime allora sinteticamente nella equazione:

σ' = σ - u

(4.2)

dove σ' indica la tensione efficace, σ quella totale ed u la pressione interstiziale.

"All measurable effects of a change of stress, such a compression, distortion and a change of shearing resistance, are exclusively due to changes in the effective stresses".

Tutti gli effetti misurabili di una variazione dello stato di tensione, come la compressione, la distorsione e la variazione di resistenza al taglio, sono dovuti esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci.

Come si vede, Terzaghi si riferisce alla misura degli effetti delle tensioni efficaci e non a quella delle tensioni stesse.

Si può compattare tutto nella matrice Tensore delle deformazioni:

Osservazioni:

• La traccia della matrice è pari alla Deformazione di Volume:

  ε_v = ε_x + ε_y + ε_z

• Lo Stato di sforzo lo descrivo con il vettore:

  {_PQ9}

• Lo Stato di Deformazione è descritto dal vettore:

  {_ενεs}

• In condizioni di simmetria radiale, la Deformazione di volume diventa:

  ε_v = ε_a + 2ε_ν

Le deformazioni possono anche essere interpretate diversamente. Preso un elementino di volume V° che subisce una deformazione, la Deformazione di volume è pari al rapporto tra la differenza di volume e il volume iniziale. Si dimostra anche facilmente:

V₀ = a · b · c

V_β = (a - Δa) (b - Δb) (c - Δc)

V_β = (a · b · c) - (b · c · Δa) - (a · c · Δb) - (a · b · Δc) + (Δa Δb c) + (a Δb Δc) + (Δa Δc b) + (Δa Δb Δc)

i termini di ordine superiore si eliminano

V_β = (a · b · c) - (b · c · Δa) - (a · c · Δb) - (a · b · Δc)

ε_v = Δv / V₀ = ^{a Δa} / _abc + ^{b Δb} / _abc + ^{c Δb} / _abc

SUL DIAGRAMMA DELLE TENSIONI LITOSTATICHE

_w = 10 kN

maggiore è la pendenzamaggiore è le

Ad es. ₂ > ₁

Facendo adesso lo stesso ragionamento con un mezzo non completamente saturo, avremo in aggiunta il legame costitutivo del gas, che immaginiamo avere la stessa variazione di pressione ΔU dell’acqua:

Sr < 1

• ΔV = -V _w ΔP / k_w
• ΔV_w = -V_w ΔU / k_w
• ΔV_q = -V_q ΔU / k_q

ΔV = ΔV_w + ΔV_q

V ΔP / k_w = V_w ΔU / k_w + V_q ΔU / k_q

ΔP = ( 1 + k_w / V V_w ΔU / k_w + V_q / k_q) ΔU

ΔP = ΔU [1 + m S_a k_w / k_w + m (1-S_a) k_q / k_q]

ΔU = 1 / [1 + m(1-S_a) k_q / k_q] ΔP

ΔU = B ΔP

Coff legato alla saturazione B = 1 Sr = 1

B < 1 Sa < 1

Non è mai > 1