Appunti Fisica 1 per ingegneria

T T−S

m

2

4 π S

F= : forza che la Terra esercita sul Sole. Le due forze devono

 2

k r

S T−S principio di azione e reazione

essere uguali in modulo per il

m m

2 2

4 π 4 π

T S

= : si eguagliano le forze e semplificando si ottiene

 2 2

k k

r r

T S −S

T−S T

=m

m k k

T S S T

2 2

4 π 4 π è una costante

 = =

γ m k m k

T S S T

m m

S T

F=γ : modulo della forza Sole-Terra

 2

r T−S

Questa forza, applicabile a tutte le coppie di corpi, porta Newton a formulare la

LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE: date due masse qualsiasi, di dimensioni

trascurabili rispetto alla distanza mutua, tra di esse agisce una forza attrattiva

diretta lungo la retta congiungente le due masse, il cui modulo dipende

direttamente dal prodotto delle masse e inversamente dal quadrato della

distanza.

La costante è una costante universale, che non dipende dai valori delle

γ

masse e dalla geometria del sistema, ma è caratteristica dell’interazione

gravitazionale.

Riprendiamo anche il confronto tra massa gravitazionale e massa inerziale. Per

un corpo in caduta libera sulla superficie terrestre vale l’equazione

m m

T ,G G

m g=γ , dove:

I 2

r T

m è la massa inerziale del corpo

 I

m è la massa gravitazionale del corpo

 G

m è la massa gravitazionale della Terra

 T ,G m m

T ,G G

g=γ

Si ricava . Sperimentalmente g è la stessa per tutti i corpi, quindi

2 m

r I

T

m

G

il rapporto è costante e le due masse sono proporzionali.

m I

Dimostriamo ora la conservatività della forza gravitazionale. Il lavoro compiuto

m m

da una massa che si muove nel campo di una massa è

2 1

m m

1 2 u ds

=F

dW ds=−γ u ds . Il prodotto scalare è pari alla proiezione di

1

1,2 1

2

r

u m m

su e corrisponde quindi al modulo della distanza tra e .

ds 1 1 2

r

B ( )

m m m m −1 1

B

∫ ∫ 1 2 1 2

= −γ + =E −E

W dW= dr=−γ

Quindi p ,a p , B

r r

2 2

r r B A

A r A

Il lavoro dipende quindi solo dal punto iniziale e finale ed è quindi conservativo.

m m

1 2

=−γ

E

L’energia potenziale ha espressione .

p 2

r

LEZIONE 18

Partiamo da alcune definizioni:

Leggi cardinali: sono due leggi che non discendono dall’equazione di

 Newton, la loro validità è basata su osservazioni sperimentali. Servono a

spiegare osservazioni sperimentali sul moto collettivo dei sistemi di punti

Sistema di punti: insieme di corpi materiali le cui dimensioni siano

 trascurabili rispetto alla precisione con cui interessa misurare le loro

posizioni

Per ogni corpo di un sistema di punti si può definire la quantità di moto

⃗ ⃗ . Supponiamo di avere un sistema di N particelle, ciascuna con la sua

p=m v ⃗ =m ⃗

p v

quantità di moto . Si definisce quantità di moto totale del sistema la

i i i

somma vettoriale delle quantità di moto delle singole particelle

⃗ ⃗ + ⃗ + .

P ≡ p p …+⃗

p

1 2 N ⅆ ⃗

p ⃗

=⃗

i

Per ciascuna particella la legge di Newton dice che , con che è la

F

F i

i

ⅆ t

forza totale che agisce sull’i-esima particella. Sommando su tutte le particelle

ⅆ ⃗

p ⃗ ⃗

N i N

del sistema si ottiene .

=Σ

Σ F ≡ F

i=1 i=1 i

ⅆ t

Sull’i-esima particella agiscono forze:

Interne: forze esercitate dalle altre N-1 particelle del sistema

 Esterne: forze esercitate dai corpi fisici che non appartengono al sistema

 ∫ ⃗

¿+

i, F i ,est

La forza complessiva sull’i-esima particella è ⃗ ⃗

=

F F ¿

i

Se si separano forze interne ed esterne nella legge di Newton si ha che

∫ ⃗

N

¿+

i, Σ F

i=1 i ,est . La PRIMA LEGGE CARDINAE DELLA MECCANICA DEI SISTEMI

⃗

ⅆ P ⃗ ⃗

N

= =Σ

F F ¿

i=1

ⅆ t ∫ ¿=0

∫ ¿=⃗

DI PUNTI constata che in natura . Dunque, la prima legge cardinale

i, F ¿

⃗

N

Σ F ¿

i=1

⃗

ⅆ P ⃗

=

dice che , ovvero “la derivata rispetto al tempo della quantità di

F est

ⅆ t

moto di un sistema di punti è uguale alla risultante di tutte le forze esterne che

agiscono sui punti del sistema. Se il sistema non è soggetto a forze esterne,

⃗ ⃗ ⃗

=0

ovvero , si ha che . Tuttavia, affinché è sufficiente

F =cost =cost

P P

est

che la risultante delle forze sia 0, anche se le singole forze sono diverse da 0.

Introduciamo ora un nuovo concetto, ovvero il CENTRO DI MASSA. Il centro di

massa di un sistema di N punti materiali è un punto geometrico nello spazio il

N ⃗

Σ m r

i=1 i i ⃗

r

=

r

cui vettore è dato da , dove è il vettore posizione dell’i-

i

CM N

Σ m

i=1 i

esima particella. N ⃗

Σ m r

ⅆ i=1 i i

=

v

Possiamo esprimere la velocità del centro di massa come . Il

CM ⅆ N

t Σ m

i=1 i

centro di massa si muove come se fosse una particella materiale di massa

uguale alla massa totale del sistema e sottoposta ad una forza uguale alla

risultante delle forze esterne applicate a tutte le particelle del sistema.

LEZIONE 19

Riprendendo la trattazione del centro di massa, in modo analogo alla velocità

possiamo definire l’accelerazione del centro di massa come

N

ⅆ ⃗

v Σ m v ⃗

CM i=1 i i

=

a =m ⃗

. La relazione rappresenta il TEOREMA DEL

F a

CM CM

ⅆ N

t Σ m

i=1 i

MOTO DEL CENTRO DI MASSA.

Analizziamo ora a cosa sono dovute le variazioni del momento angolare di un

sistema di N punti materiali. Il momento angolare di un sistema di punti

N

∑

´

⃗

r

materiali rispetto a un polo O, detto il vettore , è .

(⃗ ⃗ )

O P L= r × m v

i i i i i

i=1

Derivando rispetto al sistema si ottiene:

⃗

d r i

dt

⃗

r i ⃗

d v i

(¿×m )

i dt

 N

∑

⃗

× m v

(¿ )+ ¿

i i i=1

N

dL ∑

= ¿

dt =1

i ∫ ¿+

i , F

⃗

d r i , est

i

Ricordando che e che

 =v −v ⃗

d v

i 0 i

dt =m =F =F

m a ¿

i i i i

dt

(v −v )

i 0

⃗

r i

¿

∫ ¿+

i , F i , est

¿

 N

∑

× m v

⃗

(¿ )+ ¿

i i i=1

N

dL ∑

= ¿

dt =1

i

⃗

v ×m v

i i i

⃗

v ×m v

0 i i

⃗

r i

¿

∫ ¿

i, ⃗

r i

× F

(¿ )

i ,est

 ¿ N

∑

(¿)+ ¿

i=1

N

∑

(¿)− ¿

i=1

N

dL ∑

= ¿

dt i=1

∫ ¿+ M est

 dL =−v +

× m⃗

v M ¿

0 CM

dt

⃗

v ×m v

i i i

(¿) è nulla perché ogni addendo è un prodotto vettoriale di vettori

N

∑ ¿

i=1 v

paralleli, mentre è stato portato fuori dalla sommatoria perché

0

indipendente da i.

⃗

r i

¿

∫ ¿

i , ¿ rappresenta il momento totale delle forze interne rispetto ad O

N

∫ ∑

¿= ¿

i=1

M ¿ ⃗

r i ∫

× F

(¿ ) dL

¿

i ,est =−v +

× m v M

⃗

mentre . è identicamente nullo, quindi .

N 0 CM est

dt

M

∑ ¿

= ¿

M est i=1 −v × m⃗

v

Inoltre, il termine risulta nullo quando:

0 CM =0 ¿

v

Il polo O è fisso nel sistema di riferimento inerziale (

 0

Il centro di massa è in quiete nel sistema di riferimento inerziale (

 =0 ¿

v 0 =⃗ =0¿

v v v ×⃗

v

Il polo O coincide con il centro di massa ( e

 0 CM 0 CM

⃗

v v

è parallelo a

 0 CM

ⅆ L

=

M

Si ha . Questa equazione è detta SECONDA EQUAZIONE CARDINALE

est ⅆ t

DELLA DINAMICA DEI SISTEMI e definisce il momento angolare: “Se il polo O è

fisso nel sistema di riferimento inerziale o coincide con il centro di massa,

anche se quest’ultimo non è fisso, l’evoluzione nel tempo del momento

angolare del sistema di punti è determinata dal momento delle forze esterne

rispetto ad O; le forze interne non influenzano L”.

Nel caso in cui sia soddisfatta una delle condizioni elencate (e quindi

ⅆ ⅆ

L L

=

M 0=

) se il momento delle forze esterne è nullo risulta , ovvero L

est ⅆ ⅆ

t t

costante. Questo è detto PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DLE MOMENTO

=0

M

ANGOLARE. La condizione in cui si verifica quando:

est

Non agiscono forze esterne, il sistema è isolato

 Il momento delle forze esterne è nullo rispetto a un determinato polo, ma

 non a qualsiasi polo

Analizziamo ora il TEOREMA DI KONIG:

TEOREMA DI KONIG PER IL MOMENTO ANGOLARE:

 ' '

⃗ '

, dove con si indica il momento angolare

+ ⃗ =L +

L=L r ×m v L L

CM CM CM L

del sistema rispetto al centro di massa e con il momento angolare

CM

dovuto al moto del centro di massa

TEOREMA DI KONIG PER L’ENERGIA CINETICA:

 1 1

( )

' 2

+ =¿ + =E' +

m v v E ' m v E

i i CM k CM k k , CM

2 2 . L’energia cinetica del sistema di

N

∑

= ¿

E k i=1

punti si può scrivere, nel sistema di riferimento inerziale, come la somma

E

dell’energia cinetica dovuto al moto del centro di massa, , e di

k , CM

E '

quella del sistema rispetto al centro di massa, .

k

Trattiamo infine il TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA, che stabilisce che

∫ ¿=∆ E k , ovvero: il lavoro complessivo fatto dalle forze esterne e interne