Appunti Fisica 1

U

(energia meccanica «totale» = energia cinetica «esercitata» + energia potenziale «immagazzinata»:

e’ una misura di quanto lavoro e’ possibile o potenzialmente possibile ricavare da un sistema).

Conservazione dell’energia meccanica

• Legge di conservazione dell’energia meccanica: in un sistema conservativo l’energia meccanica si

conserva E2 ≡ K2 + U2 = K1 + U1 ≡ E1

• Vale per qualunque sistema conservativo • K dipende dalla velocità, U dalla posizione. La legge di

conservazione dell’ energia fornisce una descrizione molto utile del moto, anche se parziale (senza

passare dal tempo)

Zero dell’U gravitazionale

• Lavoro compiuto dalla forza peso W =mg(y1 − y2)

• Variazione di energia potenziale W = −∆U = U1 − U2

• Energia potenziale gravitazionale U = mgy

Quello che è rilevante è la differenza di energia potenziale La scelta dello zero dell’energia

potenziale è arbitraria!

Energia potenziale elastica

• Lavoro compiuto da una molla W =− 1/2 k(x2^2 – x1^2)

• Variazione di energia potenziale W = −∆U = U1 − U2

• Energia potenziale elastica di una molla allontanata dalla posizione di riposo (x = 0) di una

quantità x:

U= 1/2 kx^2

scelta dello zero dell’energia potenziale elastica arbitraria, in genere si pone 0 in x=0 (molla a

riposo).

Conservazione dell’energia

Cosa succede se abbiamo a che fare anche con forze non conservative?

• Teorema lavoro-energia Wtot = K2 − K1 = ∆K

• Il lavoro è addittivo percui Wtot = Wcons + Waltre

• Per le forze conservative esiste energia potenziale Wcons = −∆U

Waltre = ∆K + ∆U = ∆E Il lavoro compiuto da forze non conservative è uguale alla variazione di

energia meccanica (dove U è la somma delle energie potenziali delle forze conservative).

• Per forze non conservative non possiamo definire un’energia potenziale ma possiamo descrivere

l’effetto in termini di forme di energia associata a un cambiamento di stato, detta energia interna

Waltre = −∆U int

Waltre = ∆K + ∆U = ∆E

−∆Uint = ∆K + ∆U

∆K + ∆U +∆Uint = 0 Legge di conservazione dell’energia: non si crea nè si distrugge, può solo

essere trasformata in altre forme di energia.

Forza conservativa e energia potenziale

• Per i due tipi di forze conservativi considerati fin’ora (gravitazionale ed elastica) siamo partiti dal

comportamento delle forze e abbiamo ricavato una definizione di energia potenziale • Ci sono

situazioni in cui conosciamo l’energia potenziale in funzione della posizione e dobbiamo

determinare la forza associata → vediamo di determinare la relazione tra forza ed energia potenziale

• Cosa sappiamo? Il lavoro compiuto da una forza conservativa e’ la variazione di energia

potenziale, cambiata di segno: W = − ∆U

Consideriamo ad es.il moto rettilineo lungo l’asse x:

e quindi la relazione tra forza conservativa ed energia potenziale (in 1D):

Forza e energia potenziale (3D)

• Estendendo al caso in 3D in cui ciascuna componente della forza Fx, Fy, Fz puo’ essere funzione

delle coordinate x,y,z cosi’ come l’energia potenziale U(x,y,z) :

• Possiamo usare i versori per scrivere un’espressione compatta per F:

Grafico dell’energia potenziale

• Si puo’ usare la curva dell’energia potenziale U(x) per ricavare in ogni punto la forza → Infatti,

essendo Fx = −dU(x)/dx la forza e’ la pendenza di U(x) cambiata di segno.

• Consideriamo un ipotetica funzione energia potenziale U(x)

– I punti di massimo e di minimo della funzione U(x) corrispondono a punti dove Fx = 0

• punti di equilibrio

– Ogni punto di minimo di U(x) e’ una posizione di equilibrio stabile (per spostamenti da questa

posizione agisce una forza di richiamo). Per ogni piccola perturbazione riprende lo stato iniziale.

– Ogni punto di massimo di U(x) e’ una posizione di equilibrio instabile (spostamenti da questa

posizione agisce una forza che allontana ulteriormente dalla posizione) Per ogni piccola

perturbazione si allontana dallo stato iniziale.

Energia potenziale elastica e gravitazionale

In questo corso abbiamo considerato:

• Energia potenziale elastica U(x) = 1/2 kx^2 F(x) = −kx equilibrio stabile in x=0

• Energia potenziale gravitazionale U(y) = mgy F(y) = −mg

Moto armonico

• Un moto che si ripete nel tempo e’ detto periodico ( o armonico o oscillatorio)

• Esempio: molla agente su un oggetto su una superficie orizzontale priva di attrito

L’oggetto oscilla avanti ed indietro attorno alla posizione di equilibrio:

Se si sposta l’oggetto a destra, la molla allungata esercita una forza di richiamo verso sinistra

(opposta allo spostamento).

Nella posizione di equilibrio (molla a riposo) la molla non esercita forze.

Quando l’oggetto oltrepassa l’origine verso sinistra, la molla compressa esercita una forza di

richiamo verso destra.

• Caratteristica del moto oscillatorio: dovuto a forza di richiamo che agisce richiamando un oggetto

verso la sua posizione di equilibrio.

• Il tempo che il moto impiega per ripetersi e’ detto periodo T

• Tempo per compiere un’oscillazione completa

• Tempo dopo il quale si ritorna nella stessa posizione

Nel SI Unita’ di misura: secondi

• Il numero di oscillazioni complete per unita’ di tempo e’ detto frequenza f

f = 1/T

Nel SI Unita’ di misura: Hertz 1Hz = 1s^-1

Moto armonico semplice

• Consideriamo un tipo di moto oscillatorio, il moto armonico semplice, che si ha quando lo

spostamento segue la legge: x(t)= A cos (wt + Fi)

– A e’ l’ ampiezza del moto oscillatorio

– (wt + Fi) e’ detta fase del moto

– Fi e’ detto angolo di fase

– w e’ la frequenza angolare

• Moto armonico semplice e’ un caso particolare importante perche’ molti problemi in fisica si

riducono (per piccole oscillazioni) all’oscillatore armonico semplice o sue combinazioni.

Equazioni del moto armonico semplice

• Spostamento:

x(t) = A cos(wt + Fi)

• Velocita’:

v(t) = dx(t)/dt = −Awsen(wt + Fi)

notiamo che la velocita’ e’ nulla quando lo spostamento e’ massimo (x=A) ed e’ massima quando lo

spostamento e’ nullo (x=0)

• Accelerazione: a(t) = dv(t) /dt = −Aw^2cos(wt + Fi) = − w^2x(t) notiamo che l’accelerazione e’

direttamente proporzionale allo spostamento

• Forza che genera il moto armonico semplice : F = ma = − (mw^2)x

dove m e w sono costanti percui possiamo scrivere con k = mw^2

F = −kx e’ una forza di richiamo lineare (direttamente proporzionale allo spostamento).

Periodo del moto armonico semplice

• Possiamo quindi scrivere la forza che genera un moto armonico semplice come la forza di

richiamo elastica se la costante elastica e’: k= m w^2

• La frequenza angolare del moto armonico semplice e’: w = radq k/ m

• Il periodo: T = 2Pi/ w = 2Pi radq m/k

– m maggiore → si muove piu’ lentamente → tempo maggiore per ritornare nella stessa posizione

– k maggiore (forza della molla maggiore) → si muove piu’ velocemente → meno tempo impiegato

per tornare nella stessa posizione.

Energia del moto armonico semplice

• Energia potenziale della forza elastica

• Energia cinetica

• Energia meccanica

• K=0 quando v=0 → punto di inversione ovvero spostamento massimo, allora U max.

• U=0 quando spostamento(dall’equilibrio) e’ nullo → v max, allora K max.

Accenno a vibrazione delle molecole

• Quando due atomi sono separati da una distanza pari a pochi raggi atomici, esercitano uno

sull’altro forze attrattive.

• Se la distanza viene ridotta fino a far sovrapporre i loro gusci elettronici, le forze interatomiche

diventano repulsive.

• Tra questi due limiti c’e’ una distanza di equilibrio(Ro) tra i due atomi tale percui possono formare

una molecola.

• La forza di un atomo sull’altro ha un andamento complicato (vedi fig.) ma e’ positiva per rRo,

allora e’ una forza di richiamo attorno a Ro

• Se i due atomi vengono spostati dalla posizione di equilibrio Ro, inizieranno ad oscillare.

Per oscillazioni di piccola ampiezza si puo’ approssimare la forza ad una linea retta (cioe’

proporzionale allo spostamento), allora moto armonico semplice! → molecola come molla.

Moto circolare uniforme

• Relazione tra moto armonico semplice e moto circolare uniforme.

• Consideriamo il moto circolare uniforme di un oggetto con velocita’ angolare w su una crf di

raggio A

– Il punto Q descrive la posizione dell’oggetto ed il punto P rappresenta la proiezione di Q sull’asse

x

– Il punto P esegue un moto armonico semplice lungo l’asse x oscillando tra A e -A : x(t) = A

cos(teta).

dove teta varia nel tempo come teta = ωt + φ

• Moto armonico semplice equivale al moto della proiezione di un moto circolare uniforme su un

diametro

• Moto circolare uniforme puo’ essere visto come la combinazione di 2 moti armonici semplici su 2

assi perpendicolari sfasati di Pi/2

Accenni di Gravitazione

Legge di Newton della gravitazione

• Ogni oggetto con massa nell’universo attrae ogni altra oggetto massivo con una forza In modulo:

Fg = Gm1m2/r^2

– Proporzionale al prodotto delle masse degli oggetti

– Inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza

Direzione: lungo la congiungente i due oggetti

Verso: attrattivo

Fg = − Gm1m2/m^2 r^

La costante di proporzionalita’ G e’ detta costante gravitazionale ed e’ una costante universale, cioe’

e’ la stessa per qualsiasi coppia di oggetti in tutto l’universo. Il valore oggi accettato e’:

G = 6.67 x 10^-11 N m^2/Kg^2

Gravitazione terrestre e peso

• La forza di attrazione esercitata dalla Terra su un oggetto di massa m e’ l’esempio di attrazione

gravitazionale piu’ familiare Fg = GmMt/Rt^2

• una delle due masse e’ la massa della Terra Mt

• la distanza e’ il raggio terrestre Rt

• Il peso di un oggetto e’ la forza gravitazionale totale esercitata da tutti gli altri corpi dell’universo.

Per un oggetto sulla superficie terrestre si trascurano le altre forze e si considera solo l’attrazione

terrestre: w = mg = Fg = FmMt/Rt^2

• Accelerazione gravitazionale sulla superficie terrestre

g = GMt/Rt^2 non dipende dalla massa m dell’oggetto

Non confondere g e G! Sono grandezze diverse