Appunti Elettrotecnica e macchine elettriche

POTENZA RESISTORE: nel caso specifico del resistore (R>0), valgono i seguenti fatti certi:

• la potenza assorbita (Pass): È sempre positiva ( )

• La potenza erogata (Perog): È sempre negativa ( )

Questo perchè un resistore è un elemento che dissipa energia (sottoforma di calore) e nin può generare o erogare la potenza elettrica

Per i generatori (come la batteria di un’auto), la potenza scambiata può essere positiva o negativa a seconda

del funzionamento:

• Se eroga potenza (la sta “generando” attivamente), Perog sará positiva mentre Pass negativa

• Se assorbe potenza (ad esempio in fase di ricarica della batteria), Pass sarà positiva e Perog negativa.

Si applica esclusivamente a sistemi lineari (come appunto i circuiti composti da resistori e generatori ideali), dove non esistono non linearità

Enunciato: qualunque grandezza di rete (tensione,corrente o la loro combinazione lineare) può essere calcolata come la somma dei contributi

(e etti) prodotti da ciascuna causa forzante ( generatori indipendenti) che agisce singolarmente.

N.B per applicare tale principio correttamente è necessario assicurarsi che ogni causa forzante agisca una e una sola volta nell’intera

scomposizione. Spegnere un generatore signi ca annullare l’e etto che esso impone. Per annullare l’e etto di un

generatore ideale di corrente, lo si deve sostituire con una corrente nulla ovvero un circuito aperto

per annullarne l’e etto, lo si deve sostituire con una tensione nulla ovvero un contocircuito (CC)

Causato dall’utilizzo improprio del circuito; in questo caso si ha una circolazione di corrente superiore a quella nominale. Qui si ha

surriscaldamento, che è causa di incendi

Si ha un guasto, due punti a potenziale diverso vanno in contatto diretto ( questo non sarà causato dall’utilizzo improprio del

circuito). Questo causa che la resistenza tenderà a zero mentre la corrente all’in nito ( teoricamente), causando quindi la circolazione

di correnti altissime

ff ff fi ff fi

Quindi il principio di sovrapposizione vale per grandezze lineari (correnti e tensioni), perchè le equazioni fondamentali (KCL, KVL, legge di ohm) sono

lineari.

N.B per dimostrare che un sistema è lineare possiamo vedere se vale o meno il principio di sovrapposizione

In generale possiamo dire che nel metodo che usiamo, le incognite principali sono le correnti dei rami.

Per una rete con L lati (rami) e N nodi:

• il numero di incognite è L (una corrente per ramo);

• il numero di equazioni indipendenti si può ottenere con la combinazione di KCL e KVL: tipicamente:

—> N−1 equazioni di KCL indipendenti ( quindi applica il primo principio a N nodi)

—> L−(N−1) equazioni di KVL indipendenti

la somma dà L equazioni indipendenti, cioè tante quante le incognite.

abbiamo rimpiazzato un vincolo (l'equazione originale) con un vincolo equivalente (il valore della soluzione che soddisfa l'intero

sistema). Il principio generale afferma che, in un sistema di equazioni, se sostituiamo una sola equazione con un vincolo equivalente, la

soluzione del sistema non cambia.

Questo stesso concetto si applica in modo diretto all'analisi delle reti elettriche. Una rete con nodi e rami è descritta da un sistema di

n L

equazioni in incognite (le tensioni e le correnti di tutti i rami). Queste equazioni derivano da:

2L 2L

Leggi topologiche: equazioni ai nodi e equazioni alle maglie.

n-1 L-(n-1)

· Leggi costitutive: equazioni caratteristiche che descrivono il comportamento di ciascun ramo (es. la legge di Ohm).

L

·

Il principio di sostituzione applicato a una rete afferma quanto segue:

È possibile sostituire un qualsiasi ramo di una rete con un generatore ideale di tensione o di corrente senza alterare le tensioni e le

correnti in tutti gli altri rami della rete.

La condizione fondamentale è che il generatore utilizzato per la sostituzione sia equivalente al ramo originale. Ciò significa che:

Un generatore di tensione sostitutivo deve imporre ai suoi morsetti la stessa tensione (in modulo e segno) che era presente ai capi

·

del ramo originale.

Un generatore di corrente sostitutivo deve erogare la stessa corrente (in modulo e segno) che circolava nel ramo originale.

·

Perché funziona? Quando sostituiamo un ramo, la topologia della rete (numero di nodi e maglie) non cambia. Di conseguenza, le 2L-1

equazioni relative a tutti gli altri rami e alle leggi di Kirchhoff rimangono identiche. L'unica equazione che cambia è quella caratteristica del

ramo modificato. Tuttavia, imponendo che il nuovo generatore fornisca esattamente la tensione o la corrente di partenza, stiamo di fatto

sostituendo l'equazione caratteristica originale con la sua soluzione, proprio come nell'esempio algebrico. Di conseguenza, la soluzione per

l'intera rete (tensioni e correnti) resta la medesima.

Nella rete modificata, l'equazione caratteristica del ramo in esame sarà diversa, poiché è stata definita da un nuovo generatore di tensione o di

corrente. Tuttavia, la scelta di questo generatore non è casuale, ma "opportuna".

Il generatore sostitutivo, infatti, deve essere scelto in modo da imporre le condizioni operative esatte del ramo di partenza. In questo modo, si

sta di fatto sostituendo l'equazione del ramo con la sua stessa soluzione, analogamente a come in un sistema algebrico si può sostituire

un'equazione con un valore di soluzione

Di conseguenza, la rete di partenza e la rete modificata ammettono la stessa identica soluzione. Ciò significa che le tensioni e le correnti in

tutti gli altri rami del circuito rimangono inalterate. In sintesi, il funzionamento di una rete non viene alterato se un suo singolo ramo viene

sostituito da un generatore equivalente che ne replica fedelmente le condizioni operative originali. Questo teorema è fondamentale per le

dimostrazioni successive.

Supponiamo di avere una generica rete elettrica contenente al suo interno:

- Generatori di tensione

- Generatori di corrente

- Resistori

Vado ad esaminare solo un ramo della rete, in questo caso dove c’è la scatoletta con la C che può

contenere qualsiasi cosa

Posso applicare il teorema di sostituzione. Immagino di sostituire al bioolo C un generatore di corrente

che mi farà fluire la corrente con la stessa direzione di quello iniziale e con la stessa intensità

Questa è una rete lineare, posso applicare il principio di sovrapposizione degli effetti nella forma che

prevede una suddivisione dei generatori in parti arbitrarie purché siano presi una sola volta.

considero quindi una volta i generatori interni (a sinistra della figura) e una volta i generatori esterni (a

destra della figura).

quando vado a considerare i generatori interni devo necessariamente spegnere il generatore esterno, il che

vuol dire che devo sostituirlo con un circuito aperto

Quando vado a considerare il generatore esterno significa che spengo i generatori interni e considero solo il

generatore esterno

Se queste sono le due reti ( reti che mi consentono di applicare il principio di sovrapposizione

degli effetti) è chiaro che qualunque tensione, corrente, combinazione lineare di corrente e tensione della

rete, può essere ottenuta sommando i risultati che ottengo analizzando la figura con quelli che ottengo

analizzando la seconda rete

Quando spengo i generatori all’interno la rete diventa una rete passiva, ovvero una rete composta solo da resistori. Quindi

questa rete io posso vederla come un’unica resistenza equivalente:

tensione a vuoto:

il problema fondamentale nel teorema di Thevenin è determinare la

la tensione a vuoto non è altro che la tensione ai morsetti del ramo a cui sto applicando il teorema (il ramo

dove ho sostituito il generatore di corrente o tensione) quando questi due morsetti sono scollegati, ovvero

quando la corrente che circola nei morsetti è 0.

Se sono in grado di valutare questa tensione V0 ho valutato il primo elemento che mi serve per calcolare V,

perché V è somma di V0 più il contributo del circuito con generatori interni spenti e la resistenza era quella

equivalente.

che relazione c’è tra V e I?

La struttura topologica del teorema di Norton è duale rispetto a quella del teorema di Thevenin. Mentre nel

teorema di Thevenin i due componenti (generatore di tensione e resistenza) sono collegati in serie, nel

teorema di Norton (generatore di corrente e resistenza) sono in parallelo.

Esiste una relazione precisa tra i parametri dei due teoremi. La prima osservazione è che la resistenza

equivalente (Req) è esattamente la stessa in entrambi i casi, poiché viene calcolata sulla medesima rete di

partenza. La relazione fondamentale lega la tensione a vuoto (V₀) di Thevenin e la corrente di corto circuito (Icc) di

Norton. Poiché entrambi i circuiti equivalenti rappresentano la stessa rete di partenza (vista dai morsetti A

e B), devono essere equivalenti anche tra loro.

la forza totale che agisce su una carica (q) che si muove con velocità (v) in una regione in cui agisce sia un campo elettrico

(E) che un campo di induzione magnetica sará data dalla legge di lorentz (5.1).

Mentre il campo elettrico in presenza di elettrostatica e in regime stazionario è conservativo (e spesso indicato con Ec ) (ciò implica che possiamo

de nire un potenziale) in generale il campo eletrrico, in presenza di cariche in moto e campi variabile nel tempo, non è più conservativo. In

quest’ultimo caso il campo elettrico totale sarà dato dalla somma di due contributi:

Natura delle Interazioni Magnetiche

- Le forze magnetiche (e quelle elettriche) sono forze a distanza e non richiedono il contatto per esercitarsi, a

differenza delle forze meccaniche di contatto.

- Sono talvolta chiamate forze ponderomotrici.

- Sono il risultato di interazioni tra cariche in moto (correnti elettriche) e si trasferiscono per induzione al

conduttore che le con na.

fi fi

Questo comporta che:

• Non esistono nè sorgenti nè pozzi isolati per il campo B

• Le lineee di usso sono sempre chiuse, poichè non ci sono punti in cui le linee possono nascere o terminare, quindi le limee del campo

di induzione magnetica devono essere delle linee chiuse

• Le sorgenti sel campo B sono le correnti elettriche (cariche in moto)

La regola della mano destra è fondamentale in elettromagnetismo per stabilire la relazione di

orientamento (o di verso) tra una linea chiusa (γ) e una super cie (S) di cui γ è il bordo.

Se una linea gamma giace sul piano orizzontale ed è percorsa in senso antiorario, il versore

normale (che è simboleggiato dal pollice) punterá verso l’alto, questo stabilisce

un’orientazione positiva per il usso che attraversa la super cie. Viceversa se la linea

gamma è percorsa in senso orario n avrá direzione verso il basso, questo stabilisce

un’orientazione negativa per il usso che attraversa la super cie.

Questo signi ca che il usso attraverso S1 (con versore n1

uscente da Σ) è uguale al usso attraverso S2 se, per

quest'ultima, si inverte il versore normale (n2′ =−n2 ), facendolo

puntare nello stesso modo rispetto al bordo γ.

In pratica, il usso di B attraverso qualsiasi super cie aperta

S delimitata dalla linea γ è sempre lo stesso, purché si

mantenga una coerenza tra l'orientamento della linea γ e

quello della super cie S.

fi fl fi fl fl fl fl fl fi fi fi fi

Le uniche linee di campo B che danno un contributo netto non nullo al usso

attraverso la super cie S sono quelle che "concatenano" la linea γ.

Geometria: Le linee di B concatenate con γ sono quelle che passano attraversano la

" nestra" de nita da γ in un modo simile agli anelli di una catena.

• Le linee che non intersecano S non contribuiscono.

• Le linee che intersecano S due volte (entrano ed escono da S) hanno un

contributo totale nullo (il usso è B⋅nentrante +B⋅nuscente =0).

• Solo le linee che si comportano come anelli attorno a γ intersecano S una sola

volta in modo netto (o un numero dispari di volte in modo netto).

• Non esistono linee di usso di B isolate non concatenate con correnti. Se ci fosse una linea di

B (necessariamente chiusa) che non concatena nessuna corrente, applicando la Legge di Ampère

a quella linea (γ), la circuitazione risulterebbe diversa da zero (poiché B⋅dl è sempre concorde al

verso di percorrenza scelto su una linea di usso), ma il membro di destra risulterebbe zero (μ0

Questa contraddizione geometrico- sica porta alla conclusione che una tale situazione non è

⋅0).

possibile.

- Le correnti sono le sorgenti di B. Ogni corrente genera un campo magnetico che si avvolge attorno

a essa.

fi fi fi fl fl fi fl fl

Analisi di Simmetria

Per trovare B, sfruttiamo la simmetria della configurazione:

1. Simmetria Traslazionale (Indipendenza da Z): Essendo il conduttore

inde nito, la distribuzione del campo B in un piano perpendicolare al lo è

la stessa per ogni quota z. La grandezza di B è indipendente dalla

coordinata verticale z.

2. Simmetria Rotazionale (Indipendenza da θ): La con gurazione è invariante

per rotazioni attorno all'asse del lo. Ciò signi ca che in tutti i punti che

si trovano alla stessa distanza r dal lo, il modulo di B deve essere lo

stesso (indipendente dall'angolo θ).

L'unica variazione del campo B sarà quindi con la distanza r dal conduttore, e

per la regola della mano destra, il campo B sarà un vettore che giace su

circonferenze concentriche attorno al lo.

fi fi fi fi fi fi fi

Il ragionamento è il seguente:

1. Si sceglie un verso di percorrenza per la corrente I1 (es. antiorario) e si suppone che

I1>0

2. Con la regola della mano destra, questo verso stabilisce l'orientamento del versore

normale (quindi in tal caso verso l'alto).

3. La stessa corrente I1 genera un campo magnetico B1. Le linee di questo campo,

all'interno del circuito C₁, sono concordi con il versode n1.

4. Di conseguenza, il prodotto scalare tra B1 ed n1 è positivo in ogni punto della

super cie S₁.

5. L'integrale di una quantità positiva, ovvero il flusso è anch'esso positivo.

6. Poiché Phi_{11} = L1 \ I1, e abbiamo supposto I_1 > 0 ottenendo Phi_{11} > 0, ne

consegue che il coef ciente L1 deve essere positivo.

- Se la corrente I₁ è negativa (discorde rispetto al riferimento), anche il campo B₁ inverte

il suo verso. Di conseguenza, il usso Φ₁₁ attraverso la super cie (il cui orientamento è

sso) diventa negativo.

• Conclusione: Il coef ciente di autoinduzione è il rapporto tra due quantità entrambe

negative (L₁ = (-Φ₁₁) / (-I₁)), risultando quindi nuovamente positivo.

Il coef ciente M è positivo quando una corrente positiva nel circuito 1 (I₁

> 0) genera un campo B₁ che produce un usso attraverso il circuito 2

(Φ₂₁) concorde con il riferimento di quest'ultimo.

• Regola Pratica: M è positivo se i campi magnetici generati dai due

circuiti si rafforzano a vicenda nello spazio tra di loro. In altre parole, se

le linee di usso di B₁ e le linee di usso che sarebbero generate da B₂

hanno lo stesso verso.

fi fi fi fl fi fi fl fl fl fi

Se invertiamo il riferimento del circuito 2 (cambiando di fatto il verso del suo versore normale n2), lo stesso campo B₁ produrrà un usso

Φ₂₁ negativo. In questo caso, il coef ciente M21 diventa negativo.

• Regola Pratica: M è negativo se i campi magnetici generati dai due circuiti si oppongono (indeboliscono) a vicenda.

Il campo B presente nella formula è il campo magnetico esterno, ovvero quello generato da tutte le altre sorgenti tranne il conduttore

stesso.

• Origine Microscopica: Questa forza, misurabile a livello macroscopico sul conduttore, è in realtà il risultato della Forza di Lorentz che agisce sulle

singole cariche in movimento all'interno del lo. Queste cariche, muovendosi, "trasmettono" la forza al reticolo cristallino del materiale.

• Applicazione Fondamentale: L'interazione tra correnti e campi magnetici è il principio alla base della conversione elettromeccanica dell'energia e

del funzionamento di tutte le macchine elettriche (motori, generatori)

analizziamo il caso di due conduttori rettilinei, in niti e paralleli, posti a distanza D e percorsi da correnti I₁ e I₂. L'obiettivo è calcolare la forza

per unità di lunghezza che agisce su uno dei due li (ad esempio, sul lo 2 a causa del campo generato dal lo 1).

fi fi fi fi fi

1. L'Origine Microscopica del Magnetismo ⚛

Il comportamento magnetico dei materiali non è dovuto a qualche nuova

legge sica, ma all'effetto collettivo delle cariche già presenti al loro

interno.

• Correnti Elementari: Gli elettroni che orbitano attorno ai nuclei atomici

possono essere visti come minuscole spire di corrente ("correntine

elementari" o molecolari).

• Sorgenti del Campo: Poiché le correnti sono le sorgenti del campo

magnetico, queste correntine atomiche contribuiscono al campo magnetico

totale.

Un materiale può quindi essere immaginato come un insieme di miliardi di

piccolissime spire percorse da corrente.

L'effetto macroscopico di queste correnti elementari dipende dal loro orientamento.

• Stato Non Magnetizzato: In un materiale non sottoposto a un campo magnetico esterno, le spire elementari sono orientate in modo casuale

e arbitrario. I loro singoli contributi al campo magnetico si annullano a vicenda. Il risultato netto è nullo, in modo simile a un conduttore

elettricamente neutro.

• Stato Magnetizzato: Quando il materiale è immerso in un campo magnetico esterno B, questo esercita una forza (del tipo IdL x B) su

ciascuna spira di corrente. Questa forza tende ad allineare