Appunti Elettrotecnica e macchine elettriche

TEOREMA DI TELLEGEN

Consideriamo due circuiti aventi la stessa topologia, senza necessariamente avere gli stessi bipoli.

Scegliamo i versi delle correnti e delle tensioni in entrambi i circuiti in maniera da avere la stessa

convenzione su tutti i lati dei due circuiti.

Allora di potrà enunciare il teorema di Tellegen, che dice che la somma dei prodotti di tensione di un

circuito per corrente dell’altro relativi ai lati corrispondenti è nulla.

In sostanza, prendendo un lato del circuito A e il corrispondente lato del circuito B, avremo che

∑ ∗ =∑ ∗

CIRCUITI RESISTIVI E CIRCUITI IN REGIME STAZIONARIO

Quando in un circuito dinamico i generatori erogano tensioni e correnti costanti e vogliamo calcolare la

situazione ‘di regime’, consideriamo nulle le derivate di tensione e corrente rispetto al tempo (studieremo,

infatti, i condensatori come circuiti aperti e gli induttori come circuiti chiusi). In questa situazione il circuito

di dice ‘in regime stazionario’.

In tale regime tutte le grandezze presenti nel circuito sono costanti.

Un circuito a-dinamico è, invece, costituito solo da generatori e resistori, per cui viene chiamato ‘resistivo’.

In questo caso la soluzione del circuito sarà trovare come le grandezze del circuito dipendono dalle

grandezze note dei generatori.

NB: un circuito dinamico in regime stazionario si comporta come un circuito resistivo.

CARATTERISTICHE DEI COLLEGAMENTI IN SERIE E IN PARALLELO

Resistenza o conduttanza equivalente

• Per i bipoli connessi in serie, la resistenza equivalente è data dalla somma algebrica delle resistenze

di tutti i resistori collegati in serie.

Per i bipoli connessi in parallelo, la conduttanza equivalente è data dalla somma delle conduttanze di

tutti i bipoli connessi in parallelo.

LA SERIE E IL PARALLELO DI GENERATORI IDEALI

Il concetto di bipolo equivalente in serie ed in parallelo può essere esteso ai generatori di tensione e corrente

ideali. Più precisamente avremo che:

- Due generatori di tensione in serie equivalgono ad un unico generatore di tensione il cui valore è la

somma degli altri due;

- Un generatore di corrente e uno di tensione in serie equivalgono al solo generatore di corrente;

- Due generatori di corrente in serie sono incompatibili;

- Due generatori di corrente in parallelo equivalgono a un solo generatore di corrente il cui valore è la

somma degli altri due;

- Un generatore di corrente e uno di tensione in parallelo equivalgono al solo generatore di tensione;

- Due generatori di tensione in parallelo sono incompatibili;

LA TRASFORMAZIONE STELLA-TRIANGOLO

Vi sono alcuni casi in cui non è possibile trovare una resistenza equivalente in quanto non è possibile

individuare una connessione in serie o in parallelo. Queste situazioni sono, in genere, dovute a disposizioni a

stella o a triangolo di resistori.

Per ovviare a questo problema si procede effettuando una trasformazione da triangolo a stella o viceversa.

Osserviamo che se trasformiamo il triangolo di

resistenze in una stella, possiamo poi procedere al

calcolo della resistenza equivalente complessiva.

Questa si calcola così: R serie con R , parallelo con

1 14

R serie con R , il tutto in serie a R .

2 24 3

Si può anche notare la comparsa di un nuovo nodo, il

nodo 5, corrispondente al centro della stella

equivalente al triangolo originario.

Notiamo anche che stelle e triangoli sono dei tri-poli

che possono essere sostituiti solo da altri tri-poli.

In questo modo possiamo generalizzare a tutti i casi in

cui vi sono stelle o triangoli che intralciano la

riduzione del circuito ad un'unica resistenza

equivalente.

Per rendere equivalenti una stella e un triangolo di

resistori dobbiamo scegliere opportunamente i resistori

sostitutivi, che dovranno quindi soddisfare una

relazione affinché l’equivalenza sia soddisfatta.

Le relazioni sono le seguenti:

- Trasformazione stella-triangolo

- Trasformazioni triangolo-stella

Il procedimento si può schematizzare come segue:

1. Numerare i nodi e i lati in modo arbitrario;

2. Dare i versi a tutte le correnti presenti nel circuito in modo arbitrario;

3. Dare i versi a tutte le tensioni presenti nel circuito in modo arbitrario (ma cercando di sfruttare al

meglio le conoscenze ormai acquisite relativamente alle convenzioni ed alla loro convenienza sulla

base della natura dei diversi bipoli);

4. Indicare le tensioni e le correnti di lato con il pedice relativo al lato a cui si afferiscono;

5. Scegliere un nodo da escludere in modo arbitrario;

6. Individuare le maglie fondamentali e orientare il verso di percorrenza in senso orario in modo

arbitrario;

7. Scrivere le equazioni della LKC considerando positive le correnti entranti nei nodi e negative le

altre;

8. Scrivere le equazioni della LKT considerando positive le tensioni concordi con il verso di

percorrenza della maglia e negative le altre;

9. Scrivere le relazioni caratteristiche relative ad ogni lato;

10. Individuare quali sono le variabili di stato;

11. Individuare quali sono tutte le altre variabili (non di stato) da eliminare nel sistema di equazioni

circuitali;

12. Sostituire le relazioni caratteristiche delle equazioni della LKC e LKT. In particolare, sostituire le

tensioni per i resistori, le tensioni per gli induttori, le correnti per i condensatori, le tensioni per i

generatori ideali di tensione e le correnti per i generatori ideali di corrente;

13. Si ottiene un sistema (numero di lati del sistema) equazioni da cui dobbiamo eliminare tutte le

l

correnti dei resistori, le tensioni dei generatori ideali di corrente e le correnti dei generatori ideali di

tensione;

14. Si ottiene il sistema fondamentale;

15. Abbiamo ottenuto le equazioni cercate che potranno essere semplificate per ottenere i risultati

richiesti;

NB: capacità, induttanza e resistenza sono valori sempre positivi!

IL TERMINE TRANSITORIO ED IL TERMINE DI REGIME

Il termine transitorio della soluzione del circuito è un termine che dipende dalle condizioni iniziali e dal

valore che assume la soluzione in un determinato istante t . Questo termine rappresenta la dinamica che

0

conduce il sistema da un certo stato iniziale a un certo stato finale (il regime). Questa dinamica transitoria si

estingue all’infinito. La rapidità con la quale si estingue dipende dai parametri del circuito attraverso una

costante di tempo τ. Questa costante rappresenta la velocità con cui il sistema passivo reagisce alla

sollecitazione dei generatori, quindi sarà dipendente dall’identità del sistema, ovvero dai coefficienti R, L e

C. Più in particolare τ=R C se nel circuito è presente un condensatore e τ= se nel circuito è presente un

eq

induttore. La R rappresenta la resistenza equivalente vista dal componente dinamico quando si sono spenti

eq

i generatori.

Il termine di regime rappresenta la dinamica del sistema quando il transitorio si è estinto, cioè quando il

circuito ha ‘dimenticato’ il suo stato iniziale.

La forma matematica di questo termine è una funzione che descrive la soluzione di regime ed è uguale a

quella del generatore, quindi:

- Se i generatori sono costanti il circuito tende ad un regime stazionario per che tende a infinito;

t

- Se i generatori sono sinusoidali il circuito tende ad un regime sinusoidale per che tende a infinito;

t

Nel nostro corso si studieranno prevalentemente circuiti dinamici con generatori costanti, quindi

eventualmente a regime stazionario.

Si parlerà, poi, di evoluzione libera se si impongono al sistema condizioni iniziali non nulle e lo si lascia

libero di evolvere (se le condizioni iniziali sono in realtà nulle il sistema si troverà a riposo e l’evoluzione

libera non avrà luogo).

In questo caso, però, è evidente che bisognerà avere delle informazioni sufficienti sul funzionamento del

circuito prima di questo stato iniziale.

Si elencano in seguito tutti i casi possibili in cui si accende una dinamica transitoria nel circuito:

Il circuito viene osservato a partire da un istante iniziale, in cui i suoi elementi dinamici hanno un

• valore noto. Non è, quindi, specificata la storia del circuito prima di questo istante iniziale. È il caso

più semplice poiché la condizione iniziale ci viene data;

Circuiti che cambiano valore di regime. In questo caso si ha a disposizione il circuito dall’origine

• della sua costruzione con i suoi generatori noti. Tutti gli eventuali transitori precedenti si sono estinti

poiché è passato un tempo infinito dalla sua costruzione (il circuito in pratica si trova a regime).

Un generatore del circuito modifica in un certo istante la funzione che lo caratterizza (quindi passa

da un certo regime di funzionamento ad un altro). In questo caso si studierà il circuito ad intervalli,

analizzando il regime per un tempo antecedente a questo istante di cambiamento, e poi per un tempo

successivo.

NB: la conoscenza della soluzione per tempi inferiori all’istante iniziale è permessa presumendo che

il circuito si trovi a regime.

Circuiti con interruttori. Possiamo avere un interruttore che modifica la topologia del circuito, che si

• trovava prima in condizion i di regime. Come esempio possiamo prendere la figura a destra, nella

quale un interruttore si apre modificando il circuito. Anche

in questo caso la cosa migliore è effettuare un’analisi per

intervalli. Il circuito prima dell’istante t si trova in regime

0

stazionario e noi possiamo studiare questo regime. In t=t il

0

circuito cambia la sua struttura e si accende un transitorio;

quindi, dovremo studiare cosa succede al circuito per istanti

a partire da questo in poi.

È sicuramente utile cercare di rappresentare cosa succede al

circuito prima e dopo che l’interruttore si apra, come

nell’esempio in figura.

Per lo studio di questo tipo di circuiti si procede nel

seguente modo:

1. Si suppone che il circuito sia a regime per t<t e si

0

calcolano le variabili di stato (in questo caso è solo una,

v(t));

2. Imponiamo la continuità della variabile di stato in t=t e

0

quindi conosciamo la condizione iniziale del problema

per tempi superiori a quello iniziale;

3. Disegniamo il circuito per t>t e risolviamo il nuovo

0

circuito.

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI

Per concludere questa parte, è opportuno notare che, come

accennato in precedenza, quando in un circuito ci sono più

generatori possiamo usare il principio di sovrapposizione degli

effetti per risolvere il circuito.

Utilizzando questo approccio, sappiamo che la soluzione sarà la

somma di diverse solu