Appunti Elementi di fluidodinamica computazionale per la progettazione meccanica, CFD

SPAZIATURA DEI NODI NON UNIFORME

Δ Δ Δ

Finora abbiamo fatto riferimento sempre ad un unico e non o , quindi si è sempre utilizzata

+1

una spaziatura dei nodi uniforme. Se non posso fare una spaziatura dei nodi uniforme, le formule utilizzate

soffrono di una riduzione dell’ordine di accuratezza (il fatto di poter scegliere l’ordine di accuratezza era il

vantaggio iniziale delle differenze finite).

Per applicazioni industriali non è fattibile, anche per problemi banali, avere spaziature uniforme.

RIDUZIONE DELL’ORDINE DI ACCURATEZZA

Ipotizziamo di dover trattare uno strato limite laminare.

Prandtl, vedi corso di fluidodinamica, ci dimostra che vale la seguente relazione:

• () → spessore strato limite

La prima particella deve rispettare la condizione di aderenza, quindi, ha la stessa velocità del muro; per

definizione lo spessore dello strato limite è tale per cui all’altro estremo ho una velocità pari al 99% di .

∞

Il rapporto tra le due derivate parziali, per le componenti di velocità, è inoltre:

Le variazioni di lungo (normali alla parete) sono molto più grandi della variazione di velocità lungo

(per via dei valori di Reynolds). Quindi le variazione di velocità lungo alla sono irrisorie.

6

= 10

Se, per esempio, e si utilizzasse una griglia uniforme (quindi con Δ = Δ), la spaziatura Δ

3

10

risulterebbe volte più piccola di quella necessaria per risolvere accuratamente i gradienti lungo quella

).

direzione (quindi lungo

Questa risoluzione numerica sarebbe, infatti, dettata dai gradienti più intensi presenti lungo la direzione

normale (che richiedono un Δ più piccolo per mantenere la variazione di tra due punti di calcolo

successivi limitata sotto un certo valore ammissibile per ragioni di accuratezza). Il numero di punti necessari

alla simulazione diventerebbe velocemente impraticabile al crescere di .

Δ Δ

Per sfruttare al meglio la discretizzazione dovrei utilizzare una griglia non uniforme con grandi e

piccoli. 1/√

Infatti, se usassi Δ/Δ ≈ in entrambe le direzioni avrei variazioni ammissibili di (tra due punti di

calcolo successivi) pur mantenendo una crescita più contenuta dei punti di calcolo all’aumentare del .

(se metto 100 celle invece di 10 celle sono più accurato? Dipende da dove le metto, infatti ci deve essere un

maggior numero di celle dove il gradiente è elevato)

,

Il gradiente di diminuisce al crescere di in uno strato limite i gradienti diminuiscono allontanandosi

dalle pareti. Per tale ragione la distanza tra due nodi in può essere fatta crescere mantenendo una

variazione di comunque limitata (tra due punti di calcolo successivi).

Vediamo cosa comporta una griglia non uniforme.

(growth rate – fattore di crescita – se = 1 ho il metodo alle differenze finite, se maggiore di 1 solitamente

1.2 aumento l’errore ma riduco il numero di celle) Δ ≠ Δ

Sviluppando in serie di Taylor in avanti e all'indietro (si deve considerare che ) si ottiene:

+1

2

2 3

) )

( + Δ − ( Δ Δ

+1 +1 +1 3

= − − + (Δ (1)

)

+1

2 3

Δ 2 6

+1 2

2 3

) )

( − ( − Δ Δ Δ

3

= + − + (Δ (2)

)

2 3

Δ 2 6

Sommando le due equazioni sopra si ottiene: ( ),

Rispetto le griglie uniformi non posso semplificare i termini ma questo non mi cambia molto; il

problema, nasce quando non posso semplificare i termini che moltiplicano le derivata seconda, infatti, ora

l’accuratezza non è più del secondo ordine (come accadrebbe per griglie uniformi).

Ora lo schema è accurato al primo ordine e non più al secondo.

La discretizzazione centrata della derivata prima non è più una approssimazione accurata al secondo ordine

≠ .

quando Infatti, in quest'ultimo caso, non si cancella il termine in rosso che rappresenta

+1

l'errore di troncamento del primo ordine.

Quando si discretizza uno strato limite, o più in generale, quando ho gradienti che si riducono man mano

che mi allontano, posso limitare (in un caso ideale) l’errore di troncamento se le differenza tra i due

2

− = ( )

intervalli fosse proporzionale al quadrato dell’intervallo in questo caso tale errore

+1

rimarrebbe comunque, del secondo ordine, ma questo non è possibile.

Si fa in maniera tale di avere sì una discretizzazione del primo ordine, ma l’errore che mi porto dietro è una

Δ

frazione di (inflation in Fluent). Una formula tipica per la distribuzione dei punti in strati limiti è:

+

=

+

→ ℎ ≈ 1.1 ÷ 1.5)

(con

che comporta: (

− = − ) = ( )

+

dunque, l’errore di troncamento è ancora del primo ordine. Se però è poco diverso dall’unità l’errore può

risultare comunque accettabile.

Δ → Δ = Δ → Δ = Δ → =

1 2 1 3 2 +

Dimostrazione: +1

+1 1 +1 )

= = → = − = ( − ) = ( − = Δ

+1 +1 −1

1

È quello che solitamente si fa con l’inflation (permette di rendere gli errori minori).

Si noti inoltre che l’errore è proporzionale alla derivata seconda, ne consegue che l’errore dipende anche

2 2

/ ≈ 0

dalla soluzione nel punto; quindi, se l'errore del primo ordine può essere trascurabile

(indipendentemente dall’applicazione o meno del growth rate).

(ovviamente ci deve essere un passaggio graduale tra una dimensione ed un’altra delle celle)

Se invece cercassi di eliminare il temine di errore aggiuntivo partendo dagli sviluppi in serie di Taylor (Eq.(1)

e Eq.(2)) otterrei:

Queste relazione è accurata al secondo ordine, ed è di fatto una media pesata (sulla base delle dimensioni

Δ Δ .

e ) delle approssimazioni in avanti e all’indietro fatte sul punto

+1

Tuttavia, la formula è più complessa e soprattutto difficilmente generalizzabile a problemi a più dimensioni

e per tale ragione poco usata nella pratica.

Più complesso e con minor accuratezza, quindi non conviene utilizzare questo metodo.

Per la derivata seconda si possono ripetere le stesse considerazioni. Infatti, sottraendo gli sviluppi in serie di

Taylor dell’Eq.(1) e (2), si ha:

La relazione è accurata al secondo ordine solo se:

Δ = Δ

+1

In generale si possono perdere uno o due ordini di accuratezza utilizzando griglie non uniformi.

Una formula ottimizzata per griglie non uniformi è interpretabile come formula alle differenze finite di tipo

conservativo (proprietà che studieremo più avanti nell’ambito dei volumi finiti):

± ½

Dove le funzioni non devono dipendere dal punto nel quale sono valutate:

( ) ( )

= + − + −

+1/2 +1 −1

+ = / è invece la condizione necessaria per ottenere uno schema accurato al secondo ordine.

= = : coincide con lo schema al primo ordine upwind (di ordine zero su griglie non uniformi:

inaccettabile in quanto non converge alla soluzione)

= /; = : coincide con lo schema al secondo ordine centrato (del primo ordine su griglie non

uniformi)

= ; = /: coincide con uno schema al secondo ordine all’indietro (secondo ordine perché guardo

due punti all’indietro rispetto ) (di ordine zero su griglie non uniformi: inaccettabile)

+1/2

Si noti che su griglie uniformi si ottiene la seguente formula che è ancora “solo” di ordine 2:

La formula è ottimizzata per griglie non regolari, ma non lo è dal punto di vista dell’ordine massimo (di

accuratezza) raggiungibile su griglie uniformi. Esiste infatti una formula di ordine 3 con lo stesso numero di

punti considerati (stencil).

Formule implicite (compatte): le approssimazioni delle derivate dipendono una dall’altra, aumenta l’ordine

ma richiedono la soluzione equazioni di equazioni algebriche.

Un’altra idea per utilizzare il metodo alle differenze finite anche per griglie non uniforme sono le formule

implicite compatte. Compatte perché mi bastano guardare pochi punti e implicite perché si porta dietro

delle incognite (vale anche se ho lo schema esplicito nel tempo).

Il metodo alle differenze finite di fatto viene utilizzato solo per griglie uniformi; infatti, nel caso di griglie

uniformi ho il degrado dell’ordine di accuratezza, formule più complicate con cui lavorare etc. Quindi la

complessità delle differenze finite per griglie non uniformi mi porta a preferire altri metodi.

VOLUMI FINITI ,

Il metodo alle differenze finite può essere accurato con ordine ma quando si hanno griglie irregolari il

metodo si complica e si abbassa l’ordine di accuratezza; dal momento in cui per problemi industriali

difficilmente è possibile avere griglie equi spaziate si opta per il metodo dei volumi finiti.

I volumi finiti sono al più del secondo ordine, quindi accurato al primo a seconda dell’ordine di troncamento;

quindi, posso rappresentare la variabile all’interno del volume o con un tratto costante o al più con una

retta. Rispetto agli elementi finiti si ha il vantaggio che la variabile è doppio definita all’interfaccia comune

(che nel caso 3D sono superfici); quindi, è possibile descrivere delle discontinuità (come gli shock), cosa che

nel caso di problemi strutturali non si hanno.

IL VANTAGGIO DELLE