Appunti del corso di fluidodinamica computazionale

Z Z

∞

1 1

X D sin(nπx) sin(mπx) dx = −φ x sin(mπx) dx. (2.48)

n 0

0 0

n=1

Per la proprietà di ortogonalità delle funzioni trigonometriche, nell’integrale al primo

membro risulta diverso da zero solo il termine con m = n, per cui si ha

Z Z

1 1

2

D sin (nπx) dx = −φ x sin(nπx) dx. (2.49)

n 0

0 0

2

Considerando che sin (nπx) = 1/2(1 − cos(2nπx)) si ottiene:



 

 

 φ

D φ 1 0

n 0 1 1 n

=⇒ D = 2

= − [sin(nπx)] (−1) . (2.50)

− [x cos(nπx)] n

0 0

2 nπ nπ nπ



 {z }

| 

 | {z } (−1)

n

=0

Infine la soluzione è: ∞ n

2φ (−1)

X 0 2 2

n π t

−α

φ(x, t) = u(x) + v(x, t) = φ x + e sin(nπx). (2.51)

0 nπ

n=1

Si può notare che la componente non stazionaria della soluzione decade esponenzialmente

nel tempo e le frequenze spaziali più elevate decadono più rapidamente. Questo tipo di

equazione si ritrova nella descrizione di flussi non stazionari e nei problemi di conduzione

termica. Un ulteriore esempio può essere utile.

Consideriamo il moto non stazionario di un fluido incomprimibile viscoso

Esempio.

dovuto all’accelerazione impulsiva impressa ad una lastra piana di lunghezza infinita.

Consideriamo il flusso bidimensionale, in cui solo la componente di velocità parallela alla

lastra (lungo x) è diversa da zero. Dal corso di Fluidodinamica è noto che questo è un

flusso parallelo in cui le derivate della velocità rispetto a x sono nulle, mentre il profi-

lo si sviluppa con un gradiente nella direzione y perpendicolare al piano in movimento.

L’equazione di conservazione della quantità di moto che governa il fenomeno è:

2

∂ u

∂u = ν (2.52)

2

∂t ∂ y

dove ν è la viscosità cinematica del fluido. Questa equazione è risolta con la seguente

condizioni iniziale u(0, y) = 0, (2.53)

e le seguenti condizioni ai limiti del dominio spaziale

u(t, 0) = U, t > 0, (2.54)

u(t, +∞) = 0, 16

2 CLASSIFICAZIONE DELLE EDDP DEL SECOND’ORDINE

dove U è la velocità della lastra piana. Per risolvere questo problema si ricorre ad una

soluzione di tipo autosimilare: si riduce la EDDP ad una equazione differenziale ordinaria

portando il numero delle variabili ad una. Introduciamo la funzione adimensionale

u

f (η) = , (2.55)

U

e la variabile y

√

η = . (2.56)

2 υt

Con alcune sostituzioni si ottiene la seguente equazione ordinaria

2 ∂f

∂ f + 2η = 0, (2.57)

2

∂η ∂η

con condizioni al contorno: f (0) = 1, (2.58)

f (∞) = 0, (2.59)

la cui soluzione è:

Z η

2 2

−η

√ e dη . (2.60)

u = U 1 − π 0

Anche in questo caso è evidente la natura transitoria di una componente della soluzione.

2.4 Equazioni ellittiche

Consideriamo ora un’equazione ellittica per cui

2

b − 4ac < 0. (2.61)

e quindi non vi è la presenza di curve caratteristiche. In questo caso le due famiglie di

curve caratteristiche sono: y − c x + ic x = k , (2.62)

1 2 1

y − c x − ic x = k , (2.63)

1 2 2

dove c e c sono rispettivamente la parte reale e immaginaria delle due radici complesse

1 2

e coniugate dell’equazione (2.7). La trasformazione nella forma canonica

φ + φ = H(φ , φ , φ, ξ, η) (2.64)

ξξ ηη ξ η

è essere ottenuta scegliendo ξ e η nella maniera seguente:

ξ = y − c x, (2.65)

1

η = c x. (2.66)

2

Questo tipo di problemi viene detto di giuria ed ha bisogno di condizioni su tutto il con-

torno del dominio di calcolo. Non essendoci curve caratteristiche, non esiste una variabile

17

2 CLASSIFICAZIONE DELLE EDDP DEL SECOND’ORDINE

φ=0

11111111

00000000

00000000

11111111

0

1 1

0

00000000

11111111

y 0

1 0

1

y=1 0

1 0

1

0

1 0

1

0

1 0

1

0

1 0

1

0

1 0

1

0

1 0

1

φ=0 1

0 0

1

φ=0

0

1 0

1

0

1 0

1

0

1 0

1

0

1 0

1

0

1 0

1

1

0 0

1

00000000

11111111

y=0 0

1 0

1

00000000

11111111

11111111

00000000

x=0 x=1 x

φ=φ 0

Figura 2.3: Problema di Dirichlet.

di tipo temporale come per problemi iperbolici e parabolici. Un esempio potrà chiarire

meglio questi concetti.

Consideriamo la EDDP ellittica nota come l’equazione di Laplace:

Esempio. φ + φ = 0, (2.67)

xx yy

da risolvere nel dominio 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 (vedi figura 2.3). Il lettore può facilmente

constatare che tale equazione è ellittica poiché è espressa in forma canonica. Non essendoci

curve caratteristiche, e quindi direzioni particolari lungo le quali vengono propagati i

segnali, mostriamo con il presente esempio che è necessario assegnare opportune condizioni

lungo tutto il contorno che racchiude il dominio di calcolo per poter determinare la

chiuso

soluzione nei punti interni del dominio stesso. Risolviamo l’equazione (2.67) nel dominio

rappresentato in figura 2.3 con le seguenti condizioni al contorno: φ(x = 0, y) = 0,

φ(x = 1, y) = 0, φ(x, y = 0) = φ , φ(x, y = 1) = 0. Utilizzando il metodo di separazione

0

delle variabili, si esprime la soluzione come

φ(x, y) = X(x)Y (y), (2.68)

dove X e Y sono funzioni rispettivamente della sola variabile x e y. Sostituendo tale

relazione nell’equazione (2.67) si ha ′′ ′′

X Y + XY = 0, (2.69)

dove l’apice indica la derivata. Introducendo un coefficiente α che dovrà essere determi-

2

nato in base alle condizioni al contorno e ponendo Y /Y = α , si ottengono le seguenti

′′

equazioni differenziali ordinarie:

2

′′

X + α X = 0, con X(0) = 0 e X(1) = 0, (2.70)

2

′′

Y − α Y = 0, con Y (1) = 0. (2.71)

18

2 CLASSIFICAZIONE DELLE EDDP DEL SECOND’ORDINE

Le condizioni al contorno su X e Y sono ricavate dalle condizioni su φ. La soluzione per

X è del tipo: X(x) = A sin(αx) + B cos(αx). (2.72)

Utilizzando le condizioni al contorno:

X(0) = 0 ⇒ B = 0, X(1) = 0 ⇒ α = nπ, n = 1, 2, .., (2.73)

si ha X(x) = A sin(nπx), n = 1, 2, .. (2.74)

n

La soluzione dell’equazione (2.71) è del tipo

Y (y) = C sinh[α(y − 1)] + D cosh[α(y − 1)]. (2.75)

Utilizzando la condizioni al contorno:

Y (1) = 0 ⇒ D = 0, (2.76)

si ha Y (y) = C sinh[nπ(y − 1)], n = 1, 2, .. (2.77)

Quindi la soluzione per φ(x, t) si scrive ∞

X

φ(x, t) = X(x)Y (y) = E sin(nπx) sinh[nπ(y − 1)], (2.78)

n

n=1

dove è stata considerata una sovrapposizione di tutte le soluzioni e dove E = A C sono

n n

costanti di integrazione che devono essere determinate utilizzando l’ultima condizione al

contorno, ovvero, φ(x, 0) = φ :

0 ∞

X

φ(x, 0) = − E sin(nπx) sinh(nπ) = φ . (2.79)

n 0

n=1

Per calcolare E integriamo l’equazione (2.79) nel dominio spaziale moltiplicando ambo i

n

membri per sin(mπx), con m = 1, 2, ..:

Z Z

∞

1 1

X

− E sinh(nπ) sin(nπx) sin(mπx) dx = φ sin(mπx) dx. (2.80)

n 0

0 0

n=1

Per la proprietà di ortogonalità delle funzioni trigonometriche, nell’integrale al primo

membro risulta diverso da zero solo il termine con m = n, per cui si ha

Z Z

1 1

2

−E sinh(nπ) sin (nπx) dx = φ sin(nπx) dx. (2.81)

n 0

0 0 19

2 CLASSIFICAZIONE DELLE EDDP DEL SECOND’ORDINE

2

Considerando che sin (nπx) = 1/2[1 − cos(2nπx)] si ottiene:

E φ

n 0 10 . (2.82)

= [cos(nπx)]

2 nπ sinh(nπ) {z }

| (−1)

n −1

Infine la soluzione è: ∞ n

2φ [(−1) − 1]

X 0 sin(nπx) sinh[nπ(y − 1)]. (2.83)

φ(x, y) = nπ sinh(nπ)

n=1

Quindi abbiamo verificato che la soluzione in un punto all’interno del dominio dipende

dalle condizioni assegnate su tutti i punti del contorno. Inoltre, non c’è una componente

della soluzione che ha carattere transitorio. Questo tipo di equazione si ritrova nella

descrizione di flussi stazionari e non stazionari, nei problemi di conduzione termica e nel

calcolo della distribuzione degli sforzi nei solidi. In base al tipo di condizioni al contorno, i

problemi ellittici (detti anche cioè problemi ai valori al contorno)

boundary value problems,

assumono la seguente denominazione:

• problema di (first

Dirichlet boundary value problem)

2

∇ u = 0 nel dominio , (2.84)

u = f (s) sul contorno ; (2.85)

• problema di (second

Neumann boundary value problem)

2

∇ u = 0 nel dominio , (2.86)

∂u ; (2.87)

= g(s) sul contorno

∂n

• problema di (third

Robin boundary value problem)

2

∇ u = 0 nel ddominio , (2.88)

∂u . (2.89)

a (s) + a (s) u = h(s) sul contorno

1 2

∂n

Consideriamo un ultimo esempio.

Dato il problema di Neumann da risolvere nel dominio circolare di raggio

Esempio

unitario, 2

∇ u = 0, 0 ≤ r < 1, −π ≤ θ ≤ π, (2.90)

dove 2

∂u 1 ∂ u

∂

2 r + ,

∇ u = 2

∂r ∂r r ∂ θ 20

2 CLASSIFICAZIONE DELLE EDDP DEL SECOND’ORDINE

con la condizione al contorno ∂u (1, θ) = f (θ), (2.91)

∂r

trovare la soluzione u(r, θ). Questo problema può essere risolto con un procedimento

analogo a quello mostrato nell’esempio precedente, usando il metodo di separazione delle

variabili u(r, θ) = R(r) Θ(θ) e esprimendo la soluzione nella forma

∞

a X

0 n

u(r, θ) = + r (a cos nθ + b sin nθ) (2.92)

n n

2 n=1

dove i coefficienti a e b dipendono dalle condizioni al contorno. L’aspetto importante di

n n

questo esempio è che affinché il problema sia ben posto, in particolare affinché la soluzione

esista, si può dimostrare che la funzione f (θ) deve soddisfare la seguente condizione:

I f (θ)dl = 0 (2.93)

lungo il contorno. Si lascia al lettore la breve dimostrazione basata sull’uso del teorema

di Green.

2.5 Sistemi di equazioni

Molti processi fisici sono governat