Appunti ed esercizi di Elementi di meccanica computazionale

Quaderno Appunti + Esercizi

Metodo degli Elementi Finiti (FEM)

• Descrittazione in tanti elementi nel dominio
• Soluzione Approssimata.
• Lezione 1

Passaggi fondamentali per il FEM:

• Divido il corpo in piccole regioni (elementi).
• Definire il comportamento dei singoli elementi.
• Assemblaggio: integrare i singoli comportamenti per ottenere il comportamento generale della struttura.

• 3 g.d.l. → u₁; u₂; u₃

Esempio (monodimensionale):

1. Guardiamo il singolo elemento:

Lo sforzo normale al piano sarà dato da:

N = K₁ (u₂ - u₁) (equazione costitutiva)

N.B. Questo studio del singolo elemento non è detto perché nell'ottica dello studio globale delle strutture non mi fornisce informazioni utili

2. Consideriamo lo stesso elemento ma con un approccio differente.

P₁ + P₂ = 0 (equazione di equilibrio)

3. Andando a guardare 1 + 2 ottengo:

dalla quale ricavo:

4. Posso ripetere lo stesso per l'elemento n° 2 e così via...

N.B. K è costituita da K^e=1 e K^e=2, ma K^e=1 + K^c=1 e K^e=2, ma è dato dall'assemblaggio di:

Scrivendo in forma matriciale esplicitando le azioni delle forze interne:

K * u = f

• K: matrice di rigidità globale
• u: vettore degli spostamenti globale
• f: vettore delle forze globale

Come si può costruire il vettore N(x) le funzioni di forma?

Sappiamo che:

• V_L = ̂V
• ω^r = B ̂V^
• ω^r = B ̂ω̂

Vorrei dare a nel seguente forma:

̂V = a₀ + a₁ x + a₂ x² + ...

oppure nella seguente forma:

̂V = M a dove M = [1 x x² x³]^T

a = [a₀ a₁ a₂ a₃]^T

Come posso esprimere in termini “nodali” di parametro:

• ̂V = M C^-1 ̂ω̂

Imponiamo le specifiche condizioni al bordo:

• ̂V(0) = ̂ô₁
• ̂V(ℓ) = ̂ô₂
• ̂r(0) = ̂ô₃
• ̂r(ℓ) = ̂ô₄

Ottenendo così un sistema di 4 equazioni in 4 incognite:

• ̂r(0) = ̂a₀
• ̂r(0) = ̂ô₃
• ̂V(ℓ) = ̂a₀ + ̂a₁ ℓ + a₂ ℓ² + a₃ ℓ³= ̂ô₂
• ̂V(ℓ) = ̂a₁ + 2 a₂ ℓ + 3 a₃ ℓ² = ̂ô₄
• C d = ̂ô dove C =

• [1 0 0 0]
• [0 1 0 0]
• [1 ℓ ℓ² ℓ³]
• [0 1e 2e² 3e²]

Quindi risulta che:

̂V = M ̂ω̂ = M C^-1 ̂ω̂

dove C^-1 =

• 1 0 0 0
• 0 1 0 0
• -3/ℓ 2/ℓ -3/ℓ² 1/ℓ
• 2/ℓ³ 1/ℓ² -2/ℓ³ 1/e²

Quindi:

N = M C^-1 = [N₁ N₂ N₃ N₄]

• N₁ = 1 - 3 x²/ℓ² + 2 x³/e³
• N₂ = x - 2 x²/ℓ + x³/ℓ²
• N₃ = 3 x²/ℓ² - 2 x³/e³
• N₄ = x³/ℓ² - x²/e

Prima possibilità:

sottointegrazione numerica

y ≈ N₃ q₃

N₃ (0) = 0

N₃ (e) = 0

Seconda possibilità:

linked

• γ = N B â + N B (ã, θ̂_a) ê
• γ = N B â + N B (ã, θ̂_a) ê

per analizzare e risolvere il pb del locking introduce la funzione di forma N_B

dove

• ν = B â + B 0

Passiamo da una formulazione agli spostamenti

dove il mondo degli spostamenti:

• ν = N₃ q₃

S = N Ŝ

Terza Possibilità:

approccio enhanced

*Partiamo dal funzionale degli spostamenti:

γ = ν' - θ θ + θ̃

Π(γ, θ, θ̃)

MODELLO ELASTICO (lineare)

Il problema che ci poniamo è come facciamo a risolvere un modello agli EF per un problema di un solido elastico. I passaggi sono i seguenti:

• Riprendere le equazioni FORTI
• Risolverti il problema in forma DEBOLE
• Sviluppo/programmazione di un EF

Prendiamo in considerazione le seguenti definizioni:

• Corpo omogeneo, elastico lineare, 3D
• Equazioni di campo div    b = 0
• ∇ ⋅ σ = b
• In Ω
• U = Ū    su ∂Ω_u
• σ Ĵ = Ū    su ∂Ω_u
• Materiale elastico-lineare-isotropo
• b: forze di volume   →   {b₁, b₂, b₃}^T
• U: spostamenti   →   {u₁, u₂, u₃}^T
• ε: tensore deformazioni   →   {ε₁₁, ε₂₂, ε₃₃, ε₁₂, ε₂₃, ε₁₃}^T
• σ: tensore degli sforzi   →   {σ₁₁, σ₂₂, σ₃₃, σ₁₂, σ₂₃, σ₁₃}^T     NOTAZIONE DI VOIGT
• D: operatore lineare che trasforma У in ε ed è una matrice 6x6

Attraverso le equazioni di legame, equilibrio e costitutive:

• Equazioni di equilibrio: [L]{σ} + {b}₁, {b}₂, {b}₃ in Ω
• Equazioni costitutive: {σ} = [D]{ε} in Ω
• Equazioni di compatibilità: {ε} = [L]{u} in Ω

con

• {σ}: tensore del secondo ordine degli sforzi
• {u}: vettore degli spostamenti
• [D]: tensore del 4° ordine di elasticità
• [L]: doppio contrazione (matrici diagonali)
• {ŭ}: pagora del Pfefferkorn (да definirе)
• {ε}: tensore del secondo ordine delle deformazioni
• {b}: vettore delle forze di volume

Dato che siamo in presenza di un materiale LINEARE-ISOTROPO l'equazione di legame costitutivo diventa:

∇ ⋅ D = λ tr(ε) 1 + 2με

dove

tr(ε) = ℰ ⋅ 1 = ε₁₁ + ε₂₂ + ε₃₃

D = [λ ( 1 0 1 ) + 2μ II ]      NOTAZIONE INGEGNERISTICA

Ω = [ [D^m]α T • {β} ] – [ ( tr(ε) ξ {1} ) ] + 2μ εβ

dove ∀:

• X = D] [α]=L [4] +
• Σⁿ: [1]
• [D^m]=[D][M]=

Elementi Finiti: 2D TRI-angolari

Riduciamo la dimensione del problema da 3D a 2D:

• Quanti sono i nodi di questo elemento? Sono 3 nodi.
• Quanti sono i gdl per nodo? Sono 2 per ogni nodo quindi 6 gdl.

Il metodo agli EF prescrive la scelta di funzioni di FORMA, ovvero si prende il dominio e lo si discretizza in Elementi Finiti (EF), quindi riduciamo la complessità di un problema continuo ad un problema discreto. Quindi mi ritroverò a risolvere un pb lineare con n incognite che sono gli n spostamenti nodali.

Per costruire la matrice di rigidezza K, la quale mi serve per risolvere il pb, si trattano dunque funzioni di FORMA. Se si è inesperti è la scelta più semplice possibile: scelgo funzioni di forma LINEARI.

Come è fatta la funzione di forma lineare per un triangolo?

• La funzione deve valere 1 nel nodo e 0 negli altri nodi.
• Funzione di forma nel nodo 1 (_NA):

N_A vale 1 nel nodo 1 e vale 0 negli altri: 2 e 3.

• Funzione di forma nel nodo 2 (_NB):

N_B vale 1 nel nodo 2 e vale 0 negli altri: 1 e 3.

• Funzione di forma nel nodo 3 (_NC):

N_C vale 1 nel nodo 3 e vale 0 negli altri: 1 e 2.

Quindi la generica funzione di forma per l'elemento TRI-ANGOLARE è:

N_i^e = a_i + b_ix + c_iy

È un'espressione lineare in x e y nella quale compaiono 3 costanti da determinare. Se considerando le 3 funzioni di forma diventano 9 costanti incognite.