Appunti e Esercizi con svolgimento per l'esame di Geometria e algebra lineare

Insieme

raggruppamento di elementi con o senza struttura

a ∈ A

• ∈, ↔, ∉
• ∈, ⇔

#Cardinalità = n° elementi

E = {1, 2, 3}

#(E) = 3

Prodotto Cartesiano

A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

Piano cartesiano _{è dato da ℝ × ℝ}

Applicazioni tra insiemi

Leggi che ad ogni elemento di A associa un preciso elemento di B.

f: A → B iniettiva se: ∀a, a’ ∈ A f(a) = f(a’) ⇒ a = a’ _{sia due oggetti di A vanno nello stesso oggetto di B.}

f: A → B suriettiva se: ∀b ∈ B ∃a ∈ A | f(a) = b _{tutti gli elementi di B sono posti da almeno un elemento di A}

2 elementi = di A

• unico elemento d B -> funzione
• due elementi d B

f: A → B sia iniettiva e suriettiva → bionivoca

1. se A, B sono finite ⇒ #(A) = #(B)
2. se f: A → B bionivoca

f^-1 _{APPROVAZIONE INVERSA}

f^-1: B → A

se l'applicazione f non è iniettiva, f^-1 non esiste

non perdo 2 elementi da B

se l'applicazione f non ai surrettiva f^-1 esiste non è limitato al codominio di B

f: A -> Im B

f^-1: In B -> A (è iniettiva)

f: A -> B biunivoca

do ogni elemento di B possiede uno ed uno solo elemento di A

APP. RIONI PARTICOLARI

Id: identità

Id: A -> A

vale Id(A) = A

se f: A -> A biunivoca allora f^-1: A -> A biunivoca

f * f^-1 = Id_A f^-1 * f = Id_B

Composizione

f: A -> B e g: B -> C

g * f: A -> C

(g * f)(a) = g(f(a))

Defin.

Si dicono spazio vettoriale reale un insieme V su cui sono definite:

• Somma: V x V → V
• Moltiplicazione per scalare: R x V → V

che devono godere delle 8 proprietà della scorsa volta.

Tutti gli insiemi su cui vengono bene queste operazioni e godono di queste proprietà si chiamano spazi vettoriali.

Ex

w₁ = {(x, y) ∈ R² / y = x - 1} (immagini di 2 rette)

w₂ = {(x, y) ∈ R² / y = x}

w₂ è uno spazio vettoriale, perché contiene il vettore nullo, mentre w₁ no.

Perché non basta che abbia il vettore nullo, bisogna controllare le proprietà.

È uno spazio vettoriale se, avendo un vettore, la somma di combinazioni lineari di quel vettore si quello stesso retto.

w = {(x, y) ∈ R² / x² + y² ≤ 1/3}

NON è uno spazio vettoriale, perché se è sia in V, il 2 deve essere tutto la retta generato da V, quindi gli spazi vettoriali non possono essere limitati.

Lo spazio si definito da un numero finito di GENERATORI.

Ex: Sp{ i, j, i+j }

Se io faccio una re possibili composizioni lineari di i e j ottengo tutto il piano, se so che esiste la coppia di composizioni lineari è: i, j, i+j

Quindi i sono linearmente indipendenti

• {i, j} GENERATORI

Quello più bello da utilizzare ed anche che mi premi il primo

• {i, j, i+j} GENERATORI

Il vettore i Non sono linearmente indipendent i= l₁i + l₂j

i₁ = i₁i + 0j + 0 (a₁ + a₂j) = 2 (a₂ + a₁5)

Se i genera solo tropi davvero tutto quello che esiste

Se U uno sp. vettoriale finituasi perondoV se   dimo BASE di V un sistema i generatori linearmente indipendenti di V.

minimo minimo di generator

DIAGONALIZZABILITÀ Uno spazio vettoriale è diagonizzabile ("Ilipible") se esiste una base dello spazio "ristretto alla sola le matric a trasfrosisone el dagenale."

Tounof, diagonali i vlaviofla, d^ot

quartso, diagonali di bol

3x

Verificare che i vettori

v = 2i+j u = 2i-5 w = i-3j

sono componenti e scriverli in come combinazione lineare di v e w

αv + βu + γw = 0

α(i+j) + β(2i-3j) + γ(i-j) = 0

i(α+2β+γ) - j(α+3β-γ) = 0

1) α + 2β + γ = 0

2) -α + 3β - γ = 0

3) vettori 2 vecchi quindi non si trovano ne valore ne una relazione tra le varie variabili

3β + 2γ = 0

sopra la scatole del sistema però i valore x β e γ sono ortonvi

α= β+γ β= -³⁄₂γ = ¹⁄₂

β libero di variare su tutto R

γ= -³⁄₂β

soluzioni = {¹⁄₂β, β -³⁄₂β}, β∈R

sono 3 numeri da non darso luogo ad una combinazione lineare non banali

2 parole sulla scatola

∃

β = 2

α = -1

γ = -3

allora

v - 2v - 3v = 0

w = 2v - 3v

Teorema

dim V = n

∀₁, ..., ∀_k ∈ V k≥n tale che spa{∀₁, ..., ∀_k} = V

Allora ∀₁, ..., ∀_k sono linearmente dipendenti e quindi è possibile scrivere un vettore (ad esempio ∀₁) come comb. lineare degli altri.

V₁ = a₂V₂ + ... + a_nV_k

spa{V₁, ..., V_k} = spa{V₂, ..., V_k}

V

⇨ V

* generatori se k = n

se V - 1 > n faccio il sotto passaggio, finche

k - m = n

Quel

Teorema

dim V = n ∀₁, ..., ∀_k w ≥ n tale che spa{∀₁, ..., ∀_n} = V

Allora posso togliere da ∀₁, ..., ∀_k (K - n) generatori tale che lo spa dei rimanenti sia V.

Ex

spa = {2i, 3i, i + 5j} = R²

In questo spa quindi si può togliere un vettore qualsiasi perchè il togliers 4+5j a quel punto lo spa resterebbe una retta.

Teo

dim V = n ∀₁, ..., ∀_k w < n linearmente indipendenti, esistono V_k+1, ..., V_n tali che B = {V₁, ..., V_n} base di V

Ex

spa={2i+3j}

questo spa crea però una retta. Se io quindi posso un qualunque vettore appartenenti al piano R² uno di essi resterebbe ortoga allora c'è una

spa di R²

spa={V_n, ..., V_n} ⊆ V ₇

partendo uno diverso.

Basi ortogonali: se formata da vettori a 2 a 2 ortogonali, quindi con prodotto scalare uguale a 0.

V sp. vett. "euclideo" <Kⁿ, <V, è definito un prodotto scalareB={V_n,V_m} <V si dirà ORTOGONALE se V_i,V_j = 0 i ≠ j

Base ortonormale se B e ortogonale, formata da esrri V_i x V_e = 0 i ≠ f = [^{1, i = 3}                0, i ≠ j]

La base canonica ei un esempio di base ortonormalepartendo da 2 basi ortogonali, posso formareoltre infinite basi ortonormali

QUESTE 2 BASI HANNO ORIENTAZIONE DIVERSA

B={μ + 5γ, + j5γ} basi ortogonale   W₁    W₂

u + tγ = i + j e j = √2

B'={½u + ¼j = 5;, ½ = ½, ½ = ½, 5}

W = 2u - 3j

COORDINATE IN RISPETTO A B. W = 2V_n + B_n =      W = a1*G3 + b(1 - B)j

                            [a₁ + bΣ ] = 2                            [a_b - B j = ] - 3

W = -½ (γ+j) + 5½ (γ=5)