Appunti e dimostrazioni di teoria di Analisi matematica I

A DECRESCENTE

EL

2) "10

X "20/A

E &

Ja &

bl Convessa/

Derivabile

Se > concava

>

2 in

volte =

, Le

7 7 CONVEssa/

&

PUNTO FLESSO CONCAVA/CONVESSA

DI SE DIXO

INTORNO INTORNO Concava

: XO CUI

IN

DX SX

DI In

CUI e

7f"(xd) A"

E' A

Th (xd)

· to di Se

Flesso Per

: : 0

= u

Secuexof(x) =o ==

f AR XASINTOTO

100

A Xo

SINTOTO VERTICAL

di a

Sia

VERTICALE per

accumulazione =

: e

: : Par

Ruf(x)

A-R l

ASINTOTO A ILLIMITATA

SIAA

ORIZZONTALE asintoto

y

CON orizzontale

: Se

: = =

: Perlof(x)-/mx

SIAf A-R q)

QILLIMITATA =

Se5m

ASINTOTO OBLIQUO CON y OBLIQUO

ASINTOTO

+

: q

0

: mx

O

: = +

e =

of(x)

NB Thu

PER 100

AVERE

PRIMA

VERIFICATO

ESSERE DEVO = &

DIFFERENZIABILITA

& (f(x)

f ↑'(xo)(x

I-R f(x)

I

IN

DIFFERENZIABILE JxER

XoEl o(x

xo) Xo)

SIANO

Xo SE +

INTERVALIO

: : +

=

: -

-

,

, &

f E'DIFFERENZIABILE E' X f'(Xo)

TH XOE)

: DERIVAbile

· Xo

IN in =

e

DIMOSTRAZIONE :

1) ↑(0)(x

eSCRIVOf(x) f(x0)

X0)

(x

f(x0) X(X-Xo) xo)

O(x-Xo)

DIVIDO

MOLTIPLICO PER x)

o(x

+ +

+ +

- -

O = -

2) poiche f'(Xd)(X-Xo)

f(xd

e

fixol)

fin dif

Tangente /xo y L'Ordinata

fra

La Differenza

La

+

a =

, ,

&'

XE A(xo)

X(x) (Xd)(X Xo)

x

UN

DELLA TANGENTE

e PUNTO

IN =

: - - -

DAL

3) QUINDI CIO CONSIDE

O(X-X CHE C

CHE

NOTO X ERRORE COMMETTE

CHESI

= ,

= e

Dif

/40

RANDO PUNTO R(xd)

UN TANGENTE

RETTA

IN La POSTO

IN Al &(x-xo

XO un

, ,

,

Me Intorno

TAYLOR A

SIANO Xo

PEANO Derivabile

di

TH FORMULA definita

DI RESTO Un E

CON In IN

- volte

· Xo

: e :

=

7 ! P(x)

f(x)

PDIGRADO P(x)

- POLINOMIO PEANO O(X-Xo)"

FORMULA TAYLOR

DI

VALGA DI

(A :

E RESTO

CON CON

+

=

N P(x)

B E' P(A) MAC

POLINOMIO LAURIN

VIENE POLINOMIO

IL TAYLOR DETTO

ALLORA

CENTRATO

DIGRADO DI

DI IN XO O

SE XO

ME : =

. POLINOMIO

(ESISTENZA

DIMOSTRAZIONE DEL

= CHEM

=On1 CHEE

d(x-xd"CON P"(d) "8"

X" (0)

Poiche' P()

1 DEVODIMOSTRARE

PER K

< 1

0 2 m

=

= , , ,

....,

-CHE ANCORA"" x CONk

2) 1

In

DEL'HÔPITA)

APPLICO DI

VOLTA

1 11 TH CALCOLO =

e X-Pv

3) Lu Derivabilità

Ma Per Il

Ancora La

ITERANDO APPLICAre del

PROCESSO Th Serve

ARRIVO A

IL

NUMERATORE 7 LA DERIVATA

INTORNO

IN DI

UN XO MA TO BASTA

SO SUA

SOLO IN

CHE E

AuXw-r(x)-Awid Pro-pury plm-d

&Yxd)

+

4) *

DIA

ALLORA CON

(X0)

L'ESISTENZA

SFRUTTO : (x

! =

m X0)

- Px-p =

wx)-A

1 h li

hu m)

P(x)

(

5 SVOLGENDO CONk

x

I CALCOLI -

: xo

+ =

3x0

Xp

X 4 -

- -

(UNICITA' POLINOMIO

DIMOSTRAZIONE DEL =

= x)

1) Ck(X-Xo)"

JQ(x) (

Suppongo ASSURDO

Per P(x) -

Che X

Ru

SARA'

2 l'hÔpital

Quindi UNA

CI TROVO CHE AD CERTA

Qualche coeff Applicando I de

Ma

E Th di a

.

A"(x) * Q"(XO)

ITERAZIONE E

Quindi fo

Limite

E Che Il

SIAf'() &E'

Vel I

· DERIVATA

TH NULLA Intervallo <

0

: COSTANTE In

=

DIMOSTRAZIONE Ab

1) b[f'(3)

Se f Che

O

falfia) 73eJa

Non be ASSURD

Fosse per

Costante =

Sa di Lagrange

11 Th

e ,

, XOE- Che è

f

CR DELLA L-R

· DERIVATA et

APERTO DERIVABILE

SIANO

M-ESIMA IN TUTTE

: M12

TO

: C

M-VOLTE CON

. ,

, .

.

SO XEDI MINREAT

O

1) Seme

Allora

Le parI

Nulle

TRANNE SIANO

DERIVATE Ho :

M-ESIMA

La :

, 2) SEME e'

Xo

DISPARI Estremo

Non

: di

E'

SERVE

N CAPIRE

A

B SE DI È

XO ESTREMO SAPENDO STAZIONARIO

Che

solo

. .

DIMOSTRAZIONE 0(Min)

A(xd)

f(x) =

= -

1) RELATIVO

USO DEF

La D(-f(x020

DI ESTREMO INTORNO DIXO (Max)

-

: .

(Ell

Intorno è

2) /verificate

SETale non

Xo estremo

> di

Entrambe =

3) )

/Verificate

UNISCO DI ORDINE

TAYLOR

FORMULA :

La Di Ce IP

. X

+ ((

Xo)" m

↑ X0)

X0)"

(x) xd" 1

P(x) x

f xo

-

(x 0(x

o(x (

/ Xo) =

f(x)

o(x +

+

+ +... -

+

- -

- -

=

= - -

tw(x x0)m A

X0)

f(x) S

xo)"

f(x)

=> +

(x

&(

+

-

= =

- - -

1) /X-Xo)

4

. -f(x) fu(xo)

dif(x) Muo(1)

parl

Sem I

per Xexo

: e Almeno Poichè

o 0

e di

segno Quello un

a di to

in

il =

certo

= ,

QUANDO f(t-foo

QUINDI Idixo e

o = Minimo

in Relativo

Xo

un di

: fuoco e f(x-adco Idixo e

Quando = Massimo

in Relativo

Xo

un di

·

2)

4

. MDISPARI (X-Xo)"

Se dif (Xol

( Mentre

-se X-Xo

: L'altro fattore

lo

Di

CAMBIA segno

SEGNO ha

+ Se X-Xoso il

,

A(*)-f(x)

QUINDI è

Cambia I >

OGNI Xo

In

segno Estremo

di

non

di Xo & VXEl

1) -

(M

TH

· FORMULA LAGRANGE

TAYLOR RESTO >

CON

DI Dixo

Il DERIVABILE

SIA I

UN

In

VOLTE =

: +

+

1 m (3)(x

7) 3) Ty(f) +

f(x) 13

x0)u /X-X0)

x0) >

con

+

= -

-

!

(n 1)

+

B

N PONCO E

Se LA GRANGE

MIO TROVO FORMULA

DI QUESTA

TH PEANO

PRECISA Di RESTO DI

IL CON

+ QUELLA

e

.

DIMOSTRAZIONE F(x)

*

1) xo)"

G(x)

A(x) To(x)

PONGO (X-

F(x) x)

(40

IN

PERPOI APPLICARE TH CAUCHY

DI

IL A GCA)

e =

= - ,

INTEGRALi

↑ 7

[a bJeRe decostante

f Ca b]

A DELLA

SCALA SUDDIVISIONE

A scala se ED

Subintervallo

Suddivisione

una Ogni

: in

di

: , ,

CmER(f(x) xj)

7) Su]xj

c

(n ( = 1

...,

,

, , fax(g(x)dx

=

fig

Lemma b) e deg

(a

Se sono funzioni

2 a su

scala

:

· ,

DIMOSTRAZIONE

1) A

SUPPONGO SUDDIVISIONES

STESSA

Che SIANO SULLA

COSTANTI

g

, =

=

(dx

2) di

Si ha

su Jx1

Sef X

= :

,

, MERImif(x)

As Jm XxeA

A Q e

INTEGRALI M

LIMITATE

Di Limitata

: in =

,

[10g1geYe@IAS /Sh/heYehex]

(I*(a))

(Ix(t)) INTEGRALE Sup

INTEGRALE : :

INF .

. IerIgkok - Ide 2eY

Vg

1) f e ! giach

7

Ca b]erlimitata E

Sia f Integrabile

Integrale con

XrieMANN :

: : , ,

Jof(x)dx

e [a

2) b]

l l'integrale dif

Tal

In Caso in scritto :

, ,

fr

LINEARITA &2

TH [a b]

· e

cer Cifrt

Siano Cr

Integrabili la funzione

= Cefz

su

: e Integrabile

,

, ,

b

c(of(x)dx

So[Cnfn c(atz(x)dx

(292]dx

b]

[a

SU Ha

Si

E + +

=

,

ADDITIVITA' +

ALIMITATA Sco

TH QLCb b]

E f

· c]e[2

[a Seco

[a

e b]

SIA INTEGRABILE

;

: INTEGRABILE

su su ok

E

e no :

, , =

,

Sede log

feg

Integrabili Ca

fig

Th b)

del Confronto =

Siano se

su

: allora

· :

,

b]

[a E'

& b]

SIAf R [a

TH INTEGRABILE

MONOTONA

· - =

: su

: , ,

b]

[a

Qe'

b]

[a

A =

TH INTEGRABIle su

SIA Continua

· : su ,

, fo

lecida

da

d]

Ca e

[a

a b]

Media quantità

a

media

Sia Integrabile

Integrale la

su su la

di

: ,

, , fof(x)dx

b] sup(f)

unf(x)

[a

&

TH = =

DELLA SIA INTEGRABILE

MEDIA <

su

· : ,

D IMOSTRAZIONE Joinf(ldxxsuped

1) f(x)

unf(x) sup(f)

Se = Th

12 Confronto

del Ho :

, Jocd( Josup(fldx

Somut(f)dx Huf(x)))b-

2) a) Mmp())(b-a)

(b-

a)

Scrivo c El SOSTITUIsco

=

: · =

= nuf(f)

d

3) (b-a)

DIVIDO Sup

E

Per OTTENGO

TUTTO : Jaf(x)dx

SIAf [a b] Foc[a f(x)

R b)

TH : -

: CONTINUA

· = =

, ,

DIMOSTRAZIONE Jof(x ep(f)]

MP()] [ef(9)

[ruf(x)

[min(t) max(e))

1) f([a b)) e

= = ,

,

, ,

↑ E' I

I

LOCALMENTE Integrabile

INTEGRABILE Se CHIUSO

Intervallo

In OGNI

Su LIMITATO DI

: e Jacolt

Jaelel

se

e' f(x)

#Integrale I

dif

funzione

f una Integrale localmente

: Integrabile in =

, ,

°

1 FONDAMENTALE

TH I

SIANO Ier

ef

INTERVALLO

· l f

Siano

: LOCALMENTE dia

INTEGRABILE Integrale

Qe funzione

e

: da

La

e a

Le

Se F'(x)

Fe

Intorno

in &(Xo)

di

un

Continua Xofl Derivabile

= Xo

In ESI HA : =

DIMOSTRAZIONE : ADDITTIVITÀ

F THMEDIA

DEVO (d

f(x

&u

1) =

Dimostrare E (-x)

SO CHE f(x)-f(x)

Che = =

2) F

Xo)

Poichè f(c)

QUINDI Poichè Re

/Essendo f(x)

X

Tra e

Co Compreso In =

e Continua Xo PerX-) Xo

, ,

Le

B SE F'(x) Uxe

f(x)

I È

Su I

CONTINUA I

F

TUTTO = DERIVABILE In C