Appunti di Teoria delle strutture - Parte 3

G

Cosa faccio per trovare se c’è un possibile equilibrio quindi un’instabilità in un percorso diramato? Cioè se

trovo un equilibrio possibile in una configurazione dove si sono attivati dei gradi di libertà in più rispetto a

quelli del percorso fondamentale, che non sono altro lo spostamento verticale che nel percorso diramato

non c’era, ho delle possibili configurazioni di equilibrio nuove? Se sì, ho l’instabilità perché posso passare da

una all’altra. Come faccio a vederlo? Lo vedo guardando la stazionarietà dell’energia potenziale totale, ho un

contesto più complicato perché qui ho un funzionale che non è altro l’integrale che ha dentro delle funzioni

derivate pure, quindi faccio la stazionarietà del funzionale W mediante il calcolo delle variazioni.

Variazione prima

Ora andiamo a fare la variazione prima e la poniamo pari a zero, andando a vedere se ci sono delle

configurazioni che fanno sì che ci sia stazionarietà di questo funzionale:

Abbiamo scaricato la derivata di v ’’ e derivato per v ’’, stessa cosa per v’ nel secondo tratto, quindi inizio a

0 0

scaricare queste derivate integrando per parti. 198

Quindi abbiamo due termini sotto il segno di integrale che sono moltiplicati entrambi per δv , quindi posso

0

scrivere come:

La variazione che mi è rimasta sotto segno di integrale, il dv , è arbitrario quindi posso fare in modo che si

0

debba annullare l’integrale.

Questa nella nostra trave è quella che viene chiamata che mi definisce la condizione di equilibrio,

euleriana

cioè quando questo accade nel campo, ho una condizione di equilibrio e ho che l’energia potenziale totale è

stazionaria. Fino adesso ho trovato l’energia potenziale totale, ne ho fatto la variazione prima e l’ho posta

uguale a zero, questo mi dice sostanzialmente che li ho equilibrio, ho sviluppato tutti i conti e mi è venuto

fuori un’integrale più 3 condizioni al bordo che in realtà qua sono due, poiché possiamo unire:

Poi nascono le condizioni ai limiti, per z = 0 o z = l: 199

Andando ad annullare l’energia potenziale totale abbiamo trovato un’euleriana nel campo che è la nostra

equazione di equilibrio e abbiamo trovato queste due condizioni al bordo. Se guardiamo la seconda riga delle

condizioni ai limiti o si annulla il momento o la derivata prima dello spostamento non è altro che la rotazione,

quindi o si annulla il momento o si annulla la sua duale cinematica che è la rotazione. Nella prima riga invece

o si annulla il taglio o si annulla il suo duale cinematico che non è altro che lo spostamento verticale. Quindi

abbiamo trovato nel campo un’Euleriana, la nostra equazione differenziale che ci dà l’equilibrio nel campo

invece nei bordi abbiamo trovato o una condizione cinematica o statica o viceversa, abbiamo 4 possibili

condizioni che però a 2 a 2 o sono cinematiche o sono statiche. Quindi con questa trattazione ci viene fuori

l’euleriana e le condizioni ai bordi.

Ricapitolando abbiamo impostato l’energia potenziale totale, abbiamo fatto la variazione prima e se

riusciamo a trovare delle configurazioni che è possibile l’equilibrio, quindi la variazione prima uguale a 0 in

una configurazione diversa da quella fondamentale abbiamo trovato sostanzialmente i punti di biforcazione

e perciò una possibile configurazione variata, quindi siamo sul tratto diramato. Abbiamo una situazione nella

quale l’equazione è uguale a zero se l’equazione di equilibrio di campo (euleriana) è uguale a zero e se anche

tutti i termini dai limiti sono uguali a zero.

Ora abbiamo trovato l’euleriana, abbiamo trovato le condizioni limiti, ma come la risolviamo? Prendiamo

l’euleriana pensando che EI e N siano costanti, semplificandoci l’espressione:

X

La possiamo scrivere come siamo abituati per risolvere l’equazione differenziale come:

Quella incorniciata è l’equazione differenziale che vogliamo andare a risolvere, se troviamo una soluzione di

questa equazione, quella è la nostra configurazione variata ancora equilibrata. La soluzione di questo

integrale, l’integrale generale di questa equazione differenziale di 4°ordine è:

Le derivate saranno:

Abbiamo 4 costanti che ci aspettiamo per un’equazione differenziale del 4°ordine. Per andarle a esplicitare

dobbiamo mettere dei vincoli perché le esplicitiamo attraverso le condizioni ai bordi, quindi ci mettiamo in

un esempio di trave appoggiata. 200

Esempio – Trave appoggiata

E’ sostanzialmente uno dei due esempi visti prima, dove le due sezioni di estremità possono ruotare. Le

possibili condizioni che potevamo avere al bordo, qui quali ci sono? In z = 0 abbiamo lo spostamento verticale

che è uguale zero, quindi ha la condizione cinematica ma quella statica, che sarebbe il taglio, non ce l’ha.

Sempre in z = 0, il momento è uguale a zero, che è una condizione statica mentre non abbiamo la condizione

cinematica che è la rotazione. In z = l si ha uno spostamento uguale a zero e un momento uguale a zero, la

rotazione è possibile e lo vediamo dal disegno anche dalla deformata. Perciò in z = 0 e z = l abbiamo una

condizione cinematica e una statica.

Quindi partiamo dall’integrale generale, andiamo a sostituire le varie cose e andiamo a ricavarci A , A , A ,

1 2 3

A . Partiamo da z = 0 che abbiamo:

4

Ci rimane:

Dalle ultime due ricaviamo che:

Quindi abbiamo ricavato:

E che:

Qui abbiamo due possibili soluzioni:

• = 0 quindi ci viene una soluzione banale con v = 0, che è il percorso fondamentale.

A

2

•

Se α è uguale a questa cosa allora:

Ricordandoci che: 201

Allora possiamo scrivere che:

Questi N sono i possibili carichi critici, cioè quando ho n uguale al carico critico, ho una possibile

configurazione variata ancora in equilibrio. Per n = 1 abbiamo il primo carico critico che si raggiunge che è

uguale a:

La configurazione corrispondente è:

Quindi siamo partiti da un percorso fondamentale che era questo:

E abbiamo trovato un percorso diramato:

Che nell’espressione sarebbe quello sottolineato in verde, quindi abbiamo un percorso diramato flessionale.

Se cambiano i vincoli ci sono altre condizioni, ci aspettiamo dei carichi critici diversi e ci aspettiamo delle

configurazioni diverse, per esempio se abbiamo degli incastri invece che le cerniere ci aspettiamo che la trave

si stabilizzi con un carico più alto, è più rigida. Possiamo rifare quello che abbiamo fatto adesso con tutte le

condizioni di vincolo possibili (incastro-incastro, incastro-carrello ecc.) oppure si può rapportare tutto alla

trave appoggio-appoggio, cioè sostanzialmente si dice che il carico critico in tutte le condizioni è:

E’ una costante per il carico critico che abbiamo nel caso di trave cerniera-cerniera. La c è una costante

moltiplicativa che rimodula il valore del carico critico in base ai vincoli, che è la stessa cosa che dire:

Non prendo la lunghezza reale della trave ma prendo una lunghezza l che chiamo lunghezza libera di

0

inflessione, quindi rimodulo la lunghezza. Questa lunghezza non rappresenta più la lunghezza della trave ma

rappresenta la lunghezza libera di inflessione, cioè la lunghezza che c’è fra due successivi flessi della

deformata, per esempio: 202

Andiamo a vedere le deformate nei vari casi per esempio:

Ricapitolando si ha:

Il carico critico euleriano è uguale a:

Cresce linearmente con il modulo di elasticità e il momento d’inerzia, quindi più la trave è rigida e più il carico

è alto mentre è inversamente proporzionale al quadrato della lunghezza, quindi più la trave ha una luce

ampia più il carico critico si abbassa ma il rapporto è al quadrato, quindi è il quadrato della lunghezza

02



inversamente proporzionale decresce con l .

Quando dobbiamo avere paura dell’instabilità? C’è un parametro che ci dice che non c’è bisogno di verificare

l’instabilità? Si, lo andiamo a vedere ora. Prendiamo il carico critico:

Riferiamoci a una sorta di tensione critica, cioè adimensionalizziamo il carico rispetto all’area:

C’è una grandezza che si chiama snellezza:

Data tra il rapporto della lunghezza della trave sul raggio d’inerzia (dimensione della

sezione). La snellezza riesce a identificare se possiamo avere o no problemi di instabilità,

perché tiene dentro tutti i fattori geometrici che influenzano il carico critico.

203

Possiamo quindi scrivere che la tensione critica è data da:

Questo è rigoroso per una trave appoggio-appoggio. Posso fare un grafico tensione critica-snellezza:

Si ha un qualcosa di inversamente proporzionale al quadrato

della snellezza, quindi più la snellezza è grande e più arrivo al

carico critico prima, quindi la σ è bassa, più la snellezza è

C

piccola (la trave è tozza) e più ho una tensione che mi cresce

all’infinito, per una snellezza uguale a zero avrei un asintoto

che va all’infinito. Le tensioni non possono andare all’infinito

quindi avremo un limite dato, se abbiamo un acciaio, dalla σ di

snervamento o di rottura. Avremo una snellezza al di sopra

della quale dobbiamo stare molto attenti all’instabilità, perché

l’instabilità arriva prima della resistenza meccanica, cioè se ho

una snellezza più bassa della snellezza critica λ e ho una σ più

0

sono apposto, non arriverà mai l’instabilità

bassa della σ

S

perché si rompe prima per questioni di resistenza, se invece abbiamo una snellezza superiore all’λ allora

0

bisogna stare molto attenti perché se si fa una verifica di resistenza non basta, cioè la trave non si rompe per

questione di resistenza, si instabilizza prima. Quindi se:

• 

λ < λ collasso assieme al raggiungimento della resistenza massima.

0

• 

λ > λ collasso per instabilità, per il raggiungimento del carico critico.

0

Per esempio per un acciaio da costruzione dove ho:

• 5 2

E = 2,1 * 10 N/mm

• 2

σ = 200 N/mm

0

La λ spartiacque fra collasso al raggiungimento della resistenza massima o collasso per instabilità, ha una

0

λ = 100. Quindi la snellezza pari a 100 ci dice che se sono al di sotto di questa snellezza curati solo della

0

resistenza, mentre se sono al di sopra solo la resistenza non basta.<