Appunti di Teoria delle strutture - Parte 2

B B

A questo punto si hanno due equazioni, date dalle due condizioni di congruenza, in 3 incognite e quindi

manca l’equazione di equilibrio che si deve scrivere utilizzando il principio dei lavori virtuali per i moti rigidi,

che si ha imponendo un cinematismo caratterizzato dallo spostamento virtuale δ.

Per il principio dei lavori virtuali ci sono la parte cinematica che deve essere compatibile e la parte statica

deve essere equilibrata, quindi si deve imporre l’equilibrio imponendo per un certo sistema lo spostamento

compatibile e di conseguenza viene equilibrata la parte statica.

Allora l’equazione di equilibrio viene scritta con un lavoro virtuale esterno (L ) dove tutto quello che

ve

insiste sulla struttura lavora per uno spostamento congruente e compatibile che è quello disegnato in

rosso, quello che si ricava dall’equazione è una X, una Y, un P equilibrata siccome il lavoro virtuale esterno è

dato dalle forze esterne che sono appunto le incognite iperstatiche X,Y e i carichi esterni P.

104

Il carico P lavora per lo spostamento del suo punto di applicazione che è appunto δ ed è positivo perché per

come è stato imposto lo spostamento sia δ che P vanno dallo stesso verso, poi la X è un momento che

lavora per la rotazione che vale δ/L ed è negativa perché si oppone alla rotazione ed è oraria, infine si

hanno le due Y quella che insiste sull’asta verticale lavora per la rotazione che vale δ/L ed è negativa perché

si oppone alla rotazione della sezione ed oraria, mentre quella che insiste sull’asta orizzontale non lavora.

Rotazione rigida della sezione

Momento Y che si oppone alla rotazione

Riscrivendo ora tutte le condizioni tra equazioni di congruenza ed equazioni di equilibrio all’interno di un

unico sistema, si ottiene un sistema di 3 equazioni in 3 incognite. Saltando tutti i passaggi matematici si

risolve il sistema algebrico da cui si ricavano i valori delle incognite:

Una volta ricavati i valori delle incognite iperstatiche e dello spostamento si riportano sulla struttura

reticolare associata che è una struttura isostatica avendo 6 gradi di vincolo e 6 gradi di libertà. Inoltre

conoscendo tutti i momenti è possibile disegnare il diagramma dei momenti: parte da zero in

corrispondenza del carrello, arriva alla fine del tratto orizzontale con un valore di 3/8PL tese le fibre interne

con andamento lineare siccome non è presente nessun carico distribuito; poi per l’asta verticale si parte

dallo stesso valore 3/8PL e sono tese sempre le fibre interne, ovvero viene operato il ribaltamento,

altrimenti non si avrebbe l’equilibrio del nodo, ed infine anche sul tratto verticale il diagramma del

momento avrà un andamento lineare siccome non è presente nessun carico distribuito, arrivando a 5/8PL

che però è un momento negativo in quanto tende le fibre esterne.

105

→

Analisi elastica - 1°Step formazione 1° cerniera plastica

Fino adesso è stata eseguita un’analisi elastica con il metodo dei telai e l’obiettivo è capire dove si trova il

momento massimo una volta disegnato il diagramma del momento.

Il momento massimo si ha in A nell’incastro pari a 5/8PL, allora si ha il limite elastico quando il momento

massimo è uguale al momento elastico che dipende dalla sezione e questo accade quando il carico P sarà

pari ad un carico Pe=8/5*(Me/L).

Poi andando oltre il limite elastico si va a saturare e plasticizzare tutte le fibre della sezione in A, si arriva

alla formazione della prima cerniera plastica quando il momento massimo è uguale al momento plastico

che dipende dalla sezione e questo accade quando il carico P sarà pari ad un carico P1p=8/5*(Mp/L).

Siccome si conosce lo spostamento δ è possibile calcolare anche lo spostamento δ in corrispondenza della

1p

prima cerniera, andando a sostituire all’interno di δ il carico P con il carico di formazione della prima

cerniera plastica P1p=8/5*(Mp/L).

→

Analisi elastica - 2°Step formazione 2° cerniera plastica

Con l’analisi elastica eseguita nel 1° Step si è visto dove avviene la formazione della prima cerniera plastica

e si otteneva una struttura isostatica ma non ancora labile.

A questo punto si può proseguire con il 2°Step che è sempre un’analisi elastica della struttura effettuata

dopo la formazione della prima cerniera plastica, quindi in A non è più presente l’incastro ma una cerniera,

questo vuol dire che nell’incastro si è andati troppo oltre con il caricamento tanto che in A è possibile la

rotazione con valore del momento che non può più salire perché la sezione è satura.

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La struttura è isostatica e la si va a rendere labile andando a disegnare la reticolare A-B’-B’’-C, dove nel

nodo B si va ad inserire la cerniera ed occorre andare a mettere quello che staticamente prima c’era

mentre adesso non c’è più, allora nella cerniera si va a mettere una coppia di momenti come incognita

iperstatica X dove prima si aveva sicuramente un momento mentre adesso non lo si può più avere perché è

stata inserita una cerniera. Fatto ciò, si può notare che la struttura è diventata labile e come tale ha un

possibile cinematismo che è il movimento δ che è quello rappresentato in rosso nella reticolare.

In questo 2° Step le incognite sono l’incognita iperstatica X e lo spostamento δ, mentre le equazioni

risolventi sono l’equazione di congruenza data dalla rotazione in B’ che deve essere uguale alla rotazione in

B’’ siccome prima erano un’unica sezione e non potevano ruotare l’una rispetto all’altra, mentre adesso lo

possono fare ma lo si deve impedire per avere qualcosa che è cinematicamente uguale alla struttura di

partenza, e un’equazione di equilibrio tramite il principio dei lavori virtuali per il sistema di travi,

caratterizzato dallo spostamento δ, il quale è possibile ricavare tramite il PLV imponendo che il lavoro

virtuale interno (L ) è pari a zero mentre il lavoro virtuale esterno (L ) è dato dalle forze che agiscono.

vi ve

Allora l’equazione di equilibrio viene scritta con un lavoro virtuale esterno (L ) dove tutto quello che

ve

insiste sulla struttura (X, Mp, P) lavora per uno spostamento compatibile che è quello disegnato in rosso.

Il carico P lavora per lo spostamento del suo punto di applicazione che è appunto δ ed è positivo perché per

come è stato imposto lo spostamento sia δ che P vanno dallo stesso verso, poi Mp è un momento che

lavora per la rotazione che vale δ/L ed è negativa perché si oppone alla rotazione ed è oraria, infine si

hanno le due X quella che insiste sull’asta verticale lavora per la rotazione che vale δ/L ed è negativa perché

si oppone alla rotazione della sezione ed oraria, mentre quella che insiste sull’asta orizzontale non lavora.

Si riscrive il sistema di 2 equazioni in 2 incognite andando ad esplicitare anche la condizione di congruenza,

poi dalla seconda equazione si ricava facilmente X, si va a sostituire nella prima equazione da cui si ricava lo

spostamento δ: 107

Quindi con questo 2° Step di analisi elastica succede che X è il momento su B, essendo la seconda sezione

critica in cui agisce il valore del momento più alto, dopo quello della sezione d’incastro, si forma la seconda

cerniera plastica quando X raggiunge il valore del momento plastico Mp, cioè quando anche questa

seconda sezione critica si è saturata.

Allora il carico di formazione della seconda cerniera plastica P2p, che è anche il carico di collasso Pc, è

uguale a 2*Mp/L, perché la struttura iniziale era una volta iperstatica, si hanno due cerniere, si forma il

meccanismo di collasso e la struttura va in crisi.

A questo punto è possibile andare a calcolare lo spostamento che si ha in corrispondenza della seconda

cerniera plastica, in modo tale che poi si può tracciare il grafico carico-spostamento.

Si prende l’espressione dello spostamento ricavata dal 2° Step di analisi elastica e si sostituisce al carico P il

valore del carico P2p=Pc che si ha alla formazione della seconda cerniera plastica.

Infine, è possibile graficare la storia di tutto il processo di plasticizzazione della struttura facendo un grafico

carico-spostamento, in cui si ha un primo tratto lineare fino al carico di formazione della prima cerniera

2

∗

8 7

= ∗ = ∗

plastica a cui corrispondeva uno spostamento , ed è chiaro che

1 1

3 30

8

= ∗

precedentemente era presente anche un carico al limite elastico a cui corrispondeva uno

5

2

7 ∗

= ∗

spostamento , che faceva riferimento allo schema strutturale iniziale.

30

Successivamente lo schema strutturale cambia, l’incastro è diventato una cerniera plastica con un

momento plastico, per cui si ha un secondo tratto sempre lineare fino al carico di formazione della seconda

2

2∗ ∗

= =

cerniera plastica a cui corrisponde uno spostamento ; la struttura che era una volta

2 2

2

iperstatica diventa un cinematismo e si ha il meccanismo di collasso.

Dopodiché con la formazione della seconda cerniera plastica nell’incrocio delle due aste che costituiscono

la struttura/telaio, essa non ha più niente da dare e va in crisi.

108

Allora in strutture iperstatiche, quando si forma la prima cerniera plastica, da lì in poi si ha una

redistribuzione delle sollecitazioni e il momento passa dalla sezione d’incastro satura ad una seconda

sezione; quando anche questa è satura si forma una seconda cerniera plastica e la struttura che era una

volta iperstatica diventa un cinematismo e si ha il meccanismo di collasso.

Inoltre, siccome il grafico è stato disegnato quasi in scala, è possibile osservare molto bene come il secondo

tratto lineare ha una pendenza minore rispetto al primo, in quanto la pendenza indica la rigidezza della

struttura, ed è naturale che quando si passa da un incastro ad una cerniera la rigidezza della struttura

diminuisce.

Il beneficio plastico totale β è dato dal carico di collasso diviso il carico elastico, ovvero il carico di

tot

formazione della seconda cerniera plastica diviso il carico al passaggio dalla zona elastica alla zona plastica.

Andando a sostituire i valori dei carichi si ottiene 10/8*(Mp/Me) dove il rapporto tra il momento plastico e