Appunti di Teoria delle strutture - Parte 12 ( integrazione numerica, elemento finito triangolare e a 4 nodi)

22/05/2023

INTEGRAZIONE NUMERICA

Gli integrali si devono fare anche su domini non semplici, quindi quando parliamo di elementi finiti gli integrali che portano al calcolo delle componenti delle matrici vari sono fatti in modo analitico ma in modo numerico.

QUADRATURA DI GAUSS

Si calcola l'integrale in modo approssimato.

Verifichiamo in questo caso il caso monodimensionale e se ho una funzione la rappresento.

L'integrale si può calcolare mediante la regola dei trapezi:

• I = [β(a) + β(b)] *
• I ≅ (b-a) β(a)+β(b)

Dinamiche:

• Metodo dei coefficienti indeterminati
• ∫aeβ(t)dt = b

⇵ ŷ = ζ = β(ζ) (chiccaie)

γ_aβ(a)+γ_bβ(b)=⅞_aβ

=^b2⁄₂β²/(x²-α²)

γ_a+γ_bβ²=²/(x²-α²)

La regola del trapezio integra in modo esatto le funzioni costante e lineare!

Ma regola però non usa siamo quasi mai funzioni costanti e lineari. Come si può estendere questo?

FORMULA DI GAUSS-LEGENDRE

scelgo un polinomio in [-1,1] e faccio un cambio di coordinato:

a =-1 e b=1

g(x) =⊛_α<x<⊛_β => x=⊛(ζ)

=> g(⊛(ζ))

-1<ζ<1

ho 4 percorsi uguali

 -2 pessi in cui e

 -2 pessi dove i punti ζ₁ e ζ₂ = g(ζ₂) e g(ζ₂)

date ζ₁ e z₂ non sono libero aliquid il elementum est longius et invenit

Deo scrivere delle 4 equazioni - integro funzioni polinomia

L'idea di base quindi è quella di approssimare la funzione data F(x) con una funzione approssimante P(x) facile da integrare tale:

_-1∫¹F(x)dx ≃ ∫¹_-1 F(z)dz = Σ_i=1^m w_if(z_i)

x₁, x₂, ..., x_n = f(x)=f(x_i); x_i f(z_i)=funzione approssimata

Ricordo che: dx → Jdξ → J = dx/dξ (jacobiano)

Elemento Finito Triangolare (Lastra)

È basato sul modello locale: ξ2 = 0 ξ3=0

y

• U₃
• 3
• u₃

• y₃
• U₁
• 1
• u₁

• x
• y₁
• 4

• y₂
• 2
• u₂

• y₂
• x₂

Spostamenti

Metodo per u e v delle funzioni approssimanti:

u(x,y) = Σ_i=1³ N_i(x,y)u_i

v(x,y) = Σ_i=1³ N_i(x,y)v_i

Dove accade che:

N₁(x₁, y₁) = 1

N₂(x₁, y₁) = 0

N₃(x₁, y₁) = 0

sviluppo la stazionarietà:

O = { [A^(e)] ∫[e(ⁱ)]^TB^TDBs(^e) t dA - ∫[o(^e)]^TN^TbdA - ∫[o(^e)^TN^Tp ds}

K^(e) F^(e) p^(e)

MATRICE DI RIGIDEZZA DELL'ELEMENTO

VETTORE DELLE FORZE DELL'ELEMENTO

VETTORE DELLE FORZE DI INERZIA

Teoria:

K^(e) o(^e) = (F^(e) + p^(e)) = O

In particolare:

K^(e) = ∫_A^(e) B^TDB t dA = ∫_A^(e) [B^T D (B₁ B₂ B₃) t.

F^(e) = ∫_A^(e) N^T bdA = [∫_A^(e) N (^T)^b b dA

se F^(e) = cost = ? F^(e)d

N₁ = N₀₀ = φ₃²(ξ) φ₃¹(η) = ^(1-ξ)(1-η)⁄₄

N₂ = N₀₁ = φ₁²(ξ) φ₃¹(η) = ^(1+ξ)(1-η)⁄₄

N₃ = N₁₁ = φ₁²(ξ) φ₁¹(η) = ^(1+ξ)(1+η)⁄₄

N₄ = N₁₀ = φ₃²(ξ) φ₁¹(η) = ^(1-ξ)(1+η)⁄₄

Il campo di spostamenti sarà:

u(ξ, η) = u₁N₁(ξ, η) + u₂N₂(ξ, η) + u₃N₃(ξ, η) + u₄N₄(ξ, η)

σ(ξ, η) = u₁N₁(ξ, η) + u₂N₂(ξ, η) + u₃N₃(ξ, η) + u₄N₄(ξ, η)

Esempio: Elemento a 9 nodi . m = n = 2

• φ₂²(ξ)
• φ₂²(η)
• φ₂²(ξ)
• φ₂²(η)

μ = (u₁, u₂, u₃, σ_x, μ_y)

KARICE DI ROBERTA (bx)

Non possiamo direttamente risale all'elemento "genitore" coi dimensioni 2 e 2.Faccio un cambio di coordinate e introduco delle funzioni di forma N che hanno le seguenti proprietà (also per il under):

• π₁(ξ, η) = 1 se ξ ≠ ξ₁ e η ≠ η_j
• = 0 se ξ ≠ ξ₁ e η = η_j

x = ^{x₂N₁(ξ, η) + x₃N₂(ξ, η) + ... + x_mnN_m(ξ, η)}

y = ^{y₂N₁(ξ, η) + y₃N₂(ξ, η) + ... + x_mnN_m(ξ, η)}

x = ξ(η)

y = y(ξ, η)