Appunti di Statistica

NON INDIPENDENTI

Quando i due campioni non sono indipendenti,

l’attenzione si sposta dai valori individuali dei singoli

campioni alle differenze tra i valori nei due campioni,

ovvero alla nuova variabile , e quindi

= −

1 2

l’analisi non considera le medie dei singoli campioni

ma la media delle differenze tra i due campioni, ovvero

= − .

1 2 INTERVALLO di CONFIDENZA

ASSUNZIONE Intervallo di confidenza Intervallo di confidenza per la

Le due popolazioni da cui si estraggono i campioni differenza tra le medie di due popolazioni non

hanno distribuzione normale o sono indipendenti, ( ):

−

1 2

approssimativamente normali (i campioni sono

̅

sufficientemente grandi per poter applicare il Teorema ±

−1,/2 √

del Limite Centrale, ovvero ≥ 30). 5. TEST per il CONFRONTO tra le

SISTEMA di IPOTESI: e

0 1 PROPORZIONI di DUE

Bilaterale: : = 0 Dove è la

0 POPOLAZIONI

{

: ≠ 0 differenza tra le

1 medie delle La differenza tra le proporzioni di due popolazioni,

Test unilaterale a DX: popolazioni e il ( ), è testata assumendo che i campioni sono

−

: ≤ 0 1 2

0 valore

{ estratti da due popolazioni (approssimativamente)

: > 0

1 dichiarato è normali, ovvero:

Test unilaterale a SX: sempre uguale 1. Sia che (1 − ) sono

≥ 5;

1 1 1 1

a 0.

: ≥ 0 2. Sia che (1 − ) sono

≥ 5.

0

{ 2 2 2 2

: < 0

1

Dove:

- e sono le ampiezze campionarie dei due

1 2

campioni;

- e sono le stime puntuali per le proporzioni

1 2

delle popolazioni calcolate come:

1 2

= =

1 2

1 2

- e sono il numero di casi di interesse

1 2

(successi) rispettivamente nel campione 1 e 2.

SISTEMA di IPOTESI: e

0 1

Bilaterale: : − =

0 1 2 0

{ : − ≠

1 1 2 0

Test unilaterale a DX:

: − ≤

0 1 2 0

{ INTERVALLO di CONFIDENZA

: − >

1 1 2 0 Intervallo di confidenza per la differenza tra le

Test unilaterale a SX: proporzioni di due popolazioni indipendenti, ( −

: − ≥ 1

0 1 2 0

{ ), con varianze non note ma omogenee:

: − < 2

1 1 2 0 (1 − ) (1 − )

Dove: 1 1 2 2

( ) √

− ± +

1 2 /2

- sono le due proporzioni delle popolazioni

− 1 2

1 2

ignote;

- è il valore dichiarato per la differenza tra le

0

proporzioni delle popolazioni.

STATISTICA TEST

-TEST: ( )

− −

1 2 0

= 1 1

(1

√ ∗ − ∗) ( + )

1 2

Dove è la proporzione combinata (pooled)

∗

calcolata come segue: +

1 2

∗= +

1 2

Sotto l’ipotesi nulla, la statistica test si distribuisce

come una Normale standardizzata (). Per prendere

una decisione è necessario, come al solito, usare

l’approccio del valore critico o del p-value.

Esempio: C’è una differenza significativa al livello di

significatività 0.05 tra la proporzione di uomini e la

proporzione di donne che voteranno a favore di una

nuova legge? Analizziamo due campioni casuali

costituiti da 72 uomini e 50 donne, rispettivamente, e

osserviamo che 36 uomini e 35 donne voterebbero a

favore della nuova legge.

12. ANOVA a una VIA (CONFRONTO tra più MEDIE)

risultato) rispetto alla quale vogliamo verificare

l’eventuale effetto del fattore.

: = = ⋯ =

0 1 2

{ :

1

Dove è il numero di gruppi (ovvero i livelli/modalità

della variabile qualitativa). L’ipotesi nulla indica

0

che le medie non sono diverse tra i gruppi, ovvero

tutte le medie delle popolazioni sono uguali tra loro.

Quando si analizza la relazione tra una variabile L’ipotesi alternativa indica che almeno una media

qualitativa e una variabile quantitativa, spesso 1

differisce dalle altre, non significa che tutte le medie

vogliamo verificare se la variabile quantitativa assume sono diverse tra loro.

valori medi che differiscono significativamente nei È sempre un test unilaterale a destra. (L’area di rifiuto

gruppi definiti dalla variabile qualitativa. è sempre nella coda di destra. +∞)

1. L’IDEA di BASE 2. PARTIZIONE delle VARIABILITÀ

L’analisi della varianza (ANOVA, ANalysis Of Per verificare l’ipotesi nulla, la variabilità totale

VAriance) consente di confrontare simultaneamente, (misurata attraverso la devianza totale ovvero dalla

da un punto di vista inferenziale, le medie di più di somma dei quadrati totale - viene scomposta in

)

due gruppi (popolazioni) e può essere considerata due componenti:

un’estensione al test per la differenza tra due medie di 1. La variabilità tra i gruppi: una componente

popolazioni indipendenti con varianze non note. attribuibile alla differenza tra i gruppi (misurata

NOTE dalla somma dei quadrati tra i gruppi - SSB),

a. Quando i gruppi sono definiti sulla base di un chiamata anche effetto del trattamento o del

singolo fattore si parla di ANOVA a un fattore o a fattore;

una via (one way). 2. La variabilità entro i gruppi: una componente che

b. Anche se si parla di analisi della varianza in realtà si riferisce alle differenze riscontrare all’interno dei

l’oggetto di interesse sono le differenze tra medie gruppi (misurata dalla somma dei quadrati

(non varianze) nei diversi gruppi. Infatti, tramite all’interno dei gruppi - SSW), considerata un

l’analisi della relazione tra due tipi di variabilità, errore casuale.

all’interno dei gruppi e tra gruppi, l’ANOVA = +

consente di trarre delle conclusioni sulla differenza

delle medie. ASSUNZIONI

1. Normalità distributiva delle (trattamenti)

popolazioni. Può essere verificata graficamente

con il boxplot o tramite test per la verifica della

normalità distributiva (test Shapiro Wilk). Se la variabilità tra (SSB) i gruppi è maggiore della

2. Omogeneità delle varianze. Può essere verificata variabilità all’interno (SSW) dei gruppi possiamo

con i test di Bartlett (quando le popolazioni sono affermare che ci sia un effetto significativo dovuto al

normalmente distribuite) e Levene. Il sistema di trattamento o fattore (ovvero alla suddivisione in

ipotesi che viene verificato con questi test è: gruppi) e quindi che le medie calcolate nei gruppi

12 22 2

: = = ⋯ = siano significativamente diverse.

0

{ 2

: 3. Le MEDIE dei QUADRATI

1

Nel caso di campioni con ampiezze simili Dividendo ciascuna somma dei quadrati (SS) per i

(campioni bilanciati) i risultati del test ANOVA rispettivi gradi di libertà, si ottengono tre varianze, o

non sono molto influenzati da differenze tra medie dei quadrati: MSB (la media dei quadrati tra

varianze, al contrario se le ampiezze sono diverse gruppi), MSW (la media dei quadrati entro i gruppi) e

(campioni non bilanciati) il problema potrebbe MST (la media dei quadrati totale):

essere serio (la validità del test non è garantita).

3. Le osservazioni campionarie sono estratte

casualmente ed indipendentemente dai gruppi.

SISTEMA di IPOTESI

Consideriamo un fattore

di interesse

caratterizzato da livelli

e una variabile casuale Dove è il numero di gruppi e è l’ampiezza

quantitativa (detta

campionaria totale, ovvero lo somma delle

anche risposta, Per identificare quali sono i gruppi che effettivamente

osservazioni in ciascun gruppo. e

= + differiscono tra loro si deve utilizzare un’ulteriore

( ma

− 1) = ( − 1) + ( − ) ≠ + . procedura che rientra nei cosiddetti metodi dei

4. La STATISTICA TEST confronti multipli.

Se le varianze sono omogenee: test di Tukey, o Honest

Significant Difference (HSD) test, per campioni

bilanciati (di uguali ampiezze) o test di Tukey-Kramer

per campioni non bilanciati, mentre se le varianze non

sono omogenee: test di Games-Howell.

PROCEDURA di TUKEY-KRAMER

Sistema di Ipotesi

Il che vogliamo verificare è

= = : = : − = 0

0 0

{ {

segue una distribuzione con e

. . 1 = ( − 1) : ≠ : − ≠ 0

1 1

. . 2 = ( − ). Dove e e sono 2 generici gruppi tra i gruppi

≠

totali.

5. Il TEST di LEVENE: IDEA statistica test

La è:

Il test di Levene si basa sul calcolo delle differenze, in ̅ ̅

−

valore assoluto, tra ogni osservazione e una tra le

=

seguenti misure di centralità: la media (più comune), 1 1

la mediana, la trimmed media. ( + )

√

La scelta di una tra queste tre misure di tendenza Dove è il Mean Squares Within ottenuto nel test

centrale dipende dalla forma della distribuzione. Si ANOVA (/( ). si distribuisce come una

− )

impiega: studentizzata con gradi di libertà al numeratore e

- La media aritmetica, quando la distribuzione dei gradi di libertà al denominatore.

( − )

dati è ritenuta di forma normale, almeno

approssimativamente; Si calcolano differenze, in valore

× ( − 1)/2

- La mediana, quando la distribuzione dei dati è assoluto, tra le medie campionarie di