Appunti di Statistica

UNITÀ STATISTICA

Carattere unità elementare su cui vengono osservati i caratteri oggetto di studio.

Un insieme omogeneo rispetto uno o più caratteri in analisi - COLLETTIVO.

CARATTERE

• QUANTITATIVO
  • DISCRETO
    • N numeri naturali
  • CONTINUO
    • N numeri reali
• QUALITATIVO
  • SCASNESSO
    • Le forme verbali non hanno collegamenti fra loro
  • ORDINATO
    • Le forme verbali hanno un collegamento fra loro ordine crescente o decrescente

X | Freq. Assolute | Freq. Ass. Cumulale | Freq. Relative | Frequ. Rel. Cumulle

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Medie

• ANALITICHE
  • MEDIA ARITMETICA
  • MEDIA GEOMETRICA
  • TRIMMED MEAN
  • MEDIA DEI QUADRATICI
• DI POSIZIONE
  • MODA
    • carattere che si presenta nella distribuzione con la maggiore frequenza
  • MEDIANA
    • è il modality percentile derivato secondo, ovvero un dato che divide il collettivo in due parti di uguale numerosite
  • QUANTILI
    • i valori che divide una distribuzione in parti a uguale numerosite

Indici di Eterogeneità

Carattere Qualitativo

C = 0

C = 1

Assenza eterogeneità

Max

Scomposizione della deviazione

D_tot = D_int(K) + D_es(X)

Somma delle Devianze Complesivamente

Indici di Variabilità

Carattere Quantitativo

Varianza

È una misura della distanza tra le unità osservate e una loro stima connesso della media aritmetica

D_int(K) = ∑ Div(V|X(G_j))

Somma delle varianze connesse

Forma in una Distribuzione

• Simmetrica

  Se la serie delle frequenze ordinate risulta costituita da coppie di osservazioni equidistanti rispetto ad un centro o asse di simmetria.

• Asimmetrica Positiva

  Le unità più piccole sono presenti in numero maggiore rispetto alle unità più grandi.

• Asimmetrica Negativa

  Le unità più grandi sono presenti in numero maggiore rispetto alle unità più piccole.

Due tipi di errore

α = P(rifiutare H₀ | H₀ è vera)

β = P(accettare H₀ | H₀ è falsa)

1-α = P(Accettare H₀ | H₀ è vera)

1-β = P(Rifiutare H₀ | H₀ è falsa)

α → livello di significatività

1-β → potenza del test

Ipotesi alternativa

• Unilaterale destr
• Unilaterale sinistr
• Bilaterale

Una volta fissato il rapporto di rifiuto per la determinazione empirica di alcune statistiche e il valore osservato (x₁...x_n) cade nel loro interno si può concludere per il rigetto detto, altrimenti si accetta.

Criterio del p-value

Vari il p-value fornisce una misura dell’evidenza sperimentale a favore di H₀.

Quindi più è elevato, tanto più l’ipotesi nulla è supportata dalla risultanze empirica.

Il p-value è dato dalla probabilità di osservare un valore della statistica test uguale o più estremo del valore ottenuto dal campione supponendo che sia vera l'ipotesi nulla.

p-value < α → rifiuto di H₀

Il vantaggio dell'uso del valore risiede nel fatto che è universalmente e non conflittua con i possibili valori α₁ di cui ciascun metodo è e può comprendere il grado di evidenza ottenuto per il rifiuto dell'ipotesi nulla.

Intervallo di confidenza per la media (σ² noto)

Z = (X̄ - μ) / (σ/√N)

a = X̄ - σ/√N * z_α/2

b = X̄ + σ/√N * z_α/2

Intervallo di confidenza per la media (σ² ignoto) t

s² = S_N / (N-1)

S = s√N

T di Student con g=N-1 gradi di libertà

T₀ = X̄ - μ / (S/√N)

a = X̄ - s/√n * t_(N-1)/2

b = X̄ + s/√n * t_(N-1)/2

I_X̄(γ) = [X̄ - t_(N-1)/2 S / √n , X̄ + t_m-1,γ/2 S / √n]

Intervallo di confidenza per la varianza (con media ignota)

α/2 1-(α/2)

↓ ↓

χ²_α/2 χ²_1-(α/2) → m - 1 gradi di libertà

q = [(N-1) * S²] / χ²_α/2

b = [(N-1) * S² / χ²_1-(α/2)]

I_G²(γ) = [ (m-1) S² / χ²_{m-1, γ/2}, (N-1) S² / χ²_{m-1, 1-γ/2} ]

Test

Test stima congiunta S²_p

S²_p = [(N₁-1) S₁²+(N₂-1) S₂²] / (N₁+N₂-2)

Intervallo di confidenza asintotico per una proporzione (π)

I_C(α) = [p - (z_α/2√(p(1-p) / n), p + z_α/2 √(p(1-p)/n)

TABELLA ANOVA

SSW = Somma delle devianze

SSA = Σ_i=1^k m_i M_i² - m MX²

RC = { f: f ≥ F_a;j,m }

H₀: M₁ = M₂ = ... = M_k = M

H₁: Almeno una media differisce dalle altre

M = ( Σ_i=1^k μ_i m_i ) / m

TEST χ² PER IL CONFRONTO TRA LE PROPORZIONI DI k POPOLAZIONI BERNOULLIANE

H₀: π₁ = π₂ = ... = π_k = π

H₁: Almeno una proporzione differisce dalle altre

χ² = m ( Σ_j=1^k Σ_i=1^j m²_ij / m_i - m_j - 1 )

RC = { χ² : χ² ≥ χ²_{k-1, a} }