Appunti di Statistica

INTERSEZIONE EVENTI COMPLEMENTARI 37

Proprietà Dimostrazione (con diagramma di Venn):

Proprietà associativa: (E U F) U G = E U (F U G)

E U (F U G)

(E U F) U G

E

Proprietà Dimostrazione (con diagramma di Venn):

Proprietà distributiva: (E U F) G = (E G) U (F G)

(E G) U (F G)

(E U F) G

E eiling 38

«ieiMutualmente esclusivi Concetto di dipendenza sapere che uno si è verificato mi da la certezza che l'altro non si sia verificato Il problema di questa impostazione è che è ricorsiva Va a definire la probabilità di un evento ipotizzando che tutti i (Non funziona come definizione) casi siano equamente possibili #Volte in cui si verifica un evento # prove 1° problema: non posso fare un numero di prove infinito 2° problema: anche se potessi non riuscirei a fare le prove nelle medesime condizioni 39

La probabilità dell'unione degli eventi è data dalla somma delle singole probabilità 40

Se disgiunti = 0BA

Dimostrazione:

DELESIULX27PLX 1 GopiùI PLX PLX1 3 1 0.90Gopiù 0.10B) probabilità che esca o "0" o “4”: ZIJPELX PCOIOI Perché2JSPELXOIULX PLXPLX OINCXZIj 32 IEo 0.500Esercizio:A = " Il # di pezzi difettosi l'almeno 2 "B = " Il # di pezzi difettosi è non più di 3"A e B sono incompatibili?UQuesto è vero se A B=0UCalcolo A B:UA B = [(x=2) U (x=3)] = 0.25 =0A e B sono compatibili 43Stessa probabilità di realizzarsiEvento con esito 1 Evento con esito 2 Evento con esito NProbabilità di un singolo esito 44Elementi totaliin 2 estrazioni1ª estrazione: 6 palline2ª estrazione: 5 palline(una l’ho tolta allaprima estrazione) Posso sommarli perché o accade una o l'altraEnumerare denominatore e nominatore 45IOgni esito haprobabilitàNon importa l'ordinei i i i 46Casi favorevoliCasi possibili 47dadiA 8sommaA 35 53uU 4U U426 GREPLAY 48comprende sia l'accettabileche

il non guasto5 guasti10 difettosi 403525 accettabili Guastomi 4930% di probabilità che la sua azienda apra a Phoenix60% di probabilità che ottenga il ruolo dirigenziale

P(nuovo manager)=?

U:= “nuovo ufficio a Phoenix”

M:= “promozione manager”

P(U)=30%

P(M/U)=60%=0.60

P(U M)=P(M|U) P(U)=0.60 0.30=0.18

UALBERO DECISIONALE

Comodo quando ci sono eventi concatenatinodi = risultati di ciò che può accadere

Concatenazione dei due sottoeventi (U,M)

P(U M)=0.60 0.30=0.18

UUo pto.o P(U M)=0.40 0.30=0.181 U0031 50

Tutto ciò che non è FO si verifica

P(F)F O NON si verifica 1-P(F)

P(H) = 0.3

P(H) = 0.7

P(A|H) = 0.4

P(A|H) = 0.2

51Quello che so di E, lo aggiorno con la conoscenza di F (se accade)

Me lo chiedo a posteriori

Sapendo che lui l’incidente lo ha fattoentro 1 anno

Prob. a posteriori: P(H|A )1

Probabilità condizionata

52Ieventoaggiuntivo Se sò che E accade, aggiornole informazioni su F

Ipotesi possibili

53Sapere qualcosa di F

non implica sapere qualcosa di E

Come Formula di Bayes

Indipendenza tra 3 eventi: Devono valere in contemporanea tutte le condizioni

Non vale in viceversa !(A due a due)

54

ESERCIZIO

A parliamo

B dispari

dadoc parisommadeuertacces 36

A e B sono indipendenti la eve esserveropcai.pepcanbi

Casi favorevoli ma Casi possibili

Platani L Gv6.3 umana.su IPCA PCB PLANB Iduca.ec 3 Icambi Aec sono indipendenti

Platt SPLA IPC CHIPictet I'oratorio gagpiane IPCA.pepcanci Beccano indipendenti

PINE Platz Pancreas.pe Passagepro

Nessun evento soddisfa questi requisiti

spiantone

I tre eventi non sono indipendenti tra loro, lo sono solo due a due

55

se n

56

UINCOMPATIBILITÀ: è definita sugli eventi A B = 0

UINDIPENDENZA: è definita mediante le probabilità P(A B) = P(A)P(B)

57

Sui numeri reali 587 è il valore più frequente

Alcuni numeri sono più probabili di altri e questo viene usato nel Monopoli e nel gioco dell'oca

591º caso

2º caso

3º caso

4º caso

Somma

probabilità dei valori che nonsono nel supporto deve essere = 0

Come supportopuò assumerequesti valori

Probabilità delpunto 1 è 1/2=0.5

Probabilità delpunto 2 è 1/3=0.33

Probabilità delpunto 3 è 1/6=0,166

C’è una relazione biunivoca tra la funzione diripartizione è la funzione di massa di probabilità

X ha come supporto 1,2,3

Questa funzione di ripartizione davita ad un grafico a gradini

Fino all’1 vale 0

Per a=1.5 vale 1/2fino a 2(non2

Dopo il 3 valesempre 1

Devo toglierci la P(X 1)è Ipex FaiFai PLXE PAZ E1z dgg

Per passare da FUNZIONE di RIPARTIZIONE a FUNZIONE di MASSA di PROBABILITÀ

Se integro sututto quello chepuò succedere

Se vado ad integrare sututto il supporto la somma

La probabilità è 1 delle probabilità è 1

Funzione didensità diprobabilità

Funzione di densità

L’integrale di unPunto ben punto è 0, non

prendo in considerazione Ignorare l'altra significa che l'altra può essere tutti i valori della y, come se non mi interessassero, e costruisco la qualsiasi cosarelazione da descrivere sulla variabile X Marginalizzo rispetto alla X, dando il valore al X piccolo ∞ 68X=0 "lo studente NON ha la maturità scientifica"Y=0 "lo studente NON ha superato l'esame di Analisi Matematica entro 1 anno"Noi abbiamo una popolazione di studenti edobbiamo dare un modello alla nostra popolazione Lo studente non ha la maturità scientifica e ha superato l'esame dianalisi entro un anno 69Calcoliamo l'unione delle probabilitàdi tutti gli eventi, dove l'evento checambia è quello della Y (facciamol'unione rispetto alla j) Assioma 3 Funzione di massa diProbabilità marginaledella variabile XPer ottenere la funzione di massa di probabilità della Y,devo sommare tutte le probabilità

sull'indicatore iSommo alvariare della j(cambia la y)Sommo alvariare della i(cambia la X) I Distribuzione di massa di probabilitàSomma delle Probabilità = 1vIP IIEply P