Appunti Serie Storiche Economiche con domande + risposte complete

13. STIMA DI MASSIMA VEROSIMIGLIANZA DEI PARAMETRI DEL MODELLO MA1: PROBLEMI E SOLUZIONI.

Passiamo ora alla famiglia MA. Anche in questo caso, condizionando rispetto ai valori iniziali il calcolo della funzione

di verosimiglianza si semplifica molto.

Si consideri un MA(1) gaussiano 2

= + − { }~ (0, )

dove i.i.d.

−1

2

= (, , )

Data la natura del modello si condiziona rispetto al valore iniziale di ossia .

0

= 0, ( ) = ( + − ) =

Se sapessimo con certezza che potremmo stabilire che:

0 1 1 0

2 2 2 2

)

( ) = ( − ) = ( + − − ) = ( =

In questo caso si avrebbe anche: 1 1 1 0 1

2

{ | }~( , )

Ciò permette di stabilire che: , ossia

1 0 2

1 −( − )

1

( | = 0; ) = exp { }

1 0 2

2

2

√2

Proseguendo con ragionamento analogo, se fosse noto con certezza si avrebbe che:

−1

( ) = ( + − ) = −

−1 −1 2 2

)

( ) = ( − + )2 = ( + − − + )2 = ( =

−1 −1 −1

2

{ | }~[( − ), ]

Quindi e la funzione di densità diventerebbe:

−1 −1 2

1 −[ − ( − )]

−1

( | ; ) = exp { }

−1 2

2

2

√2

Ovviamente essendo lo shock casuale del tempo t, non può mai essere osservato e quindi non può essere noto

=

con certezza. Tuttavia, ottenuta l’osservazione , il valore di può essere stimato come:

1 1 1

= + −

1 1 0

̂ = − +

1 1 0 │

La densità condizionata di è:

2 1 2

1 −[ − ( − )]

2 1

( | , = 0; ) = exp { }

2 1 0 2

2

2

√2

= ̂

Ottenuta l’osservazione e nota si può calcolare anche:

2 2 1

̂ = − +

2 2 1 {̂ }

, ̂ , … , ̂

Procedendo in modo analogo si può ottenere la serie dove per un generico t si ha

1 2

̂ = − +

−1

La densità condizionata di è:

2

1 −

( | , … , , = 0; ) = exp { }

−1 1 0 2

2

2

√2

Prendendo il logaritmo, la verosimiglianza condizionata è: 2

2

log ( | , … , , = 0; ) = − log 2 − log − ∑

−1 1 0 2

2 2 2

=1

Massimizzare quest’ultima equivale a minimizzare il numeratore della sommatoria.

Da quanto esposto, per un dato valore di si può calcolare la successione degli at implicita nei dati.

.

Tuttavia, la verosimiglianza è funzione non lineare e abbastanza complicata di e

Una espressione analitica per le stime non è facilmente ottenibile.

Infatti, riscrivendo in via iterativa si ha:

2

( )

= – + = – ) + ( – + = ( – ) + ( – ) + =

−1 −1 −2 −1 −2

2 3

= ( – ) + ( – ) + ( – ) − =

−1 −2 −3

= ⋯…………………………………………………… =

−1

= ( – ) + ( – ) + … . + ( – ) +

−1 1 0

││ < 1 = 0

Si deve anche osservare che, se il modello è invertibile e l’effetto di imporre si annullerà presto

0

perché diventa molto piccolo.

|| > 1

Se l’effetto di cancellare si moltiplicherà e l’approssimazione della verosimiglianza non sarà valida.

0

Ne segue che le stime di MV condizionata di un MA(1) devono essere trovate impiegando metodi di ottimizzazione

numerica.

14. TEST DI SIGNIFICATIVITÀ SUI PARAMETRI: INFERENZA SUL MODELLO

̂

2

= ( , , ) ,

Sia e la stima di questa si distribuisce come una normale multivariata, con vettore delle medie

V(̂

pari ad e matrice di varianze e covarianze ).

(̂ = ( )

)

La stima di quest’ultima risulta essere:

Al fine di verificare ipotesi statistiche, formulate sui parametri del modello, è possibile utilizzare il seguente test.

: = 0 : ≠ 0

L’ipotesi da sottoporre a verifica sia: da confrontare con l’ipotesi alternativa:

0 1

Data l’ipotesi di normalità (asintotica) emessa su e la stima della sua varianza , la statistica da utilizzare è una t di

Student, costruita nel modo seguente:

̂

− 0

(

= = − + + 1)

√̂

, (− ) ( ), ±2,

Stabilito si identificano i valori critici e che per semplicità poniamo uguali a la zona di

/2 /2

accettazione dell’ipotesi nulla è :

̂ − 0

−2 ≤ ≤2

√̂

Quindi si accetta l’ipotesi nulla se il parametro stimato è, in valore assoluto, minore di due volte lo standar error

della stima

̂ |̂

≤ ±2√̂ ≤ 2√̂

|

o

Se il parametro del modello sottoposto a verifica viene giudicato non significativamente diverso da zero, ossia si

considera che la stima di tale parametro sia risultata diversa da zero solo per effetto del caso, l’operatore che

corrisponde a tale parametro deve essere escluso dal modello ed il modello stesso deve essere ristimato nella sua

nuova forma.

15. IL PREVISORE LINEARE OTTIMO: , = { , , . . . , };

Si formuli l’ipotesi di conoscere la storia della serie fino all’istante e si definisca come 1 2

L’insieme di informazioni disponibili all’istante

Si ipotizzi, inoltre, che il modello ARIMA sia stato correttamente identificato e stimato e che siano state condotte

tutte le opportune verifiche sui residui. ̂

Il problema della previsione consiste nella ricerca di un’approssimazione ottimale di una v.c. , tramite una

+1 +1

( ), = ( , , . . , )

funzione dove è un insieme di v.c. con momenti finiti sino al secondo ordine, sulle quali

1 2

sono condotte le rilevazioni che costituiscono l’insieme di informazione .

(. )

La si sceglie in modo che sia minimo l’errore quadratico medio che si commette sostituendo la variabile da

prevedere con la funzione prescelta:

+1

̂ = ( )

+1

Ossia: 2 2

} }

)] )]

= {[ − ( | → min {[ − ( |

+1 +1

g

Che si indica come MSE (Mean Square Error) o errore quadratico medio di previsione.

Il Valore Atteso è condizionato dalle informazioni che saranno disponibili al momento t nel quale si eseguirà la

previsione ( | )

Se all’espressione del MSE si aggiunge e toglie : si ottiene :

+1

2 2

} [ | | [( | }

)] )] ) )]|

{[ − ( | = { − ( + − ( =

+1 +1 +1 +1

2 2

| )] | | ) )] |

= {[ − ( } + {[( − ( }

+1 +1 +1

| )] | | ) |

+ 2 {[ − ( } {[( − ( )] }

+1 +1 +1

| )] | | ) |

Dove il doppio prodotto è formato da due parti : 2 {[ − ( } ∙ {[( − ( )] }

+1 +1 +1

[ | )]

− ( la prima è la differenza tra una v.c. e il suo valore atteso condizionato, quindi è ancora una v.c

+1 +1

[( | ) − ( )]

la seconda, ricordando che è noto al momento della previsione, è formata dalla differenza

+1

di due numeri il cui V.A. è uguale a se stesso

[( | ) | )] |

Pertanto il doppio prodotto si può scrivere come: − ( )] ∙ {[ − ( }

+1 +1 +1

E poiché, per la legge dei valori attesi iterati, risulta essere:

| )] | | ) | )

{[ − ( } = ( − ( = 0

+1 +1 +1 +1

segue che: 2 2 2

[( | ) )] | )] | ) )]

− ( = [ − ( + [( − (

+1 +1 +1 +1

E’ quindi evidente che la funzione che rende minimo il MSE è:

̂

) | ) previsore lineare ottimo

( = ( → +1

+1

Che annulla il secondo termine della somma

Il MSE costituisce anche una misura dell’errore di previsione :

2

}

)]

= {[ − ( | , , … ,

+1 −1 1 ̂

Da qui in poi si considererà come previsore ottimale il valore atteso di condizionato alla storia passata di

+ℎ +ℎ

.

16. PREVISIONE DI UN MODELLO AR(1) e MA(1) FINO AL LAG K, E VARIANZA ED ERRORE DI PREVISIONE

L’utilizzazione di un modello AR a fini previsivi

Se il modello identificato è un AR(1) non stagionale, esso può essere scritto nel seguente mo