Appunti Serie Storiche Economiche con domande + risposte complete

DOMANDE ESAME SERIE STORICHE ECONOMICHE

1. SERIE STORICA E PROCESSO STOCASTICO: DEFINIZIONI E RELAZIONI.

Definizione serie storica : una collezione di numeri reali, che costituisce una parte finita di una realizzazione di un

processo stocastico. ℑ, ),

Definizione processo stocastico : Dati uno spazio parametrico T e uno spazio di probabilità (Ω, il processo

{(, )} ∈ Ω.

stocastico è definito come una funzione finita, a valori reali e misurabile in

{(, )}

Dalla definizione segue che può essere interpretata in modo duplice.

, (, ) = () ,

Fissato l’argomento si ottiene una funzione reale ,ossia una funzione della variabile che

.

dipende dal parametro In tal caso, la funzione reale così specificata costituisce una realizzazione del processo

stocastico o, anche, una funzione campionaria. Il processo stocastico viene quindi visto come una famiglia di

(),

realizzazioni dato che viene usualmente soppresso.

(, ) = () ,

Al contrario, fissato t si ottiene , ossia una funzione della variabile che dipende dal parametro

. ()

In questo caso è una variabile casuale che dipende dal parametro t ed il processo stocastico viene visto

come una famiglia di variabili casuali.

In generale i processi stocastici possono essere: Ω

1) processi stocastici discreti a parametro discreto: in questo caso e sono entrambi discreti, finiti o numerabili

Ω

2) processi stocastici discreti a parametro continuo: in tal caso è discreto, mentre insieme continuo

Ω ( , )

3) processi stocastici continui a parametro discreto: allora si ha un discreto e continuo; in questo caso 0

;

definisce una variabile casuale continua per qualsiasi e (generalmente useremo questo)

0

Ω

4) processi stocastici continui a parametro continuo: e sono ora entrambi continui.

2. PROPRIETÀ DEI PROCESSI STOCASTICI UTILIZZATI NELL’ANALISI DELLE SERIE STORICHE E LORO RUOLO NELLE

FASI DI IDENTIFICAZIONE STIMA E PREVISIONE.

Stazionarietà , … ,

Dato un p.s. visto come famiglia finita di var causali (fissati n valori arbitrari di t ( ) a cui corrispondono le

1 ( )

( , … , )) , , … ,

variabili causali esso è caratterizzato dalla distribuzione n-dimensionale

1 , ,…, 1 2

1 2

{ }

Il processo stocastico è detto stazionario in senso stretto se tutte le funzioni di distribuzione n-dimensionali

(1.2), con finito qualsiasi, che definiscono il processo in oggetto, rimangono inalterate qualora l’intero insieme di

, , . . . ,

punti , sia traslato lungo l’asse dei tempi, ossia:

1 2

( ) ( )

, , … , = , , … , , , , . . . , .

per qualsiasi e

+, +,…, + 1 2 , ,…, 1 2 1 2

1 2 1 2

Questo tipo di stazionarietà costituisce una ipotesi molto restrittiva e difficilmente verificabile. Pertanto, per

l’analisi delle serie storiche si preferisce fare ricorso ad una condizione meno limitativa, ossia alla

stazionarietà del secondo ordine o stazionarietà in senso lato.

{ }

Il processo stocastico è detto stazionario del secondo ordine (e nel seguito si dirà semplicemente stazionario)

se valgono le seguenti condizioni:

]

()

= [ = ∀

1 2

[

() ()]

̅ = − = (0) ∀

2 1 ()] ()]}

̅ , = − − = ( , = () ∀ = −

( ) {[ [ ) dove .

11 1 1

,

Le funzioni media, varianza e covarianza non devono dipendere da mentre l’ultima deve dipendere soltanto dalla

distanza tra i due tempi di volta in volta considerati.

La stazionarietà serve a poter applicare il teorema di Wold e a dare luogo al processo lineare generale, permette

l’esistenza della ergodicità e serve anche ad avere la possibilità di identificare il modello nelle sue varie

caratteristiche. La presenza o meno di stazionarietà ha influenza sulla previsione.

Invertibilità

La proprietà in oggetto è essenziale per l’utilizzo dei processi stocastici a fini previsivi. Infatti, Box e Jenkins (1970),

()

definiscono l’invertibilità come la possibilità di esprimere la v.c. nel modo seguente:

() = [ , , . . . . . . . . . . ; ]

−1 −2 = 1, 2, . . . . . . .,

ossia in funzione delle v.c. passate, ossia di , con e con l’aggiunta di una v.c. W.N., che garantisce

−

la casualità del modello.

L’invertibilità serve a ricostruire la corrispondenza biunivoca tra distribuzione del processo e autocorrelazioni. Serve

anche per la previsione (per potere usare i modelli per prevedere.

Ergodicità

Data la definizione dei momenti di un processo stocastico, sembra naturale calcolarne una stima sulla base di un

()

(), (), . . . , ().

numero finito N di risultati sperimentali: Ad esempio, per lo stimatore

1 2 1

utilizzato è:

1

∑

() = ()

=1

Pertanto, per ogni valore di t, occorre una N-upla campionaria, desunta da realizzazioni sperimentali.

Tuttavia, nel caso particolare dell’analisi delle serie storiche, ci si trova nella condizione di conoscere una sola

realizzazione per ogni t, ossia l’unica rilevazione che è possibile ottenere su quella particolare variabile

nell’istante t.

Nel caso di processi stocastici stazionari, il teorema ergodico permette, quando ci si trova in queste particolari

condizioni, di sostituire al calcolo degli stimatori usuali, l’applicazione di stimatori temporali. La stazionarietà, ossia

l’omogeneità della struttura probabilistica del processo stocastico, gioca un ruolo rilevante per quanto concerne

l’ergodicità, anche se i due concetti non sono coincidenti.

Ad esempio, per la funzione media si ha che la seguente quantità:

1

∑

= () = 1,2, …

con

=1

costituisce una sequenza di v.c.. ]

{ } [ = ∀

Dato il processo stocastico , con , la sequenza è detta ergodica se e solo se:

2

|

(

lim − ) = lim − | = 0

→∞ →∞

La seguente condizione (che deriva dal teorema ergodico di Slutsky) garantisce l’ergodicità per la media di un

processo stocastico stazionario:

1

∑

lim () = 0

=1

→∞ () → 0.

che è vero se

Per processi stocastici gaussiani, inoltre, l’ergodicità della funzione di autocovarianza e della varianza è garantita se

e solo se:

1 2

∑

lim () = 0

=1

→∞ () → 0

ed anche questa condizione si verifica se

La proprietà dell’ergodicità permette di sostituire gli stimatori temporali agli stimatori usuali nei casi in cui si ha a

disposizione una sola osservazione per ogni istante temporale come per le serie storiche. → 0 →

Inoltre data la convergenza a zero dell’autocorrelazione all’aumentare dell’orizzonte temporale (() per

∞ ⟹ () → 0)

, permette di affermare che il lasso temporale a disposizione è sufficiente per stimare il modello.

3. PROCESSO WHITE NOISE E PROCESSO LINEARE GENERALE:

Un particolare processo stocastico: il processo “white noise” { }

Il più semplice processo stocastico è il così detto processo white noise (o rumore bianco), indicato con , esso è

costituito da una sequenza di variabili casuali :

[ ] = 0 ∀,

con media zero:

[ ] = () = 0 ∀ ≠ 0,

fra loro incorrelate: − 2 2

]

[ = (0) = < ∞ ∀

con varianza finita e costante al variare di t:

e con funzione di distribuzione di probabilità identica al variare di t.

Il processo lineare generale

∞ ∞ 2

∑ ∑

= = 1 < +∞

dove

− 0

=0 =1

La componente , a valor medio nullo, è detta puramente non deterministica, in quanto essa è generata

( = 1, 2, . . . . . . );

esclusivamente dal processo WN e dalla successione dei pesi pertanto, nota una realizzazione

di , non è possibile determinare univocamente , ossia la varianza dell’errore di previsione non è nulla. Il

processo , così come è definito dalla (1.56) è chiamato anche processo lineare generale.

Il processo lineare generale è caratterizzato da valor medio nullo:

∞ ∞

] ∑ ∑

[ = = [ ] = 0

− −

=0 =0

sulla base di tale risultato, della funzione di autocovarianza e della varianza dei processi WN, si può facilmente

dimostrare che la varianza del processo lineare generale è del tipo:

2

∞ ∞ 2

2

] ∑

[ = (∑ = < ∞

)

−

=0 =0

Inoltre, si può facilmente dimostrare anche il seguente importante risultato:

2

= 0

( =

) {

− 0 >0

Pertanto, la funzione di autocovarianza per il processo lineare assume la forma:

∞ ∞ ∞

2

] ∑ ∑ ∑

() = [ = =

+ − +− +

=0 =0 =0

Infine, la funzione di autocorrelazione del processo lineare è:

∞

∑

+

=0

() = ∞ 2

∑

=0

Come si può facilmente rilevare, le funzioni di autocovarianza e di autocorrelazione dipendono soltanto

,

dall’intervallo temporale come ci si aspetta per i processi stazionari. Tuttavia, per la verifica della stazionarietà è

() .

necessario dimostrare che è finita per ogni ∞ 2

1/2 2

|()| |[ ]| [( ∑

)(

= ≤ )] =

+ + =0

∞ 2

∑ < ∞

quindi, è la condizione che garantisce la stazionarietà del processo lineare generale.

=0

4. IL TEOREMA DI WOLD ,

“Ogni processo stocastico stazionario , di valor medio può sempre univocamente decomporsi come:

]

= + [ = 0 ∀ ∈

dove: ∞

∑

= + [ ( ) + ( )] 0 ≤ ≤

=1

∞ ∞ 2

∑ ∑

= = 1 < +∞

− 0

=0 =1 2

{ } , { } { }

essendo un processo W.N. a media zero e varianza costante e sono successioni di v.c. di media

zero, a varianza costante e fra loro incorrelate per ogni j”.

,

La componente , di valor medio è detta deterministica, perché genera realizzazioni deterministiche ottenute

come combinazione lineare di onde periodiche elementari (anche in numero infinito). La natura deterministica

=

attribuita a deriva dal fatto che, se , la conoscenza di una realizzazione del processo ne consente la

{ } { } { } { } ()

previsione senza errore in quanto, note le determinazioni e delle v.c. e , le realizzazioni di

sono funzioni matematiche del tempo e quindi, perfettamente prevedibili.

La componente , a valor medio nullo, è detta puramente non deterministica, in quanto essa è generata

( = 1, 2, . . . . . . );

esclusivamente dal processo WN e dalla successione dei pesi pertanto, nota una realizzazione

di , non è possibile determinare univocamente , ossia la varianza dell’errore di previsione non è nulla. Il

processo , così come è definito dalla (1.56) è chiamato anche processo lineare generale.

5. FUNZIONI DI AUTOCORRELAZIONE E DI AUTOCORR PARZIALE, LORO USO NELLA FASE DI IDENTIFICAZIONE:

Funzione di autocorrelazione ()

La funzione di autocorrelazione è generalmente denotata con ed è definita come il coefficiente di correlazione

lineare tra le v.c. e .

− )

− − ( ,

− −

() = = = 1, 2, . ..

[ ][ ] per

√( )( )

−

( ) = ( ) = (0) ( , ) = (),

Poichè e il tutto viene semplificato in:

− −

()

() = ∀ = 1, 2. ..

(0) (),

Le proprietà della funzione di autocorrelazione sono:

(0)

(0) = 1 (0) =

1. quando (0)

() = (−) ∀ = 1, 2. ..

2. |()| ≤ 1 ∀ = 1, 2. ..

3. 2 2 2

[(

() (0) )] )(

≤ , ≤ ( )

per la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz quindi − −

()

La funzione di autocorrelazione è una misura della struttura interna del processo stazionario; per questo

motivo essa assume una particolare rilevanza nell’ambito della stima della sua parametrizzazione statistica a partire

da una sua realizzazione finita, ossia dalla serie storica.

La funzione di autocorrelazione parziale

Oltre all’autocorrelazione tra e si può voler studiare la correlazione tra e dopo che è stata rimossa

+ +

, , . . . ,

la dipendenza lineare tra queste ultime variabili e le loro intermedie .

+1 +2 +−1

{ } { }

Si consideri ad esempio, un processo e, senza perdita di generalità, si definisca il processo stazionario

− ), ( ) = 0.

come ( in modo tale che sia La correlazione condizionata risulta essere:

|

( , , . . . , )

+ +1 +−1

, , . . . ,

La dipendenza lineare di da sia definita come funzione lineare di

+ +1 +2 +−1

, , . . . , . Cioè:

+1 +2 +−1

̂ = + + ⋯ +

+ 1 +−1 2 +−2 −1 +1

≤ ≤ − 1)

dove (1 sono i coefficienti di regressione lineare dei minimi quadrati ottenuti minimizzando:

2

̂ 2

)

( − = ( − − − ⋯ −

)

+ + + 1 +−1 2 +−2 −1 +1

Analogamente:

̂ = + + ⋯ +

1 +1 2 +2 −1 +−1

≤ ≤ − 1)

dove (1 sono i coefficienti di regressione lineare dei minimi quadrati ottenuti minimizzando:

2

̂ 2

)

( − = ( − − − ⋯ −

)

1 +1 2 +2 −1 +−1 ̂

− )

Segue che l’autocorrelazione parziale tra e eguaglierà l’autocorrelazione ordinaria tra( e

+

̂

−

( ). Così, denotando con l’autocorrelazione parziale tra e , si trova:

+ + +

−̂ −̂

),( )]

[(

+ +

() = −̂ −̂

)√( )

√(

+ +

()

Il calcolo di eseguito in questo modo richiede alcuni passaggi formalmente complessi da descrivere.

Un modo più semplice per calcolare l’autocorrelazione parziale è il seguente. Si consideri il modello di regressione,

dove la variabile dipendente di un processo stazionario con media zero viene messa in relazione con le

+

variabili ritardate , , fino a compresa, ossia:

+−1 +−2

= + + ⋯ + +

+ 1 +−1 2 +−2 +

≥

dove indica l’i-esimo parametro di regressione e è un termine di errore non correlato con per

+ +−

1

; è il coefficiente di autocorrelazione parziale cercato. Moltiplicando entrambi