Appunti di Scienza delle costruzioni - modulo I

B

mi, la deformazione che subisce ogni piccolo volumetto non può essere casuale

ma deve essere compatibile con quella dei volumetti adiacenti. Così che da non

creare distacchi tra i piani o compenetrazioni:

33

2.7 Lavoro. Relazioni generali

2.7.1 Definizioni

Supponiamo di avere un corpo con contorno su cui agisce un sistema di

B δB

⃗b

forze costituito da forze di volume e forze di superficie ŝ:

Poiché parliamo di corpo deformabile, se vengono applicate delle forze, saremo

in presenza di un campo di spostamenti e un campo degli sforzi. Possiamo

definire allora:

Definizione 1 ammissibile

Un campo degli spostamenti si dice se è regolare

B

su tutto

Definizione 2 ammissibile

Un campo di sforzo si dice se è regolare su tutto

B

Regolare vuol dire che le funzioni che descrivono gli spostamenti u (x ; x ; x )

i 1 2 3

(i e gli sforzi permettono di eseguire le normali operazioni mate-

= 1, 2, 3) σ ij

matiche di derivazione, integrazioni, ecc.

2.7.2 Lemma fondamentale

Supponiamo di avere un corpo caratterizzato da un campo di spostamenti e

B

di sforzi Allora possiamo dire che:

ammissibili.

ZZ ZZZ ZZZ

· · · ·

n̂ ⃗udA = div(T) ⃗udV + Ĥ(⃗u

)dV

T T

δB B B

Ma osservo che il primo integrale è il lavoro svolto dal campo delle tensioni

agente sulla frontiera del corpo, ma sulla frontiera del corpo agiscono le forze

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superficiali, per cui quell’integrale corrisponde al lavoro fatto dalle forze super-

ficiali per compiere quello spostamento.

Se guardiamo dall’altra parte, la quantità rappresenta il lavoro svolto

·

div(T) ⃗u

⃗b)

dalle forze di volume (div(T agenti su tutto il corpo B per compiere

−

) =

quello spostamento. L’ultimo integrale rappresenta il lavoro interno svolto per

deformare il corpo.

Per cui il rappresenta un equazioni di bilancio delle for-

lemma fondamentale

ze, che ci dice che il lavoro svolto dalle forze esterne sarà uguale al lavoro svolto

per deformare il corpo.

Dimostrazione

Posso riscrivere come ma poiché è simmetrico allora .

T T

·⃗u ·

n̂·⃗u n̂, =

T· T T T T

Per cui quell’integrale diventa: Z · ·

(T ⃗u

) n̂

δB

Ma per il teorema della divergenza avrò che quella quantità vale:

Z Z

· · ·

(T ⃗u

) n̂ = div(T ⃗u

)

δB B

Ma per l’identità differenziabile per cui avrò:

· · ∇⃗u ·

div(T ⃗u

) = div(T) ⃗u + T,

Z Z Z Z

· · · · ∇⃗u ·

(T ⃗u

) n̂ = div(T ⃗u

) = div(T) ⃗u + T

δB δB B B

Ma rappresenta proprio il tensore del gradiente degli spostamenti Per

∇⃗u H.

cui, in fine, avremo:

Z Z Z

· · · ·

n̂ ⃗u = div(T ) ⃗u +

T T H

δB B B

2.7.3 Teorema dei lavori virtuali

Per definire questo teorema diamo 4 definizioni: ⃗b;

{ ŝ;

Definizione 1 T}

Un sistema di forza di volume, superficie e tensione si

equilibrato

dice purché rispetti le equazioni di bilancio statico:

 ∈

T ammissibile Sym



 ⃗b

div(T ) + = 0

 = ŝ

Tn̂

 {⃗u

;

Definizione 2 E} virtuale

Un sistema di spostamenti-deformazioni è se il

campo degli spostamenti è ammissibile e il secondo (quello delle deformazioni)

è congruente, cioè se vale l’equazione di congruenza:

(

⃗u ammissbiile

T

∇u+∇u

=

E 2

Definizione 3 lavoro virtuale esterno

Definiamo il l’integrale:

35

Z Z ⃗b

· ·

(L ) := ŝ ⃗u + ⃗u

V est δB B

Virtuale perché il lavoro svolto dalle forze esterne non ha alcuna connessione con

lo spostamento , cioè può essere qualsiasi spostamento che non è associato

⃗u ⃗u

a quella determinata forza.

Definizione 4 lavoro virtuale interno

Definiamo il l’integrale:

Z ·

(L ) := T E

V int B

Anche qui, il nome virtuale è dato perché il lavoro svolto dalle tensioni e defor-

mazioni interne non è associato ad un determinato campo degli spostamenti .

⃗u

L’importante che il lavoro fatto dalle forze interne, sia riferito ad uno sposta-

mento generico purché ammissibile.

⃗u

A questo punto, possiamo definire il teorema dei lavori virtuali:

"Il lavoro virtuale delle forze esterne è uguale al lavoro virtuale delle forze

interne purché il sistema di forze-tensioni sia equilibrato e purché il sistema

spostamento-deformazioni sia congruente (virtuale)"

(L ) = (L )

V est V int

Dimostrazione

Dal lemma fondamentale sappiamo che:

Z Z Z

· · · ·

n̂ ⃗u = div(T ) ⃗u +

T T H

δB B B

Dove rappresenta le forze di superficie (dalla prima definizione del teorema

· n̂

T

dei lavori virtuali), e applicando il teorema della divergenza rappresenta

div(T )

le forze di volume. Per cui avremo:

Z Z Z

⃗b

· − · ·

ŝ ⃗u = ⃗u + T H

δB B B

Portando al primo membro l’integrale delle forze di volume ottengo:

Z Z Z

⃗b

· · ·

ŝ ⃗u + ⃗u = T H

δB B B

Dove i due integrali al primo membro rappresentano proprio il lavoro fatto dalle

forze esterne, e il secondo membro rappresenta il lavoro fatto dalle forze interne

essendo simmetrico (T · ·

sym(H) =

T T E)

36

Capitolo 3

IL SOLIDO ELASTICO

3.1 Relazioni costitutive

Gli studi fatti fino ad ora (analisi delle deformazioni, analisi delle tensioni e

principio dei lavori virtuali) sono basi su un corpo deformabile generico. Cioè

non si tiene conto della natura del corpo, di che materiale è costituito il corpo.

Conoscere la natura del corpo è di fondamentale importanza, perché se abbiamo

due corpi deformabili con la stessa geometria ma materiale differente, sappiamo

che se sollecitati con lo stesso carico si deformeranno in modo differente.

Quindi risulta importante determinare delle relazioni che permettano di studiare

il comportamento del corpo tenendo conto del materiale di cui è fatto. Queste

relazioni sono dette (o legami costitutivi, o equazioni

relazioni costitutive

costitutive).

In generale esistono 2 tipologie di relazioni costitutive:

• relazioni che legano lo stato di tensione con quello delle deformazione

subite dal carpo. (es: materiali elastici, elasto-plastici, ecc)

• relazioni che restringono le deformazioni possibili. Cioè sono tutti quei

corpi che non possono deformarsi (es: corpo rigido, corpi incomprimibili)

3.2 Relazioni sforzo-deformazioni

Le relazioni che legano lo sforzo e le deformazioni subite da un corpo continuo,

si basano su 3 principi:

1. lo stato di sforzo del corpo dipende dalla

Principio del determinismo:

storia del corpo. Ad esempio, un corpo che avrà eseguito delle lavorazioni

avrà un stato di tensione maggiore rispetto ad uno che non ha eseguito

nessuna lavorazione.

2. lo stato di tensione di un punto del continuo,

Principio di azione locale:

non dipende da dalle deformazioni eseguite su punti distanti dal punto

preso in considerazione. 37

3. qualsiasi sia il sistema di riferi-

Principio di indifferenza materiale:

mento che prendiamo in considerazione, tutti devono dare lo stesso valore

di tensione in un generico punto del continuo

Facile intuire che una relazione che rispetti questi 3 principi non può definire il

comportamento di un materiale. Infatti abbiamo bisogno di altre informazioni

per classificare i vari materiali

3.3 Corpi linearmente elastici

Poiché esistono una varietà infinita di materiali (in natura e prodotti industrial-

mente), è impossibile ricavare una relazione costitutiva che leghi lo stato di

tensione e quello di deformazione di ogni singolo materiale.

Però sperimentalmente, attraverso delle prove di trazione e di taglio, si può

dimostrare che: tutti i corpi, se sollecitati con bassi carchi, hanno tutti un

Cioè ad un determinato istante di tempo ed entro

comportamento elastico.

un range di sollecitazione, cessato il carico, il corpo ritorna allo stato iniziale.

Questo vuol dire che per tutti i materiali, per determinati range di carico, esiste

una relazione lineare tra sforzo applicato e deformazione.

Il primo a dimostrare la dei materiali fu Robert Hooke. Hooke

teoria elastica

prese una molla e la fisso in modo verticale ad un chiodo, poi prese un piatto

e lo fisso all’estremità libera della molla. Poggiando dei pesi sul piatto osservo

che: all’aumentare del carico, la molla si allunga sempre di più.

Questo comportamento lo si può trovare anche su di una prova di trazione fatta

su di un provino che viene sollecitato da due forze uguali e contrario, applicate

F

agli estremi. Su di un grafico, potremo osservare che per un determinato carico,

la relazione tra sforzo e deformazione segue una relazione di proporzionalità

lineare: 38

Allora possiamo dire che: preso un corpo generico, si dice

B linearmente

se esiste un tensore di quarto ordine tale che:

elastico A

=

T AE

in componenti Questa è la generalizzazione della legge di Hooke.

T = A E

ij ijhk hk

Dove il tensore prende il nome di e permette di

A tensore di elasticità,

trasformare il tensore delle deformazioni nel tensore degli sforzi nel generico

E T

punto del corpo.

X

Le componenti del tensore questo tensore rappresento di

A coefficienti di

che rappresentano le informazioni relative alla risposta del materiale

elasticità,

ad uno determinato stato di sollecitazione. Poiché parliamo di un tensore di

quarto ordine, sarà costituito da componenti. Ma essendo e

4

3 = 81 T E

simmetrici, valgono le simmetrie minori (in altre parole anche è simmetrico.

A

Però tu devi dire che valgono le simmetrie minori) per A;

= =

A A A

ijhk jihk ijkh

Per cui passiamo da 81 componenti a 36.

Osservazioni:

• Se la matrice di elastica non dipende dal punto preso in considera-

X

A

zione, diremo che il materiale è omogeneo:

∀X ∈

= B

A(X) A

3.4 Energia di deformazione e l’iperelasticità

Un altra categoria di materiali elastici, sono i Questi

materiali iperela