Appunti di Modelli matematici per la meccanica - Meccanica razionale e sistemi dinamici

Meccanica Razionale

n

1 Basi ortonormali in 5

R

1.1 Cambiamento di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Base ortonormale positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Sistemi di riferimento 9

2.1 Sistemi di riferimento fissi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Sistemi di riferimento mobili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Velocità e accelerazione relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Moto solidale con il sistema mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Teorema di Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Equazioni di moto 17

3.1 Punto materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Legge di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Teorema del lavoro e dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4 Forze conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.5 Energia meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Sistemi di punti materiali 22

4.1 Energia cinetica del sistema di punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Equazioni globali (o cardinali) della dinamica dei sistemi 24

5.1 Quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2 Momento della quantità di moto (o angolare) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3 Momento delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.4 Equazioni cardinali della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.5 Forze esterne ed interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Sistemi vincolati 26

6.1 Teorema del Dini (o della funzione implicita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.2 Vincoli olonomi regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1

6.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7 Moti lagrangiani 31

7.1 Coordinate lagrangiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.2 Parametrizzazione lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.3 Moto lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.4 Rappresentazione lagrangiana della velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7.5 Atto di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7.6 Spazio tangente o degli spostamenti virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.7 Spazio degli spostamenti effettivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7.8 Spazio normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

8 Dinamica dei sistemi vincolati 39

8.1 Ipotesi dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8.2 Forze in coordinate lagrangiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8.3 Energia cinetica in forma lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

8.4 Teorema dell’energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8.5 Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8.6 Potenziale lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8.7 Funzione lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.8 Coordinate lagrangiane cicliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.9 Equazioni di Lagrange in diversi sistemi di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . 46

8.10 Equilibrio e equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8.11 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9 Piccole oscillazioni 66

9.1 Teorema di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9.2 Teorema dei moti normali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

10 Curve 71

10.1 Moto dato attraverso la legge oraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.2 Equazioni di moto nella terna intrinseca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.3 Legge di vincolo liscio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10.4 Curve piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10.5 Attrito statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

10.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

11 Sistemi rigidi 83

11.1 Sistema rigido non degenere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

11.2 Angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

11.3 Geometria delle masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11.4 Moto del centro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11.5 Simmetrica materiale ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

11.6 Simmetria materiale di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

11.7 Tensore d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2

11.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

12 Assi principali di inerzia 96

12.1 Ricerca di assi principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

12.2 Teorema di Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

12.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

13 Dinamica dei corpi rigidi 102

13.1 Distribuzioni di forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

13.2 Equazioni globali (o cardinali) della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

13.3 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

13.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

14 Equazioni di Lagrange per i corpi rigidi 107

14.1 Coordinate locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

14.2 Vincoli olonomi non degeneri (o regolari) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

14.3 Coordinate lagrangiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

14.4 Coordinate solidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

14.5 Velocità in forma lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

14.6 Energia cinetica in forma lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

14.7 Ipotesi dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

14.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

15 Equazioni di Eulero 113

15.1 Equazione di Eulero in forma vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

15.2 Equazione di Eulero in forma scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

15.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

16 Moti polari 118

16.1 Rotazioni e assi principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

16.2 Reazioni vincolari per i vincoli lisci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

16.3 Moti polari per inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

16.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

17 Moto alla Poinsot 123

17.1 Ellissoide d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

17.2 Ellissoide mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

17.3 Teorema del moto alla Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

E

17.4 Moto dell’ellissoide (t) alla Poinsot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

m

S

E

17.5 Poloidi per non di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

S

E

17.6 Poloidi su di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

S

E

17.7 Poloidi nel caso di sferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

17.8 Rotolamento puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

17.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3

18 Velocità di trascinamento 132

18.1 Teorema di Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

18.2 Moto rigido piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

18.3 Rigate del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

18.4 Base e rulletta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

18.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4

n

1 Basi ortonormali in R

ortonormale se i suoi elementi sono vettori unitari, quindi versori, ortogonali

Una base si dice

tra loro, quindi ⃗u , ..., ⃗u tali che:

1 n ( ̸

0, i = j

·

⃗u ⃗u = = δ simbolo di Kronecker

i j h

1, i = j

Se: !

n n n n

X X X X

· · ·

⃗a = α ⃗u =⇒ ⃗a ⃗u = ⃗u =

α ⃗u α ⃗u ⃗u = α δ = α

h h j j

h h h h j h h j

h=1 h=1 h=1 h=1

1.1 Cambiamento di base

M N

Siano = (⃗u ), = ( w

⃗ ) due basi ortonormali. Definiamo le componenti a e b in modo

h h hk hk

che: n n

X X

· ·

⃗u = a w

⃗ w

⃗ = b ⃗u

h hk k k hk k

k=1 k=1

matrici di cambiamento di base.

Queste due componenti, a e b sono le

hk hk

Teorema - Matrice trasposta t

A B A B.

Se = (a ) e = (b ), allora =

hk hk

Dimostrazione commutativo

· ·

a = ⃗u w

⃗ = w

⃗ ⃗u = b

hk h k k h hk

A B

Definiamo = Γ , = Γ .

MN N M

Teorema - Cambiamento di base

Se: n n

X X

⃗a = λ ⃗u = µ w

⃗

k k k k

k=1 k=1

allora possiamo scrivere: 













 λ

µ

µ

λ 1

1

1

1 













 = Γ

= Γ ...

...

...

... N M

MN 













 λ

µ

µ

λ n

n

n

n

Teorema - Matrici ortogonali −1

Per le matrici di cambiamento di base Γ e Γ vale Γ = (Γ ) . Quindi:

N M MN N MN

M

−1

−1 t

t = Γ

Γ

= Γ

Γ N M

MN N M

MN

ortogonale, in particolare il loro determinante vale:

Questo tipo di matrice è detto ∈ {−1,

det Γ = det Γ 1}

MN N M

5

−1 t

A A A

Se è ortogonale, cioè se = :

Dimostrazione

−1 −1 2

t A

A

A

A · A = det

= det(A) det

= det(A) det

1 = det id = det

1.2 Base ortonormale positiva

n t

Sia (⃗e ) la base standard di , cioè ⃗e = (1, 0, ..., 0) .

R 1

h M

Allora la base ortonormale si dice positiva se det Γ = 1.

MP

Teorema di composizione delle matrici

M, N Q

Se , sono basi ortonormali, allora: ·

Γ = Γ Γ

MQ MN N Q

1.3 Prodotto vettoriale

⃗b ⃗b

3

∈ prodotto vettoriale:

Se ⃗a, , con ⃗a = (a , a , a ) e = (b , b , b ), si definisce

R 1 2 3 1 2 3

⃗e ⃗e ⃗e

1 2 3

⃗b

×

⃗a = a a a

1 2 3

b b b

1 2 3

Il prodotto vettoriale è antisimmetrico e ortogonale ai due fattori. Inoltre valgono:

⃗b ⃗b ⃗b ⃗b ⃗b

× − × × · × ·

⃗a = ⃗a ⃗a ⃗a = 0 ⃗a = 0

Prodotto triplo c c c

1 2 3

⃗b

· ×

⃗c ⃗a = se ⃗c = (c , c , c )

a a a 1 2 3

1 2 3

b b b

1 2 3

Teorema

Se: 3 3

X X

⃗b

⃗a = λ ⃗u = µ ⃗u

k k k k

k=1 k=1

e (⃗u ) è ortonormale positiva, allora:

k ⃗u ⃗u ⃗u

1 2 3

⃗b

×

⃗a = λ λ λ

1 2 3

µ µ µ

1 2 3

Dimostrazione ⃗u ⃗u ⃗u

! ! 1 2 3

X

X X

⃗b

× × · ×

⃗a = = λ µ ⃗u ⃗u = ... =

λ ⃗u µ ⃗u λ λ λ

1 2 3

k h k k

k k h h µ µ µ

h,k

k h 1 2 3

6

Per il prodotto scalare vale:

! ! n

X X X X X

⃗

·

⃗a b = λ ⃗u =

µ ⃗u λ µ ⃗u ⃗u = λ µ δ = λ µ

k k h h k h k k k h hk h h

k h h,k h,k h=1

Teorema

Sia (⃗u ) una terna ortonormale positiva, allora:

h × × −⃗u ×

⃗u ⃗u = ⃗u ⃗u ⃗u = ⃗u ⃗u = ⃗u

1 2 3 1 3 2 2 3 1

×

Poiché ⃗u ⃗u è perpendicolare ad ⃗u , ⃗u , deve essere:

Dimostrazione 1 2 1 2

× ∈

⃗u ⃗u = k ⃗u con k R

1 2 3

P

Se = (⃗e , ⃗e , ⃗e ), allora Γ = (a ), con ⃗u = (a ). Quindi:

MP

1 2 3 hk j hk

a a a a a a

31 32 33 11 12 13

×

k = k ⃗u ⃗u = ⃗u ⃗u ⃗u = = det(a ) = det Γ = 1

=

a a a a a a MP

3 3 3 1 2 11 12 13 21 22 23 hk

a a a a a a

21 22 23 31 32 33

M

Perché = (⃗u ) è positiva; in modo simile si dimostrano le altre uguaglianze.

h

Lemma

̸

Se ⃗a = 0, allora: ⃗b) ⃗b

2

× × −|⃗a

|

⃗a (⃗a = ⊥

⃗b ⃗b ⃗b ⃗b ·

dove = + con ⃗a = 0.

⊥ ⊥

∥ ⃗a , allora:

Costruiamo una terna ortonormale positiva tale che ⃗u =

Dimostrazione 1 |⃗a

|

⃗b ⃗b

= b ⃗u + b ⃗u + b ⃗u = b ⃗u + b ⃗u

⊥

1 1 2 2 3 3 2 2 3 3

Si ha: ⃗b) 2 2

× × |⃗a

| × × |⃗a

| × −

⃗a (⃗a = (⃗u (⃗u (b ⃗u + b ⃗u + b ⃗u ))) = (⃗u (b ⃗u b ⃗u )) =

1 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 3 2

⃗b

2 2

|⃗a

| − −|⃗a

|

= (−b ⃗u b ⃗u ) = ⊥

2 2 3 3

7

1.4 Esercizi

Matrici ortogonali 2

Cerchiamo tutte le matrici ortogonali in . Sia:

R

! !

α β α γ

t

A A

= =

γ δ β δ

Deve essere: 2 2

α + β = 1

! !

2 2

1 0 α + β αγ + βδ

t

AA

= = =⇒ αγ + βδ = 0

2 2

0 1 αγ + βδ γ + δ 2 2

γ + δ = 1

Quindi esistono due numeri reali φ e θ tali che:

α = cos φ β = sin φ γ = cos θ δ = sin θ

Ma, per la formula di sottrazione per il coseno: −

0 = αγ + βδ = cos φ cos θ + sin φ sin θ = cos(φ θ)

Perciò: cos di questi numeri vale zero

π π ( 1 se k pari

−

φ θ = + kπ = (2k + 1) =⇒ k

−

=⇒ sin(φ θ) = (−1)

sin =

2 2 −1 se k dispari

Quindi:

π π

π k

− = cos φ cos(2k + 1) + sin φ sin(2k + 1) = (−1) sin φ

cos θ = cos φ (2k + 1) 2 2 2

π π π k

− − −(−1)

= sin φ cos(2k + 1)

sin θ = sin φ (2k + 1) sin(2k + 1) cos φ = cos φ

2 2 2

2

Di conseguenza, tutte le matrici ortogonali in sono:

R !

cos φ sin φ

A = k k

−(−1)

(−1) sin φ cos φ

2 2

k k k

A −(−1) − −(−1)

det = cos φ (−1) sin φ = = 1

Quindi k è dispari e tutte le matrici ortogonali positive sono:

! ⃗u = cos φ ⃗e + sin φ ⃗e

cos φ sin φ 1 1 2

A =⇒

= −

− ⃗u = sin φ ⃗e + cos φ ⃗e

sin φ cos φ 2 2 2

Queste ultime che abbiamo definito sono i cambiamenti di base positivi.

8

2 Sistemi di riferimento

2.1 Sistemi di riferimento fissi 3

M), ∈ M

Una sistema di riferimento fisso è una coppia S = (⃗x , con ⃗x e = (⃗u ) una terna

R

0 0 h

⃗λ

3 3

∈ ∈

ortonormale positiva. Le coordinate di ⃗x in S sono :

R R

3

X

− λ ⃗u

⃗x ⃗x =

0 h h

h=1

2.2 Sistemi di riferimento mobili 3 2

M), ∈

Un sistema di riferimento mobile in è una coppia S = (⃗x , con ⃗x C (I) (moto

R 0 0

2

M ∈

dell’origine di S) e = (⃗u (t)), ⃗u C (I) terna ortonormale positiva per ogni t. Le

h h