Appunti di Modellazione e simulazione dei processi chimici

Gran parte dei modelli che noi utilizziamo

Partono dall'equazione: IN OUT GEN ACC

Solamente i fenomeni sono descritti da derivata prima cioè secondo, in particolare:

• Derivata prima ➔ termine convettivo;
• Derivata seconda ➔ termine diffusivo;

Come accennavo a fine op.01 facendo tali equazioni generali si è optato per tutte le possibili semplificazioni.

Parete e profilo di temperatura

Immaginiamo di avere una parete di misura "L" esposta ad una temperatura di 20°C e ci chiediamo: qual è il profilo di temperatura nello spazio lungo l? È un profilo lineare:

Le equazioni anche la parete di destra ad una temperatura può differente, ad esempio a 500°C, allora l'equazione di modello non sappiamo che taglia questa funziona non xoxx pieni limiti; ciò che facciamo altresì è cercare un modo per semplificare il più possibile.

Infatti, essendo la parete solida, non possono finzioni convettive, la quinta facciamo mentre dobbiamo considerare essa sia riguardante il tragitto del calore lungo x o: ₄₀, tuttora essendo che le dimensioni di altezza "H" e profondità "W" sono molto più grandi rispetto alla lunghezza "L" l'unica variazione ad interessarci è proprio lungo x, per cui scriviamo un'equazione differenziale a derivata parziale, ma per una sola dimensione:

u = temperatura..... equazioni semplificate

Scriviamo le soluzioni sono facilmente ma non sempre i cont. Infatti se il materiales (...) non omogeneo altresì d=d (....) nel impostiamo a risolvere anche le equazioni nei casi non lineari: a quasi prendono il nome di PDE (funzioni a derivata parziale).

Avviciniam non avremo solo il caso monodimensionale; infatti si convinto una lastra per la quale anche la profondità è piccola, ci interessiamo sia alla variazioni lungo x che lungo y:

La variazione non è più lineare, ma superficiale (2 dimensioni):

Equazione generale e semplificazioni

Gran parte dei modelli che noi utilizziamo partono dall'equazione: IN - OUT + GEN = ACC

Naturalmente i fenomeni sono descritti dai derivati primi e/o secondi, in particolare:

• Derivata prima ➔ termine convetto;
• Derivata seconda ➔ termine diffusivo;

Che cerchiamo di fare sparire! Partiamo dall'equazione generale e apportiamo tutte le possibili semplificazioni.

Immaginiamo di avere una parete di metallo "L" esposta ad una temperatura di 20°C e ci chiediamo: qual è il profilo di temperatura nei due lati? È un profilo lineare:

T = 20°C

Se abbiamo anche la parte di esterno ad una temperatura più differente, ad esempio a 300°C, allora l'equazione di modello che regola questo fenomeno non avrà più forma; ciò la facciamo oltre e creiamo un modo per semplificare il più possibile.

Infatti, essendo la parte solida, non sono presenti fenomeni convettivi, le quindi facciamo, mentre dobbiamo considerare ciò che riguarda il tragitto del calore lungo x + y + z; tuttavia essendo che le dimensioni di altezza "H" e profondità "W" sono molto più grandi rispetto alla lunghezza "L", l'unica variazione ad interessarci è proprio lungo x, per cui scriviamo un'equazione differenziale a derivata parziale, ma per una sola dimensione:

=> equazione semplificata

u = temperatura

Le soluzioni di equazioni sono facili, ma non sempre è così. Infatti se il materiale L non omogeneo allora ed il (m) nel imporranno a scrivere anche le equazioni nei casi non lineari; le quale prendono il nome di PDE (funzioni a derivati parziali).

Anzi non avremo solo Il caso monodimensionale, infatti se consideriamo una lastra per la quale anche la profondità è piccola, ci interessa solo alla variazione lungo x su lungo c;

T

La variazione non è più lineare, ma superficiale (2 dimensioni):

2dC = d( d²u/dx² + d²u/dy² ) _cf

Caso monodimensionale e bidimensionale

Nel caso monodimensionale, ad ogni tempo si ha una temperatura, qui invece ad ogni tempo si ha una superficie e l'evoluzione è valutata come varia questa superficie (primo caso della linea):

Potremmo avere anche il caso bidimensionale (variazione del volume). Comunque partiamo sempre dall'equazione generale, semplificandola, da queste semplificazioni arriviamo o ad un'equazione differenza monodimensionale oppure bidimensionale ecc.

La quale possono essere rinchiusa monotonia di condizioni iniziale o al contorno, determinando così quanto è complesso il sistema (quindi la difficoltà è legato anche al tipo di condizioni iniziale o al contorno).

Fase stazionaria e transitori

Un'ulteriore semplificazione che ci permette di ottenere un'equazione con un'unica variabile indipendente è considerare la fase stazionaria (non sono interessati ai transitori), per cui:

d²u = 0 non più a derivate parziali, ma a derivate totali, cioè u = u(x)^* una sola variabile indipendente.

In tal contrario, siamo interessati ai transitori, e lasciamo le variabili spaziali: parliamo dei sistemi a parametri 'concentrati' in cui ci assumiamo si riduca in ogni punto ha la stessa proprietà.

Reattore batch

Consideriamo ad esempio il reattore batch:

IN - OUT + GEN = ACC

GEN: la concentrazione varia in tutti i punti del cilindro, ma se è perfettamente miscelato, si può assumere che la concentrazione sia uguale in ogni punto; per cui avremo un'unica concentrazione:

d²C/dt = -Kx_x

ACC = -U l(t) ^e

Possiamo avere anche un reat