Appunti di Metodi quantitativi per la finanza II

S

INCr ATTESO

. prezzo dS

S

la

del è

Livello barriera 0

0

se

o diassorbimento =

: per sempre

=

,

+ 61p

r drift

underlying

q =

- I tendenza del sottostante

togliendo il premio per Rischio

il At

. drift

Adjusted

= underlying

RISR

-g

U borrowing

r of

= cost

benefit corrying

of

q =

V(S +) derivato intermedi

contratto

di

corrente

= prezzo un pagament

senza

, T/tCT)

finale di scadenza

alla data

pagamento chiamato

e con un

"PAY Off"

↓ dell'az Alla

funzione Scadenze

Prezzo

del

l'una .

LEMMA ITO

DI

Ef de

dV So

[aV] +

= un

d (

perivato

del

Guadagno AS6d

8 61p) 1582at

S(r

+ + +

= q +

- d

L Parte

attesa

parte natesa

V derivato

del

prezzo

=

⑪ V

= Impo

D e

= presso azione

Gamma

W = l'er

al d

Rischio ha

esposizione del derivato dentro

, .

di

dell'azione essa

l'

Rischio perché

A , sulto su

di

[]

=E

d +

U

d istantaneo

Derivato

contratto

del

Rendimento not

%

Incremento INTERMED

NO DI

FLUSS, CASSA

Derivato

il capr

Applico al

annua"

"Du "Un

base "

Rischio Derivative

premio il PREMIUM

per RISk

:

-

= X

+

r Riselio

di

Unità Sist

X

.

compens . riscio

Se l'positivo

Aso il .

premio

il per

, caduta

della

dulvato Positiva

il commens

compro vide

Chi un .

da

V

di co

con

/di VI

↓ Der.

Quindi di il

prima comprare

POSITIVO

Rischio

il

un premio per

Annualizzato

Reud del Derivato

al .

.

-

I PS

(a) 16px

E +

r

=

+

at ↑ 14322

g)

As(v

0

Vr + +

= -

↓ equazione

que Black-scholes

derivate di

pare.

Espliciteremo il corretto del

V prezzo Derivato

per trovare

I 1x

&

(p

= rss)

AS(r-g op) +

r

+ =

+

+

+ - DER

Premio RISCHIO

/moltiplicano V

e 1755

0 g)

AS(r v

+ + =

-

↓

EQ B S

DI .

. il Rischio

al premio

- per

gara l'Assenza di opportunità Arbitraggio

con di

coerente

·

Se il

Ricono è

vendita scoperto

allo

di ,

un'azione

(STdS) Sade

-

- compro properto

derivato vendo allo

· e

un

D V-AS

It

al Guadagno

=

costo con

azioni D( Sqat)

dS

di dV +

= - -

I

I dot

+ > 9

,

(0 -

e Gaz

= ·

-

s6dt

I +

il

Invoc Prince

(0 152)dt Sgdtrdt

A

+

= -

↓ noto/Privo di

portafoglio

del

Guadagno RISCHIO

istantaneo

(0 5564dX-Asq rel

(V-AS)

di 1

+

= = mu

I

=

④ -g)

(r 1 Un

AS 5262

+

+ - L’azione paga un premio a

rischio solo se il rischio è

Sharp ratio di mercato sistematico

Compensazione richiesta dagli investitori per detenere un’unità di rischio sistematico

Prezzo corrente di un titolo/ contratto derivato che non offre pagamenti intermedi (no

payouts) e offre un pagamento finale ( alla data di scadenza T, con t<T) che è una

funzione del prezzo dell’azione prevalente in T.

L’incremento della variabile della funzione può essere così scritta

Black-sholes PDE & no arbitrage

Il rendimento di vendere lo scoperto un’azione è S, ma dopo che vendiamo dobbiamo

comprare l’azione venduta alo scoperto ovvero S+dS, e chi ci ha prestato l’azione vuole

anche i dividenti maturati nel tempo in cui io ho preso in prestito l’azione ovvero Sqdt.

In totale

Compriamo un derivato ( per coprirci) e vendiamo allo scoperto Delta azioni.

Il valore corrente del portafoglio ovvero

In attività priva di rischio esiste già sul mercato, ovvero quella che rende r

Quindi un portafoglio del genere e uno con rendimento di r devono essere uguali, quindi

affinché non vi sia arbitraggio deve valere l’uguaglianza

IL REINVESTIMENTO DEI DIVIDENDI

Cerco ora N ne soddisfi l’equazione differenziale con l’obiettivo di avere ????

Numero di azioni che dobbiamo comprare oggi per averne una alla data

finale reinvestendo i dividendi, mi basta comprare meno di una azione

oggi per averne una nella data futura

Qui funziona la legge del prezzo unico, questo è il costo di un

portafoglio fatto solo di azioni che replica il payoff che non da alcun

pagamento intermedio

Se abbiamo tot azioni e reinvestiamo i dividenti, non abbiamo pagamenti intermedi perché i

dividendi li reinvestiamo.

Contratto a termine

Il contratto di acquisto a termine è l’obbligo di acquistare un’azione alla data di scadenza T

(detta anche data di consegna) (t<T), a un prezzo di consegna K predeterminato all’inizio del

contratto. Il contratto a termine è un derivato perché dipende dal suo sottostante.

Il payoff è S-K quando t—> T

Denotiamo f (forward) come valore corrente del contratto a termine

Richiamo f replicando un portafoglio che replica il payoff per la legge del prezzo unico