Appunti di Meccanica razionale - Terza parte

Di

LAVORA UNA FORZA

Si a F(X e) forza PM

adisce

che un

v su

, ,

Si

PM VIt)

SE XCEl

IL LUNGO CON

MUOVE •

f A:

di

La potenza uguale

- (t)

F(x(t)

W(t) t)

V(H) ·

= ,

,

F e

Se la Agenti

risultante for te

delle

SUL PM F ma

= mi(t) Y(t)

V(t)

ma(t)

W(t) =

= .

.

= V(t)

me(t) m((t))

= . =

Emiti2

T cinetica

Energia

se = CHE

OTTENGO FORZE VIVE

DELLE

TEOREMA

+ w

= FORMA DIFFERENZIALE

IN Su Punto

for ta

IL Lavoro Di Una un

e

Si

MATEMALE Move WNGoX(t)

CHE

VELOGTA Istanti

Gli

FA

CON te

t

V(t) e

,

tw t 2

↳ I I F

dt de

w(t) (t)

= .

=

t

-

Se la

f risultante

e delle forze Integrando

E

VIVE

FORZE

IL DELLE TRA

THM E tz

,

OTENGO

: TEOREMA DELLE FORZE VIVE

L

T(t) T(t) Integrale

Forma

In

=

- t tz

-

1

FOREE CONSERVATIVE

Una Forza ESSERE

Conservativa PEVE

Posizionale da

dipende Solo doveci Tr ov i a m o

, 7

E (a)

conservativa funzione

se una

CHE

TA L E F V

Tu

= Potenziale

il

e FORZA

DELLA F

# Campo

e un grapiente é

potenziale

Ge forza

di

Notiamo una

Il

DEFINITO Una

A Costante

Di ADDITIVA

MENO

IL Du F

Lavoro Una Conservativa

te tz

F (

(dt =

. Uk di

.

+ )

U()d U(x(t))-U(X(l

= =

Istanti

il

=> lavoro f

fra 2 di di

tempo una

Al

CONSERVATA Potenzale

é Uguale NEL

Pot

Punto finale Nel punto Iniziale

Meno Il .

Iniziale

i Punti finale

Contavo e

solo

THM

IL Forte

delle Rive CONS

Forza

X :

una

T(tc) T(n) U((t)) U(x(t))

= -

- =

et, T(te)

T(ta) U(x(t))

U((t))

- -

=

INTRODUCO POTENZIALE

La Quantitˆ ENERGIA

U(x)

V(x) = -

T(tz) V(X(t

T(t

V(x(t ))

)) ) +

+ = ,

- ,

CONSERVAZIONE ENERGIA MECCANICA TOTALE

T(v) V(x(t)

E( v +

=

,

Dal Vista

Punto di Matematico

L'integrale CHE Lavoro

il

Definisce

tw

(

L *

F(x(t)) (H)dt

= ·

te + 2- t

,

Questo L'integrale farma Differenziale

é una

di

↑ dal

paramerizzato t

U

cammino tempo

su A

Mxy

L DACA

QUESTO NON

INTECALE DIPENDE

SFd Parametrizzazione t

Se

/CAMBIA USO

SEGNO UNA ParaMETRIZZAZ

in

Che percome

la senso opposto

é Quantitˆ

Dunque puramente geometrica

Una da esprimerlo

Posso

Dove

/E-di

L - (d

cor

= •

forte

IL D

CAMPO conservativo se

e

se solo

é

Differenziale

FORMA

la ESATTA

Se Se

e solo

e : Di

•

é Gradiente

CONS Se Il

F

UNA .

POTENZIALE

UN

F

07U() U(x)

+. =

c . (jF di

①FU(x) U(a)

U(xp)

+. c . = -

.

Dove Xa estremitˆ di f

Xe sono

e le

X B

~

Xi y

⑪ GF di o percorso Chiuso

Su

. Un

= XB

Xa =

*

VUt XaeX

c

. .

LAVORO

IL J

CALCOLTO CUNGO UNA &

é SEMPRE

TRALETTORIA CHIUSA NULLO

E

Se F Conservativa : O

-

= Schwartz

X di

teo

it

d &X50x

2x 2xj

: ,

=

F

Fi =

=

rot(f)

=> 0

= =

EnF

rot() = =

Fi

Fr F2

(F- + 0

=

= E

Che Una

NECESSARIA

CONDIZIONE CONSERVATIVA

FORZA

ROT(F)

Di

E QUELA AVERE 0

=

↳

) la

Quindi Forma •

Differenziale Chiusa .

QESTA CONDIZIONE sufficiente

Diventa Anche

Un

Sotto condizione Tipologicca

opportuna POINCARE

SECONDO

OUVERO CEMMA Di

IL

Poucare

Lemma di

fec"(r) cer

l ~

se con sempillemente

con

, CONNESSO

Allor F

= =Un

2 Che

SEMPLICEMENTE Ogni

Connesso Significa y

Contrame punto

CHIUSA La

Cr Unico

un Senza

in

Posso

frentiera

Mai la

To c c a r e s

a

ESEMPI

IRSo] E SEMPL

Non Conn

.

⑳

⑭

IR Soy • semplicemente connesso

↳ &

⑨

· &

&

IR3/ E

Casse X/X/z] Connesso

Non Sempl .

⑳

⑳ é SEMPUCEMENTE

TORO CONNESSO

NON

UN APPrASSIMARIO

POSSO A

NON Dentro

Un il To r o

punto

Il

-

9 I A

approssima

Posso ric

PUNTO TORO

NEL

UN

ne

BIOT-Svart

Ri

CAMPO

ESEMPIO (3 0)

y2

(x2

- / +

: =

x2i

F(x x 5

z) +

=

y - IR31assez]

, k

, = é SEMPL

CAMPO

NON UN

CONNESSO

+

y o

=

= y2)2

(x2

+ 0

=

-

= Posso

Non

DRE NIENTE

a

é IRROTAZIONALE Non

DOMINIO

Un

rot(F) In

MA

0

= = SEMPUCEMENTE CONNESSO

Sem(t)5te

COS(t)i 2i]

[0

TUTTAVIA (t)

SE +

X = ,

X(t)

↑

COS

F

( di Seu) 0) (-su(t) cos(t))dt

=

. +

.

, , 2 J

cos' dt

(t)

(t) + 2

= = [

é E Conservata

Fo e Non

OSS CURVA é

UNA

: CHIUSA SEMPRE ESANTA

LOCALMENTE .

ESEMPIO (IR3)

FORZE CENTRAci

- f(1))

F(x)

F(x y) = = Y

, T

M P

↑ DIRETTA *

VERSO L'OMGINE

DIPENDE

Dalla DISTANZA ......

Dall'ORIGINE &

O X

Gravitˆ

Nel forta

della

caso di P

Y

# &

&

c'•

-@Mm singolaritˆ

(s una ·

= E

C NELL'OMGine ..... & X

IR2 -503 E

: S

Non C

.

- . •

Cometto i

Il S

Alcoli) NULLO C

Non Non

estore Essendo .

,

POSSO CONCLUDERE

Posso Potenziale Un Ammino

il

Calcolare Considero

Ya VOGUO

j CALCOLARE IL

X(t)i Lavoro

x() y(t)5

+

= ugoy

~ CON te(ty t2]

x ,

di

JF d

·

. Polari

Il é Passare Coordinate

Tr u c c o in :

&

f 98

I coso x

X

E = +

= =

9sin0

y = ↳ d

) · d9

M

dete

+ de

22

-

4 d' 2

=

b(9) b((x2)

b() p((x -))

- = -

(F dx b(x b(x1))

. = -

QUIS

Ul Potenziale Di

= FORZA

CENTRALE

Par ticolari

Casi :

F GRAVITAZIONALE

.

f(Ix1) = -

GM

f(9) -

= GM m

Vo r r

G

P (9) =

F ELASTICA

. k(x)

f((1) = -

f(9) k9

-

= We i k

-k9

P() =

ESERCIZIO

F(x X30

5

E fn(xy)

+ z

z) +

y =

, , >0

POTENZIALE

Tr eVa r e Il

2U( z)

y E zfm(x)

V(

,

, z)

z)

= C,(Y

y +

= =

, , ,

2x

Ex Cy

+ z =

,

(m(y)

z) (a(z)

((Y +

= z

,

fU( z)

y 2zf(x)

, fm(xy)

, zfm(y) (2(z)

+

+ =

= 2z

87 (2(z)

f(x)

In (m(xy)

+ =

= +

mm

In(xy)

=

(2(z) C

(2(z)

0 =

= =

f(x)

W(x zfm(y)

z) C

y z +

= +

,

, zf(xy) C

= + PUNTIMATERIAL

Dinamica

dei Sistemi Di

Punti

N Materiali

(P (Pm

(P

) me] Mm)

m . ...

, ,

, =mi di

Ciascun punto

· segue

pu˜ Velocitˆ

· posizione

dipendere da e

&

Altri ("FORZE

Tu t i PUNT INTERVE")

Gli

Di FORZE PUNTI

I

Di INTERAZIONE Tr a

ESEMPIO SISTEMA Gravitazionale D : Corpi

M

F F

z(X

k Fiz(X

Xz) xg) + Xn)

( + N(X

+

m = ...

,, , , ,,

,

& .. Xn (n FNN-(Xv

Fw ) )

Mr Xv

+

+...

= x -,

, ,

, ,

FisKi Gmims

Xil =-

,

RISTINGUIAMO FINT Fext

E

F Ex

mi +

= FORZE ELASTICHE :

a INTERNE

FORZE

FORZE FONTE

PESO : EXT

Ala

Pote Te r a Cre

i punti

AT T R E

B

↓

FERRA Sistemi

Per

F

EO

T PUNTINAT

Vive Du

I ,

.

. Tr TN

Tiot + EN

+... CINETTC

= . V

T F

PUNTO VALE

CASOUN 12

PER . .

tz

(Fi

Tiltzl-Ti(tel E de

= ·

Ei

Resultante

Il Pera

lavoro ma dipende dal moto

so

Di Il Sistema

Tu t t o

SOMMANO 1 OTENGO

Da

: A M

T(t) T(t ) f

- =

, t

- ,

de TOTALE

LAVORO Di TUITE

Fi

Di

Risultanti

Le

Canche il ditˆ

lavoro e una

ADDITIVA) fext

fint

B

N considerate Sia

Te U

Nel devo che

.

. Che

• Coppia

Poiche Az-reaz

in

vero una .

Si HA Fis -Esi i punti

= possono

que

ma

SEGUIZE TRAIETTORE DOVE

Fij +5. 0

+

j

.

F

a

! & Fi

Fis

DEFINIZIONE En Em

Forte

di

Sistema

Un Posizionali , ...,

(Fi Pi) se

econs

adisce su . Fi

U(X U

V

=> tale due

Xm) = :

. ,

, .

, .

= Pi

GRADIENTE RISPETTO Di

ALLE COORDINATE

Supponent risultante Fonte

Ei

Che la

Sia delle

Agenti Su Pi

PER TFV

IL =

T(ta) T(t)

- -

= cons

Fi

Vidt :

-u

-U(X( Xn(t) di

....,

U(Xi(tz) U(Xe(t) ))

Xm(tel) Xm(t

-

= ,

. .

. .

. .

,

, ,

, T(t)

THtc) Vitel

V(c) +

+

=> =

CONSERVAZIONE MECCANICA

DEL'ENERGIA

•

Potenziale

Il QUANTITˆ

Una

Non ADDITIVA

Le Punti Sistema

Forte Lazione

DEL

DUE

Tr a -

REAZIONE) Potenziale

da

Sono Unico

Descrite un

Far

ESEMPIO K

>

- M

Fiz G L

que

↓

4 ↓

9

. Ez

Fi

mig

F = -

F2 -mag

=

Ez k(Pz P1)

= -

k(Pn Pz)

Fx = - U--migz

U m

= - gz

,

, Pl

V z)]

[k(P Ek((X x2) yy)

- =

= - (y (t

-

. + +

-

- -

, ,

, U

U U

UKe za)

7 +

+

X2

Y Ya = =

, ,, ,, ,

, [k(P P

migz

migz - -

= - ,

- ,

U

- = mygk

t)]

k((X (y Ye ) j (7 =

xz)i -

= +

+ -

- -

- ,

,

,

Fi

F1 +

=

analogamente =F

U =

V Potenziale

il Sist

del di

e Forte

.

F PESC

POTENZIALE DELLA .

Se (P

piti (Pm

Materiali mal

ma)

sistema di

un ,

, , ...,

PESO

E Forza

Alla

Soggetto

F Mig

g Fn

m

-

= = -

/ ....,

é

Allora Potentiale

il

Umigi mi -M

=

=

Mmi To t a l

massa

Miz : MASSA

Di

QUOTA CENTRO

DEL

Zo = Mot FOSSE

SE LA

TUTTA MASSA

COME CENTRO

CONCENTRATA NEL

.

R MASSA . U Mgzo

= -

Definizione Centra Massa

di

G PESATA

miP MEDIA

0 Delle

- = POSIZIONI

IN COORD mi(xi

Ya5

Xa zck zik)

:

+ +

+ + y

= Mi

Mymi

Mxc = mixi :

OSSERVAZIONE (F Fn)

Fi U

-V U

vool dire

= che =

: ,

, . .,

.

(Ve

V m) 3 m

Dove Gradiente

= Dimens

...., •

EMI

LE

Dunque Di Forza

Campo

Il una

...,

IR3

ESATTA

FORMA IN

DIFF . IRYW

IN

CAMMNO

WNGO

Il Suo S

UN

INTEGRALE

(x (t) Xn(t))

, , ..., LAVORO

Lidida FATTO

e da s

Di FORZE

ECONS

POSSO Di F

IL SIST

DIRE ME

QUINDI . .

SE : F

t

JU(X Xm(t)) U

① (t) =

i

c

, .

, ..., .

⑪ /R

Xm(t))

JU((t) VU

+ estremi

di

c

. .

, ..., ((t) Xm(t)

A = , ..., X

(x(H) (t))

B = .

, . .,

j

-B

⑭

A

1 Ut

d X

UNCH

-

= ... ...

⑪ IR

Win

di O Chiuso

=

Seguenti

Le CONDIZIONI Equivalenti

Sono

Va l e Poincare

Anche CEMMA di

IL

(F le

Se [/r) semplicemente

Ful con

e con

1, ..., (En Fa En)

IR" forma

In Chiusa

se Una

e ,

,

, ...,

,

E Esatta

anche .

EQUAZIONI CARDINALI

(P

SIST PM

Di (Pm mml

m)

. ,

...,

, , *

F

Fin V (Pi

Punto mil

mia +

=

: ,

di F

mi o

=

Mg = Cardinale

ed . (

Quantitˆ MVa)

mi =

= di To t a l e

moto

>

-

& mi Ma

= miai = IPER ArdiNal

& .

Se fext=o quantitˆ

la du

la moto totale

- Il

Si Si di Moto Mett

conserva cr move

,

UNIFORME .

Fisso O

Polo

Adesso Qualsiasi

un

LEVENTUALMENTE MOVIMENTO

IN

ANCHE

RISPETTO O

A MOMENTO

=E Pi-onmiVi

K(0) Angolare

TOTALE

MOMENTO DELA

O Di

Quantitˆ MOTO

RISPETTO AU :

DERIVO TEMPO

miamiam

= O

C

= P -

>

V(onMa )

+ =

-

= 0)1Fx

(0)n (Pi

+

- -

=

contributi

pelle forze Interne

I sono

o

INT

Pi Fi

-0) n Fi

2

Di F---- di

- -

=>

P

. .....

&

-

di 7

- 0

#

-Og - , Fij Fji

= -

-01-0Fi (Pi 01 (P- on Fi

Fis

-

= -

- Es

1)

/F5

(IP IP

-oleu0 (Fii) 01 suo

- =

: -

= =

: :

Es

(di/Fil-djlFijI] d5

PoichŽ di

O

= =

= Braccio

Hanno Stesso

lo

#Er Cardinale

: Era .

Mo

10 = +

DOVE RISULT

MOMENTO

M(0) Fi

(Pi 0)n FORZE

= ESTERNE

DELE

-

Per le

Semplificare la Cardinale posso

SCEGLIERE PUNTO

Di RIDUZIONE

CENTRO UN

COME

FERMO Di

COINCIDENTE CENTRO

CON

O Il

MASSA . = M(0)

k(0) =

TEOREMA DI K…NIGG

INTRODUCO >

-

Vi

Er Vo

= -

mimiVi

T = N 2.

++

= mi

-mimimi I

I O

=

mi mi (-) MM

= =

s milini

IMc Tr

Ta

+ T

T +

= = =

m -

To Tr

EN [IN EN SIN

. -

DEL RELATIVA

CENTRO

Di MASSA KîNIGO

TEOREMA ANGOLARE

PER

Di MOMENTO

IL

& mivi

-0 n

P

= :

(0) ↳ Va Vir

+ -Omi

mi +

P-0) n

= ↳

Fr

-0)

/mi +

(Pi MOMENTO

-

~

= Angolare

Va ER

M(G 0) n

- +

= Er

(G

k(0) 0) n MV

= +

-

Er Scelta del Polo

Dip

Non dalla

.

* (P 01 1

=

2(0) Vir

mi =

: -

Mitir(0-0 Fir

(Pi-o

= mi =

↑

I Col &

mivr o

=

Eg(0)

& g(0) =

DEI RIGID

DINAMICA CORPI I

DEFINIZIONE RIGIDO

CORPO

↑ Punti

E Material

UNSIST

CR Di

UN .

(P mm)

(Pm

my) ...

, , LUNO L'At ro

Ce Distanze

VINCOLati Mantenere CON

A P

da

IP -Pil dij

=

: o

p

, daz o P Cr

Possibili

Le configurazioni Un

di

biUNIVo

Comispondenza

SONO CON

La Quelle

In

SDr

UN SOLDALE

Ri pu˜

possibile

Una configurazione essere

Specificando

Identificata SDR

DELL'OMGine

scoordinate DEL

· 3 Angoli di EUtero

·

DUNQUE HA Libertˆ

G GRADI

CR Di

IL primo

usertˆ punto

di per il

3 Gradi

· Pr

·

IL PUNTO

Per SECONDO

· 26DL Pe

·

--

IGDL Per punto

Il Te r z o

· P

↓

Po &.

ogni

Per

GDL

o

· punto

altre

GGdL To t a l e

=> in

CARDINAU

LE ERNI

& R

=

S &

#(0) M(0) &1 ((0)

+

=

Forniscono Gervazioni Scavari

Ci sufficienti

SONO Necessarie

QUINDI e

é

La Cr

DINAMICA DEL DALLE

DETERMINATA

ER CARDINAU

.

GEOMETRIA MASSE

DELE

é

PER

LA DINAMICA INDISPENSABILE CONSIDERARE

L SUA

Della

FORMA MASSA

DISTRIBUZIONE

O La

,

EQUAZIONI

LE CAPIRE

CARDINAL Ci A

AIUTANO

QUANTITË GEOMETRIA

ALLA

QUAU LEGATE DELLE

Fini

Rilevanti

Sono Al

Masse Della Dinamica

CR

DEL IL CENTRO MASSA

D

Mo = > E Quantitˆ

- Rilevante

Una

E(0) &1V(0)

M(0) +

= "Momento

Quantitˆ

Dipende Dalla Angolare

(0) (P 0) mivi

= : -

CHE <12 :

UN

IN

[201 (Pi-onmi (X(0) 0)

= (Pi

+ w -

M(G 0)nX(0) n (Wn(Pi

+ 0)

(Pi 0)

= mi

- - -

Mi TERMINE

Sull'ULTIMO

Concentro

mi 0)

(wr(P

(Pi -0) -

n 0))

(wn (Pi

(Pi ((Pi

0) (Pi 0)nw)

0)

1 n

= -

-

- -

- SDR

UN O

OMGINE

IN CON zik

(Pi j

0) xii + +

y

- :

= ↑ wcj waE

( +

= +

1

w +

Sappiamo Che Tr a s f o r m a z

Lineare

Alla .

(Pi 0)1X

V - - A

E associata la Matrice ;

Yi

-o Zi

-

Ai = Xi X

o - ,

zi0

Y

- :

- -

(PI-0)

COMPONENTI Sono

LE Di Date

1 Da

L

WI ((P -0)nw)

Ai (Pi -0)

quelle

e di

W2 :

n

W3

SONO DATE DA A co

(

Ait : :2 z X Xi

Y; Zi

Z -y i

, -

-

= I

( Xi Y

Yi - Z

z ,

: 2

Zi-X-Y

O

Y Y

X Zi

; Xi

- : , ,

di

rinque Componenti

le 0)

mi 0)n(wr(Pi

(P -

: -

SONO DA

DATE

I -miti)(wi =

Matrice O

RISPETTO

di INERZIA A

[0

Nella Base 3

i j k

, ,

, -

-Emilyitzil ~mixivi mixizi

mi

S(0) mixiyimikit

= = it

-mixiti-mitiz

- -

Vetture

Matrice Associata lu il

associa

che a

milpi-on 0)

( (Pi -

Parte A

Dounta

del Angolare

Momento W

Se /(0)

G 0

0 0

=

= G(0)

#(0) = W

di Massa Di

la MATTCe

Centro

IL INERZIA

e

Le RILEVANTI

Grandezze

SONO QUANTITË

E

G (0) TENSORIALE CHE

una DISTRIBUZIONE

Solo

DIPENDE DELLA MASSA

Dalla

CORPO RIGIDO

NEL

CENTRO MASSA

Di :

G

PUNTO MASSA

Sulla

la Pesata

Media

DEFINITO COME

POSIZIONE

DET VETTON E

SS IL CM

& Solidale CON Colpo

il

: ilpi-0)

solidale

deorgine

Se un cr

di col

sar Tu t

Vettori SOLDAl

Sono

E Refinizione Vettorale

SS Una

& : Mxo = Mixi

Mys mi Yi

=

Mar Miz

= :

DIVIDO

Se

OSS SIST SOTTOSISTEMI

DUE

IL In

: .

4) <(Pr

malY

P (Pr

1 mal]

(Pm

m man)

.

, .

. . , ,

, +, ... ,

MASSE

Di M = mi Me

. = mi

Smi

M(G-0) <

milPi-0) Pi-0) Meld-0)

= + MelG

= + -

E

G

% G ,

OSS SELL HA PIANO Di SIMIMETRIA

CR

: Sarˆ piano

tale

Il Com su ! le corollario

un

DELL'OSSERVAZIONE

%. PRECEDENTEI

i

OSS SE E

/L CR Le

CONTINUO

UN SOMME RENTANO

.

INTEGRAL

ESEMPIOO G C

OMOGENEA

TROVARE LAMINA

Di UNA PIANO

R M XY

Massa DELIMITATA NEL

ASLEX E Parabola

DA Dalla 1 - X2

Y =

ay So

G Y

STA

C SIMMETRIA

PER

Xc 0

& =

1

1 X

- &MiY Camina

Considere la Fattad

Come

Myc = : - dY

d

PORZIONCINI AREA

DI

i = 1 a

t (dxdy

-dm = LAMINA

OMOGENEA

3x

1

- COSTANTE

=

↓

9/4dxdy

(

(Ydm Y9ddy

Dunque MYc =

=

= ,

7 dyd-1

Myc : 1)

f(jy1 x)dx

x idx 2x +

-

- =

= 3 19

f(1 j)

+

-

= = =E

Mi l'area

Serve f

calcolare

X

= -d 2 -

xdx

A =

= 2 5

5

Ya : = =

= G

Per posizione

Corri

i progenei di

la ser

Indipendente Le

da

Sempre Mi

da

& di

I LUNGHEZZA/AREA/VOLUME

d Elemento

= =

+ds

xo =

ESEMPIO TROVARE

G DI UN SOLDO OMOGENEO

C Avente

Massa

Di M di

forma Tro n c o

la Un

,

-

DU /RETTO

CONO REALTEZZAh

RAGGIO BASE

az 9

CALCOLO

t J dxdydz

da

.... V =

ITIVI

~ ,

-dm faxdydz

Z = -Il

--

---- de

X dz

- 3y s

,

-

X

- Ey"cr2)

L della

* Sezione ai

r raggio Z

taltezza

u R(h 7) 2

(+ - de

(πr dz

V = = h2 ↳

O

IR [ 43

2 dz +

z

V = 24 +

+ -

=

- ⑭

+R2h r h-t

STA a

= COME R ti

STA A

-

(h z) R h

r :

: =

- *

G

L

M

O CALCOLO R(h z)

-

r = h

?

Xa 0y 0 zo =

=

=

-

SIMMETRIA

X f(zdxdydz

(

(7 (dxdydz

dm

Mzc z =

=

= C

,

= Rh

I dedy .

: FIRThE-2hE EldzR

= +

ieri

= -[r =

OS) : CONSIDERAZIONI

BASTANO GEOMETRICHE

volte

A é

Se TRANGOLO OMOGENEO

IL