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Lezione 1 03/10/2022
1.1 Equazione di Newton
Dalla fisica la seconda equazione della dinamica è:
F = m * a
Consideriamo un corpo F = (Fx, Fy, Fz) vettori forza nelle sue componenti
Q = (Qx, Qy, Qz) accelerazione nelle sue componenti
m ∈ R = massa del corpo
Problema: Bisogna determinare la traiettoria del corpo
r(t) = vettore direzione nel tempo = (x(t), y(t), z(t)) tale che
Q = 𝕕2 / 𝕕t2 r(t) = ( 𝕕2 / 𝕕t2 x(t), 𝕕2 / 𝕕t2 y(t), 𝕕2 / 𝕕t2 z(t) )
E cio' deve soddisfare la seconda equazione di Newton [ F = m*a ]
Notazione: Le derivate rispetto al tempo si indicano con un punto
Di conseguenza tale equazione si puo' riscrivere nel seguente modo
m ñr(t) = F ⇒ m ( ñx(t), ñy(t), ñz(t) ) = (Fx, Fy, Fz)
Scriviamo tale formula come un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine
{ mñx(t) = Fx
mñy(t) = Fy
mñz(t) = Fz }
⇒ (x(t), y(t), z(t)) sono funzioni incognite
(Fx, Fy, Fz) sono note
Er. del moto:
mñx = Fx(x, y, z, xñ, yñ, zñ, t)
Analogamente sara' per le altre componenti
mñy = Fy(x, y, z, xñ, yñ, zñ, t)
In forma vettoriale:
1.2 Teorema di Cauchy
Si occupa di risolvere sistemi del tipo:
- V = vettore generico
- f = generica funzione
- Poniamo il parametro inizialeV(t0) = V0
Il teorema di Cauchy afferma che sotto "opportune condizioni" suf il sistema precedentemente scritto ha un'unica soluzione V(t), per tappartenenti ad un intorno (eventualmente piccolo).
- "Opportune condizioni" = si richiede che la funzione f(V, t) sia derivabilerispetto a tutte le componenti di V (v1, ..., vn) con derivate continue.
Tutte le funzioni
- tk (v1, ..., vn, t)
- tn (v1, ..., vn, t)
=> abbiano derivata continue rispetto a v1, ..., vn
Notazione: per indicare le derivate parziali si segna nel seguente modo:
dvi fk (v1, ..., vn, t) =
- d/dvi fk (v1, ..., vn, t)
Esistono altri teoremi che permettono di affermare l'esistenza e l'unicità della funzione del problema di Cauchy (p.d.c.) per t appartenenti ad un dominio "globale".
In fisica in tutti i casi noti, questo dominio è R = (-∞ + ∞).
Da ora in poi penseremo che la soluzione di un p.d.c. di origine fisica esista e sia unica ∀t ∈ R
In sintesi
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
(x0 + x0δy0 + y0δz0 ± z0δ ⎷( t2)) ∀ t ∀ t ∈ ℝ
L'equazione: mr = F(t) in cui F dipende solo da k, cnon dipende da i, lpuò non essere sempre semplice
Lezione 3 - 07/10/2022
Leggi di Conservazione
Abbiamo visto che PD = mɣD = mΓD e MαQ = (P-Q) ∧ PD verificano:
- PQD = FD
- MQ = VQ ∧ P0D + ωD ∧ P0D, Nα = (P-Q) ∧ FD
Nota Bene:
Finché consideriamo una sola particella, è sufficiente a descrivere il moto, perché essa, se risolta, fornisce PD(t) ∀G.
PD(t) = mɣ (t) e Mα(t) = (P-Q) ∧ PD(t) sono noti.
Da queste equazioni segue che:
- Se FD si annulla in una e, cioè se FD·e = 0 [ad esempio
- FgD·i = 0 = FgD·j = 0]
Allora:
- PD = F ⇒ PD·e = F·e = 0
- d/dt (P·e)2 = 0 ⇒ PD·e = costante durante il moto
Esempio
- -FgD = -mgkD
- FgD·i = 0 = FgD·j
- => PD·i = px
- PD·j = py costante durante il moto
Ma
- px = mVx
- py = mVy durante il moto sono costanti
E = 1/2 m ||→v||2 + m→ϕ→z
f→ = - G m M →r/||→r||3
-∇ V( r ) = f→( x, y, z ) l.c.
- ∇ V = - G m M →ro/||→r||3
- dx∇ V( x, y, z ) = G m M x/(x2 + y2 + z2)3/2
- dy∇ V( x, y, z ) = G m M y/(x2 + y2 + z2)3/2
- dz∇ V( x, y, z ) = G m M z/(x2 + y2 + z2)3/2
V = - G m M/(x2 + y2 + z2)1/2
= - G m M ( x2 + y2 + z2 )-1/2
Verificando
dx V = ①
dy V = ②
dz V = ③
Forze Centrali
FD è una forza centrale se FD ( r→ ) = f (t) . r→n / r
- |F→ ( . ; . )| = f ( t )
- Direzione di r→n
Nota Bene: una forza centrale è // F→ => si conserva il momento angolare
CALCOLIAMO ORA D
DOBBIAMO CALCOLARE SOLO
l = M2 = [ -→r ∧ -→p ]2
= m [ -→r ∧ -→v ]
= m [ ^∧̇^ + ^∧̇^ ]
= m ^2 [ ^∧̇^ ]
= m ^2 ( ̂ ∧̇ ̂ )
= m ^2 ( i î ∧ ^k )
= m ^2 ( î ∧ ^k )
⇒ l = M2 = m^2∅̇
⇒ ∅̇ = l/mr^2
E = 1/2 m ̇ ^2 + 1/2 m^2∅̇ ^2 + V(r)
= 1/2 ṁ ^2 + m^2 l/m^2 + V(r)
= 1/2 ṁ ^2 + 1/2 l/mr^2 + V(r) => È un sistema con un grado di libertà
PER TROVARE IL MOTO DI r SI PUÒ PROCEDERE IN 2 MODI:
- SCRIVENDO LE EQUAZIONI DEL MOTO DI r
- OSSERVANDO CHE E COSTANTE È PULITO, STUDIANDO IL COSIDDETTO "RITRATTO IN FASE"
PROCEDIMENTO A
NOTIAMO CHE E COSTANTE
E = m/2 ̇ ^2 + l^2/2m^2 + V(r) = COSTANTE
√EEFF(r)
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