Appunti di meccanica dei solidi

Meccanica dei Solidi

Meccanica delle travi

Def: Struttura = complesso degli elementi costitutivi di una costruzione che hanno la funzione di sostegno (trasferire i carichi al punto di scarico)

• 3D solitamente hanno una o due dimensioni prevalenti sulle altre

Diversi tipi:

• tridimensionale (due dimensioni paragonate rispetto alle travi, della spessore)
• lastre: forze contenute sullo stesso piano descritto dalle due dimensioni prevalenti
• piastre: resistenza ai carichi non assesta
• gusci: superficie curva
• monodimensionale (una dimensione dominante rispetto alle altre)
• trave: solido dimensionale generato da unire piano che si muove nello spazio mantenendosi perpendicolare alla traiettoria del proprio baricentro.

Se la lunghezza delle travi è Di il diametro ossea (S) massima dimensione della sezione) cura travi deve avere:

• Z ≥ 10

La forma e la dimensione delle sezioni possono essere variabili; purché con continuità:

• se la linea d'asse è contenuta in un piano si parla di trave piana
• se la linea d'asse è un segmento, viene detta rettilinea
• siccome Z ≥ 10 la trave può essere assimilata ad un elemento ad un elemento monodimensionale e pertanto la leto sizeable costituisce questa schematizzazione geometria aluna trave nella lella retta

Cinematica delle travi nel piano

Gradi di libertà di *(gdl) = 3

• traslazione (S₁, S₂)
• rotazione (Φ)

Siccome interessa la statica delle travi fleudisa; cinematica viene intesa per spostamenti impivati

• alle nq moto sistema di tutti e vetitori veiondde ae i

• I movimenti traslatori possono essere considerati rotatori dove Ω è infinitamente lontano secondo la direzione perpendicolare all'atto di moto (Teorema di Chasles)

NB: due molteplici:

• 2n - 3
• 2(n - 1)
• 2n - 1

Vincoli

• Strumenti che bloccano i gradi di libertà. Si trattano i vincoli lisci (con attrito) e filiformi

Esempi:

• S₁, S₂
• φ
• S₁, φ

NB: multipli hanno più casi

NB: se un corpo presenta due CR diversi della stessa direzione, tali punti sulla congiungente che con essi sono punti del CIR per il corpo

• Nel caso del pattino-manicotto si chiama volta impropria e viene identificata da tutte le direzioni del piano e dall'infinito.

Vincoli relativi

• I vincoli possono essere anche relativi, ossia bloccano il moto relativo tra sistemi rigidi di corpi; i gradi di libertà sono 3n.

Strutture semplici

Definizioni:

• Isostatica: gdl = gld
• Iperstatica: gld < gdl
• Ipostatica: gld > gdl

NB: le condizioni di iso e iperstaticità sono necessarie particolarmente per la struttura ma si trovano comunque alternative. Esse sono infatti possedute ai gradi di libertà esterni [paritetà]

Il problema è più immediato risolvendo col calcolo matriciale, riducendolo alla forma

A X = B => X = ^A B

- una struttura isostatica è stabile con n gradi di libertà è rappresentata da una matrice m x n di rg(A) = rg(^A B) => determinato, (una sola soluzione)

- una struttura iperstatica non è stabile con m gradi di vincolo e n gradi di libertà (m>n) è rappresentata da una matrice m x n di rg(A) = rg(^A B) = n indeterminato, ∞ⁿ soluzioni

- una struttura labile con n gradi di libertà ed m di vincolo analogo per le strutture ipostatiche (labil2) è rappresentato da una matrice m x n di rg(^A B) = rg(A) +1 => impossibile

NB: è anche il caso di struttura ipostabile con n>gdv e mgdv (m>n) (la matrice sarà m x n)

equazioni di equilibrio labili e parziali

Nel caso di vincoli relativi, nella struttura labile le reazioni si annullano, sono più quindi vincoli relativi e si annullano in una struttura con un metodo più veloce simulando alcune o tutte le reazioni di vincoli relativi, aggiungendo equazioni di equilibrio parziali su una che basta (equilibrio sull'altra è indeterminato) e creato qd qd di tipo rotazione di un'asta rispetto alle contigua

manifesto/partito => equilibrio alte riduzione di una trista

2) Campo 2

Scelgo la parte di sinistra

• ΣF_N = N - F = 0 → N = F
• ΣF_T = T + F/2 = 0 → T = -F/2
• ΣM_c = M + T s + F (b - s) = 0 → M(s) = F b + F s/2
• M(0) = 1/2 F b
• M(b) = 0

3) Campo 3

Scelgo la parte di destra

• ΣF_N = N - F = 0 → N = F
• ΣF_T = T + 3/2 F - F/2 - s/b F s - 3/2 F = 0 → T(s) = 3/2 F s/b
• T(0) = - 3/2 F
• T(2b) = 1/2 F
• ΣM_c = M - 3/2 F s + F s/2 - b/2 → M(s) = 3/2 Fs + F s/2
• M(0) = 0
• M(b) = Fb
• M(2b) = Fb

Verifiche ai nodi

• Nodo A
  • ΣF_x = -F + F = 0
  • ΣF_y = F + 2 - 2/2
  • ΣM_A = F/2 - 1/2F = 0
• Nodo B
  • ΣF_x = -F + F = 0
  • ΣF_y = -F/2 = 0
  • ΣM_B = 1/2Fb - 1/2 Fb = 0

es. Il campo 3 è equivalente se concentrato da se

• ΣF_N = N - F = 0 → N = F
• ΣF_T = T + 1/2 - F/2 + F s/b = 0
• → T = 1/4Fb + Fs s'/b
• T(0) = 1/2 F
• T(2b) = -3F/2
• ΣM_c = M o = a/2 F(2b + s) - F(b + s) + Fs s/2 - F b/2 = 0
• → M(s) = 1/2Fs 1/4Fs + Fb s/2
• M(0) = Fb
• M(b) = Fb
• M(2b) = 0
• dove s' = 2b - s

σ_α(x₁, x₂) = σ₁(x)n₁ + σ₂(x)n₂ + σ₃(x)n₃

Si raccolgono quindi i vettori σ₁, σ₂ e σ₃ in una matrice

σ_α^A = [σ₁₁ σ₁₂ σ₃₁

σ₁₂ σ₂₂ σ₃₂

σ₁₃ σ₂₃ σ₃₃]

della tensore di sforzi

La relazione precedente si può perciò scrivere come:

σ_α(x_i, n_k) = σ_α(x)n_k

relazione di Cauchy

Questa relazione coincide con la definizione de sforzo in un punto

Si voglia quindi imporre l’equilibrio alle rotazioni. Si faccia un’analisi:

• σ₃ non contribuiscono alle rotazione per l’asse x₃ (anche in figura)

• σ₁₁, σ₂₂ non danno contributo alle rotazione perché possiedono la stessa data doppia

• F sono paralleli a x₃: non danno rotazione su x₃

Il unico contributo alta rotazione è di σ₁₂ e σ₂₁ (su x₃)

σ₁₂dx₃dx₃dx₁ − σ₁₂dx₁dx₂ = 0

[σ₁₂ = σ₂₁]

ne σ^P è simmetrice

Dato una superficie D_n, definisco:

n componente normale dello sforzo

t componente tangenziale dello sforzo

σ_n = σ_α·n_α

T_lt = t_ltt_α = σ_α − σ_n − σ_α·n_α

σ_α: componenti sulla diagonale di Σ

t_lt: componenti extradiagonali di Σ