Appunti di Meccanica avanzata dei solidi e delle strutture

Lezione 1

Potenziale del continuo: Meccanica dei corpi deformabili.

1. Definiamo un corpo materiale in una struttura matematica.
   • β ∈ ℝ³
   • β⊂Ω∈ℝ³ → configurazione iniziale
   • β⊂Ω∈ℝ³ → configurazione attuale
   • x₁: χₒ → χ ∈ ℝ³
   • χ cambio configurazione
   • X/X: vettore posizione iniziale/attuale

2 campi vettoriali vettore sostantivo

• u = x - X
• uᵢ = xᵢ - Sᵢⱼ Xⱼ

Campo: la mia funzione vettoriale è definita in una regione su ℝ³ quindi posso sviluppare in taylor punto.

Studio del cambio di configurazione

1) Prendiamo un intorno elementare ovvero una regione molto piccola.

2) In questa regione sufficientemente piccola posso linearizzare ρ ovvero confondere f-tgi quindi al posto di usare f uso f.

3) F = ∂x/∂X = Fᵢⱼ = ∂xᵢ/∂Xⱼ tensore del secondo ordine

E’ una linearizzazione locale della m.q. governo del cambio di configurazione.

Allungamento

λ = ||dx||/||dX|| → λ = √(FN∙FN)

4) Partendo da un intorno elementare dX voglio arrivare a dx

5) dx = ∂x/∂X ⋅ dX

6) Allora posso scriverlo nel seguente modo: dx = F ⋅ dX in notazione indiciale sarà: dxᵢ = Fᵢⱼ dXⱼ

dX = dX N dove N un versore. → ||dx|| = dX⋅√N∙N = dx

||dx|| = |dX|∙√FN ∙ FN

λ = √(FN ∙ FN) → λ = √(FFᵀ ∙ N ∙ N) = dX

λ = √(C ∙ N ∙ N)

Gradiente di cambiodi configurazione

Allungamento :

Angolo :

quindi si pu affermare che l’allungamento èfunzione della direzione

anche qui l’angolo dipende dalla direzioni

Quindi se conosco conoscos tutte le informazioni necessarie acapire quello che succede nell’intorno elementare. Quindi è una pentite .

Spostamento : (Differenza tra la posizione attuale e la posizione iniziale)rappresenta un campo vettoriale.

TENSORE DELLE DEFORMAZIONI :GREEN LAGRANGE

IPotizzando piccoli gradienti di spostamento

Simili Einstein.

spostamento :

NOTAZIONE INDICALE

TENSORE DELLE DEFORMAZIONI