Appunti di Matematica su funzioni reali di due variabili

MASSIMI O MINIMI ASSOLUTI

( ) 2

Data una funzione z = f x,; y ed un punto Dom , sia z =f(x ;y ).

P(x ; y ) 0 0 0

0 0

) ≤ (x; y) Dom , allora P(x ;y ) è un punto di minimo

Se z =f(x ;y z(x;y) 0 0

0 0 0

assoluto della funzione.

La quota z nel punto P(x ;y ) è il valore minimo assoluto della funzione.

0 0 0

Il Punto dello Spazio M(x ;y z ) è un Minimo assoluto della funzione.

0 0; 0

≥ (x; y) Dom , allora P(x ;y ) è un punto di massimo

Se z =f(x ;y ) z(x;y) 0 0

0 0 0

assoluto della funzione.

La quota z nel punto P(x ;y ) è il valore massimo assoluto della funzione.

0 0 0

Il Punto dello Spazio M(x ;y ;z ) è un Massimo assoluto della funzione.

0 0 0

MASSIMI O MINIMI RELATIVI

( ) 2

Data una funzione z = f x;y ed un punto Dom , sia z =f(x ;y ), sia I un

P(x ; y ) 0 0 0 0

0 0

intorno di P(x ; y ) .

0 0 ) ≤ (x; y) I , allora P(x ;y ) è un punto di minimo relativo

Se z =f(x ;y z(x;y) 0 0 0

0 0 0

della funzione.

La quota z nel punto P(x ;y ) è un valore minimo relativo della funzione.

0 0 0

Il Punto dello Spazio M(x ;y ;z ) è un Minimo relativo della funzione.

0 0 0

) ≥ (x; y) I , allora P(x ;y ) è un punto di massimo relativo

Se z =f(x ;y z(x;y) 0 0

0

0 0 0

della funzione.

La quota z nel punto P(x ;y ) è un valore massimo relativo della funzione.

0 0 0

Il Punto dello Spazio M(x ;y ;z ) è un Massimo relativo della funzione.

0 0 0 2

Metodo per la ricerca dei massimi e minimi relativi liberi ( )

Per calcolare i massimi e minimi relativi di una funzione reale di due variabili reali z = f x;y ,

si può applicare un metodo che utilizza le derivate.

Supponiamo di lavorare con funzioni con una grande regolarità per cui esistano le derivate

parziali, rispetto ad ogni variabile, di ogni ordine.

1. Innanzitutto si calcola il dominio della funzione.

2. Se il dominio non è vuoto, si calcolano le derivate parziali

'

'

prime e f (x; y) della funzione;

f (x; y)

x y

3. Si risolve il sistema ottenuto ponendo le due derivate prime uguali a zero. Gli eventuali

punti P(x ;y ) soluzioni del sistema sono detti punti stazionari, a piano tangente

0 0

orizzontale, e possono essere Punti di Sella o Flesso oppure Punti Estremanti, cioè di

Massimo o di Minimo.

4. Si calcolano le derivate parziali seconde.

5. Si costruisce il Determinante Hessiano H(x;y), che è il determinante della matrice

quadrata delle derivate seconde della funzione.

" "

f f " " "

"

H(x;y) = = * f - f * f

f

xx xy xx yy xy yx

" "

f f

yx yy

6. Si calcola il valore del D.H. nei punti stazionari P(x ; y ).

0 0

7. Si studia la natura dei punti stazionari, che dipende dal valore assunto da H(P).

"

f (x

a) Se H(P)> 0 e < 0 allora P è un punto di massimo relativo della

)

; y

xx 0 0 *

funzione e z(P) è un valore massimo relativo. P (x ;y ;z ) è un Massimo della

0 0 0

funzione "

b) Se H(P) > 0 e > 0 allora P è un punto di minimo relativo della

f (x )

; y

xx 0 0 *

funzione e z(P) è un valore minimo relativo. P (x ;y ;z ) è un Minimo della

0 0 0

funzione

c) Se H(P)< 0 allora P è un punto di sella funzione e z(P) è un valore di sella.

d) Se H(P)= 0 allora il Caso è dubbio (il metodo non è significativo, cioè non si

può stabilire, con questo metodo, se P è un punto di massimo o di minimo

ricorrere all’analisi del comportamento

relativo della funzione), quindi si deve

della funzione in un intorno del punto o ad un altro metodo (es. le linee di

livello). 3

Metodo per la ricerca dei massimi e minimi relativi vincolati ( )

Si parla di massimi e minimi vincolati di una funzione reale di due variabili reali z = f x; y

quando le variabili x o y non possono essere prese liberamente nel dominio algebrico, ma sono

legate ad assumere valori condizionati dalla presenza di vincoli che si traducono con equazioni

( ) ( )

o disequazioni del tipo g x; y = 0 o g x;y > 0 (per esempio).

da un’equazione,

Per calcolare i massimi e minimi vincolati si può applicare un metodo che

utilizza le derivate detto metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

( ) ( )

Sia z = f x; y la funzione da ottimizzare; sia g x;y = 0 il vincolo.

Supponiamo di lavorare con funzioni con una grande regolarità per cui esistano le derivate

parziali, rispetto ad ogni variabile, di ogni ordine.

1) Innanzitutto si calcola il dominio della funzione.

2) Se il dominio non è vuoto, si scrive la funzione Lagrangiana data da

λ λ λ

( ) ( ) ( )

Z x; y; = f x; y + g x; y con parametro Reale.

Si calcolano le derivate parziali prime (Z’ , Z’ e Z’

3) ) della funzione Lagrangiana;

λ

x y

4) Si risolve il sistema ottenuto ponendo le tre derivate prime uguali a zero. λ

*

5) Se il sistema ammette soluzioni, si ottengono uno o più punti del tipo P (x ;y ; ).

0 0 0

λ λ

( )

6) Si calcolano le derivate parziali seconde di Z x; y; rispetto ad ogni variabile x, y,

λ

( )

della funzione ( o le derivate parziali seconde di Z x; y; rispetto alle variabili x, y e

'

'

le derivate prime del vincolo g ).

e

g x y λ

( ).

*

7) Si costruisce il determinante Hessiano Orlato H x; y;

" ' '

" "

Z Z Z 0 g g

x y

x y

λ

( ) = " " "

*

H x; y; Z Z Z = ' " "

g Z Z

x xx xy x xx xy

" " " ' " "

Z Z Z g Z Z

y yx yy y yx yy λ

Si calcola il valore dell’Hessiano Orlato in ognuno dei punti P *

8) (x ;y ; ) ottenuti dalla

0 0 0

risoluzione del sistema. *

*

9) Si studia la natura dei punti stazionari, che dipende dal valore assunto da H ( P ).

*

*

a) Se H ( P ) > 0 allora P(x ;y )è un punto di massimo relativo vincolato della

0 0

funzione e z(P) è un valore massimo relativo vincolato

*

*

b) Se H ( P ) < 0 allora P(x ;y )è un punto di minimo relativo vincolato della

0 0

funzione e z(P) è un valore minimo relativo vincolato.

*

*

c) Se H ( P ) = 0 allora il Caso è dubbio (il metodo non è significativo, cioè non

si può stabilire, con questo metodo, se P è un punto di massimo o di minimo

ricorrere all’analisi del comportamento

relativo della funzione), quindi si deve

della funzione in un intorno del punto o ad un altro metodo (es. le linee di

livello). 4