Appunti di Matematica finanziaria

Piano di Ammortamento Italiano o Uniforme

R I R I R I1 1 1 2 2 2 3 3 3=C∗i =D ∗i =D ∗iI I I1 2 1 3 2=C−C =C−C −C =C−C −C −CD D D1 1 2 1 2 3 1 2 3=C =C +E E C1 1 2 1 2=C +C +CE 3 1 2 3=C + =D ∗i =0 =CR I I D En n n n n−1 n n

PIANO DI AMMORTAMENTO ITALIANO o UNIFORME=t +t j , j=1,2 , … , n

Date di scadenza equidistanziate, cioè jTasso di interesse costante CQuote capitale costanti -> si trovano facendo nC n− j+1= +C∗i( )RComposizione rata: j n nC n− j+1= =C∗i( )C ICon ej jn n=C ∗E jSituazione del debito: -> quota capitale * periodo pagatoj j=C ∗(n−D j) -> quota capitale * periodo residuoj j

Piano di Ammortamento Francese

=t +t j , j=1,2 , … , n

Date di scadenza equidistanziate, cioè jTasso di interesse costante =R =…=RRRate costanti -> 1 2 n CNei piani di ammortamento, il capitalen∑ t−t(1+i)C= X TASSO FISSOj+t jj=1n∑ −tt( )(1+ )C= X i

t ,t TASSO VARIABILEj+t j jj=1

Sviluppando i calcoli ed essendo le rate costanti, risulta che:

−1 −2 −n+ +C=R(1+i) R(1+i) …+ R(1+i)n

Otteniamo una somma di termini in progressione geometrica.

C−nR∗1−(1+i) iR=da cui segue che: -> formula per ottenereC= −n1−( )1+iila rata. C i=R−I = −CCScomponendo la rata, trovo che: 1 1 i−n1−( )1+i

Se vogliamo sapere la composizione della rata alla prima scadenza, è sufficiente fare=R−CC 1 i =C (1+i)CSviluppando i calcoli per trovare 2 1=R−CIda cui segue che 2 2 2C =C (1+i)C =C (1+i)Per ottenere : oppure C3 23 3 1In generale, poiché le quote capitale crescono in progressione geometrica, si ottieneche:=C (1+i)C −1n n C CConoscendo si può determinare direttamente1 jj−1=C (1+C i)j 1 t CN.B. Si ricorda che il debito residuo in è pari a :n∑ −tt=CD ( )=D R 1+i j0 0 t+ jj=1E C−D D DMentre = . Se invece di voglio

Attualizzo le rate ancora da pagare e le porto in (PRINCIPIO DI EQUIVALENZA FINANZIARIA).
In sintesi: C_iR=Composizione rata: −n₁−( )1+i=R−C
C =C (1+i)^C
Con , , ecc… da cui deriva che
2 11 ij−1=C (1+C i)^j 1 E C−D
Situazione del debito: =j jn∑ t−tD ( )R 1+i= j0 +t jj=1D -> attualizzo i periodi mancanti -> ad es.j−1 −2+ ) +R(1+i) R(1+i …
PIANO DI AMMORTAMENTO AMERICANO
2 tassi: tasso di debito e tasso di credito
i r Importo costante Q
Il piano di ammortamento americano è un caso di restituzione integrale del capitale a scadenza. i
Abbiamo tre soggetti (creditore, debitore e banca) e due tassi (tasso di debito , r cioè il tasso al quale il debitore paga gli interessi e tasso di credito , cioè il tasso al quale il debitore investe ). >0
t DC
Il debito residuo è a tutte le scadenze, tranne che in , .+n +nt
Montante a scadenza in regime di capitalizzazione composta:
n−1 n−2 ( ))

+Q(1+ +…+Q +Q=CQ(1+r r) 1+r jIl capitale accumulato ad una data è pari:t Q=+1t ( )+QQ 1+r=+2t 2 ( )= ) +Q +QQ(1+r 1+r+3 C∗rQ= n(1+r ) −1+Q=RI C∗r C∗jQ= R==C∗iI jdove , e è il tasso−nn(1+r ) −1 1−(1+ j)effettivo dell’operazione⇔<ir i< j situazione favorevole per il creditore⇔r=i i= j⇔>ir i> j situazione favorevole per il debitoret,t j(¿)R vPartendo da adattare la formula ai vari casi:n∑ ¿C= j=1( ) ( ) ( )−(C+ )[v −v ]C−I v t ,t I t , t t , t1 1 2 2 3R= ( ) ( ) ( ) ( )+ + +v t ,t v t ,t v t , t v t , t3 4 5 6B.T.P. – Buono del Tesoro PoliennaleIl B.T.P. è uno dei titoli del debito pubblico (insieme ai B.O.T. e ai C.T.Z.).A differenza dei B.O.T., che scadono entro 12 mesi, i B.T.P. sono poliennali, dunque laloro scadenza è superiore ai 12 mesi. Il B.T.P. è un titolo che presenta una cedola ed untasso di interesse, al

contrario del B.O.T., che non ha tasso ed è un "no coupon" (titolo senza cedola). La cedola del B.T.P. è costante ed è calcolata sul valore nominale. In viene0emesso o acquistato il titolo dai titoli già in circolazione. I mercati per i titoli si distinguono in: mercato primario, nel quale vengono collocati i titoli di nuova emissione e mercato secondario, in cui vengono negoziati i titoli già in circolazione. A scadenza abbiamo il rimborso integrale (pagamento degli interessi e rimborso del capitale a scadenza, ultima cedola + capitale). L'importo sul quale si calcolano gli interessi è sempre il valore nominale o facciale del titolo, che è sempre pari a 1000€ o multipli. Il tasso deciso in fase di emissione è fisso fino a scadenza. Lo Stato ha inserito un premio a scadenza, per invogliare coloro che acquistano il titolo e lo tengono fino a scadenza. Viene fatto per evitare fenomeni di speculazione (acquisto e

rivendita a un prezzo maggiore). Un secondo metodo per invogliare l'acquirente è il meccanismo STEP UP, attraverso il quale ci sono più tassi crescenti, dunque all'emissione del titolo il tasso è basso.

Prezzo d'acquisto e valore di rimborso sono espressi su base 100:

Fase d'acquisto:

• prezzo d'acquisto > valore nominale -> il titolo è quotato sopra la pari
• prezzo d'acquisto = valore nominale -> il titolo è quotato alla pari
• prezzo d'acquisto < valore nominale -> il titolo è quotato sotto la pari

Se il prezzo d'acquisto = valore nominale:

• j (tasso effettivo) = i (tasso nominale annuo) -> se acquisto alla pari
• j (tasso effettivo) > i (tasso nominale annuo) -> se acquisto sotto la pari
• j (tasso effettivo) < i (tasso nominale annuo) -> se acquisto sopra la pari

Fase di scadenza:

• valore di rimborso > valore nominale -> il titolo rimborsa sopra la pari
• valore di rimborso = valore nominale -> il titolo rimborsa alla pari
• valore di rimborso < valore nominale -> il titolo rimborsa sotto la pari

nominale -> il titolo rimborsa alla parivalore di rimborso < valore nominale -> il titolo rimborsa sotto la pari

Se in fase di scadenza valore di rimborso > prezzo d’acquisto si paga una ritenutafiscale del 12,5% sulla differenza tra il valore di rimborso e il prezzo d’acquisto,differenza che è detta capital gain o guadagno di capitale (lordo). Se valore dirimborso = prezzo d’acquisto non ci sarà né un guadagno né una perdita, se valore dirimborso < prezzo d’acquisto ci sarà una perdita in conto capitale.

I B.T.P. possono comprendere delle commissioni di acquisto e di vendita, che sono acarico di chi richiede l’operazione.

Acquisto alla pari (a 100) + commissione per determinare il costo d’acquisto

Vendita alla pari (a 100) – commissione per determinare il ricavo di vendita

IL LEASING

Un’azienda, per lo svolgimento della sua attività, necessita di un bene strumentale. I due modi

Per ottenere un bene strumentale sono l'acquisto e il leasing. Il contratto di leasing può prevedere:

• un maxicanone iniziale (in €), indicato con <K>
• una facoltà di riscatto, alla scadenza del contratto.

La formula per calcolare il canone di equilibrio del contratto di leasing è la seguente:

^-1 _{-2 -n} ( <K> + ∑ <K> (1+i)^-n )

Con <K> costante, con maxicanone e con facoltà di riscatto:

^-n ₁ (1+i)[ <K> - (1+i)^-n ] - ∑ <K> (1+i)^-n = <K> + <C> - α<C> (1+i)

Con <K> costante, con maxicanone e senza facoltà di riscatto:

^-n [1- α ] <C> (1+i) <K> = ∑ <K> (1+i)^-n - <C> (1- α) (1+i)^-n

Segue che:

<K> = −n [1- α ] <C> (1+i) / [1-(1+i)^-n (1- α)]

se <K> è costante, c'è maxicanone e c'è facoltà di riscatto)

<K> = −n [1- α ] <C> (1+i) / [1-(1+i)^-n (1- α) (1+i)]

riscatto: -1 -2 -n -1 -2 -n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=K + +…+ + + +C-qK 1+i K 1+i K 1+i C=qK K 1+i K 1+i …+ K 1+iC[ ] K=-n -n1-( ) (1+i)1+i se K =-n+ (1+C=qK K C=K q+1- i)q+i i icostante, c’è maxicanone e non c’è facoltà di riscattoCon K costante, con facoltà di riscatto e senza maxicanone:-n(1+ i)-1 -2 -n -n -n( ) ( ) ( )+ +…+ + (1+i) + (1+i)C=K 1+i K 1+i K 1+i αC C=K αCi-n( )[1-α ]C 1+i-n K=(1+i) se K è costante, c’è facoltà di-n -n( ) =K-C-αC 1+ i (1+i)i iriscatto e non c’è maxicanoneCon facoltà di riscatto, con maxicanone e con K non costante:nullo alla 3^ scadenza, triplo alla 2^ alla scadenza, ½ alla 4^ scadenza:1-1 -2 -4 -5 -6 -7 -7( ) ( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( )=K + + + + + +αCC−qK 1+i 3 K 1+i K 1+i K 1+i K 1+i K 1+i 1+i2 1−7 −1 −2 −4 −5 −6 −7( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=qK + +3 + + + +C−αC 1+ i K 1+ i K 1+ i K 1+i K 1+i K 1+i K 1+i21[ ]−7 −1 −2 −4 −5 −6 −7( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=qK [q+ +3 + + + + ]C 1−α 1+ i 1+ i 1+i 1+i 1+i 1+i 1+i