Appunti di Impianti di produzione dell'energia elettrica

INTRODUZIONE

Lo scopo è capire come garantire l’ottimizzazione del sistema elettrico. In generale, ci si occupa di coordinamento economico della produzione. Le strategie da analizzare sono:

• Economic Dispatching: trovare le migliori combinazioni per l’uso degli impianti di produzione;
• Unit Commitment: stabilire quali centrali dare il diritto di lavorare e quali no.

Il costo totale di produzione di un gruppo termoelettrico è costituito da un insieme di costi fissi, che non variano con il livello di produzione, e costi variabili con il livello di produzione, dipendenti dal costo del combustibile. Interesse solo l’andamento del costo variabile orario di produzione dipendente della potenza netta in uscita.

È possibile determinare la funzione H(P), rapporto tra l’energia fornita dal combustibile e l’energia elettrica prodotta nell’unità di tempo per diversi livelli di produzione. Tale andamento é denominato “consumo specifico” o “heat rate characteristics”. Per ogni valore di P si ha H(P), e per cui l’inverso del rendimento dell’impianto. Nel punto di minimo della funzione il rendimento è massimo.

Nota l’andamento della caratteristica di consumo specifico, possiamo sapere quanto combustibile ci serve per produrre per un’ora un certo livello di potenza; perciò, il prodotto H(P).P è indicato come legame ingresso-uscita, cioè dice quanto combustibile deve entrare per avere in uscita la produzione netta, per un’ora, della potenza P: F(P) = H(P)·P

L’energia è ingresso di gruppi termoelettrici é spesso misurata in Btu (British thermal unit), e le quantità di calore necessarie per innalzare la temperatura di 1 lb di acqua di 1 grado Fahrenheit, in corrispondenza del punto di massimo densità 39.1°F. Il concetto dell’interesse del descrivere caratteristiche di costo orario C(P) si calcola moltiplicando il legame ingresso-uscita F(P) per il costo del combustibile, espresso in u.m./Btu o u.m./kcal/kg. Mettiamo detto il rapporto fra costo del combustibile, calore, dapprima la potete calorifica, poi esprimendo in genere in BTU/lb oppure in kcal/kg/ e come convertire da BTU/lb al kcal/kg.

C(P) = k·F(P)

Abbiamo delle funzioni costo di produzione associate ad ogni centrale ed hanno un andamento tipico. Le centrali avranno un campo di funzionamento di costo dal valore minimo al dal valore massimo. Un parametro molto importante è la derivata della funzione costo:

C' = dC(P)/dP

C' prende il nome di costo incrementale. Il consumo specifico è definito come rapporto della potete [linee illeggibili] prodotto netto.

CS = C(P)

La prima ipotesi sarà ipotizzare che le funzioni costo abbiano una rappresentazione di questo tipo: C(P)=a+bP+yP², ovvero un modello quadratico, che ha il vantaggio di essere continua e differenziabile ed è una funzione convexa.

Il costo incrementale per una centrale di questo tipo sarà: [contento illeggibile]

Una centrale può avere un costo di produzione basso perché è molto efficiente e utilizza un combustibile più pregiato.

Economic Dispatching

Immaginiamo tutte le centrali connesse ad uno stess sistema e trascuriamo l’effetto della rete. Rappresentiamo le centrali, l’alternatore e le connessione delle centrali alla rete. Il nostro problema è trovare il minimo del costo di produzione:

min [C₁(P₁) + C₂(P₂), … + C_n(P_n)]

prodotte deve essere uguale alla domanda:

ΣP_i = P_D

Stiamo trascurando la rete e tutte le perdite. Le potenze sono quelle nette. Facciamo [percui] di considerare funzione di tipo continuo, convexe e differenziabile. Questo problemi si risolve tramite i moltiplicatori di Lagrange.

Metodo dei moltiplicatori di Lagrange

Il minimo si ottiene costruendo una funzione Lagrangiana, funzione delle incognite del problema e di λ, detto moltiplicatore di Lagrange. Questa funzione di ottiene dalla funzione obiettivo da minimizzare, dove la somma dei vincoli è moltiplicata per il parametro λ, ottenendo:

Quindi :

Le condizioni necessarie e sufficienti:-tutte le derivate parziali, rispetto alle incognite uguali a zero;-serve che tutte le derivate della moltiplicatore si ottengano andando a considerare a parte i vincoli del problema:

La derivata della Lagrangiana rispetto a P è semplicemente il costo incrementale, perché nel calcolo di dcn(Pn) la somma di più funzioni monodimensionali, quindi scalari si annullano. Se si ha un aumento di Pn tale che provoca il zero, rimane in discussione solo il costo incrementale rispetto al vincolo da riparare.

Bisogna vedere perché risolvere il sistema precedente porta a trovare il minimo vincolato fra una funzione obiettivo.

Se considero un caso semplice con due variabili, x1 e x2, si tracciano le curve di livello (linee anche isotermiche) vedali. Sono curve che formano un insieme puntuale quando sono esattamente al centro dell'origine. Il vincolo del problema è rappresentato dalla retta visibile. Il punto cercato è quello che rende le curve di livello tangenti al vincolo, ovvero la soluzione ottima, è un punto di livello (P) tangente al vincolo.

Curva di livello e vincolo tangenti tra loro implica che il gradiente della funzione ed il gradiente del vincolo sono paralleli, cioè:

Quindi, se la nostra funzione ε≠0, bisognerà scrivere le derivate parziali rispetto a tutte le incognite del problema, inoltre:

Condizioni di Kuhn-Tucker (o problema di Karush-Kuhn-Tucker)

Le condizioni di Kuhn-Tucker significano trovare le condizioni di funzionamento di minimo operativo, mettendo in conto i vincoli di diseguaglianza. Abbiamo sempre il minimo del costo di produzione, ed il vincolo di far si che la domanda e la produzione siano uguali tra loro; inoltre ci sono vincoli di diseguaglianza, cioè le produzioni di ogni impianto devono rispettare dei vincoli di funzionamento.

L’impostazione generale del problema è scrivere una Lagrangiana:

d_f = C₁(P₁) + C₂(P₂) + ϕ + λ (P_R.min - P₁) + λ (P_R.min - P_1.max) + λ’ (P_R.min) - P_R.max)

Dove:

• C₁(P₁): funzione obiettivo;
• λ: vincolo di uguaglianza e moltiplicatore di Lagrange;
• λ₁λ₂: vincoli di diseguaglianza;
• ϕ: funzione dei vincoli di diseguaglianza;

A ciascun vincolo corrisponde un’incognita aggiuntiva che è il moltiplicatore di Lagrange. L’apice primo corrisponde al vincolo sul minimo, quello secondo corrisponde ai vincoli sul massimo.

Le condizioni, per il problema in esame, sono:

• Derivate parziali: uguali a zero, diventa il costo marginale più i moltiplicatori;
• Vincolo di uguaglianza;
• Vincolo di diseguaglianza;
• Prodotto del moltiplicatore per la differenza tra potenza minima e potenza;
• Prodotto del moltiplicatore per la differenza tra potenza e potenza massima.

L’esaminazione di base con due unità:

L’unico dato dal carico è:

P_u = P₁ - P₂ = 0

I limiti operativi delle centrali sono:

• g₁(P₁) = P_1.min - P₁ ≤ 0
• g₂(P₁) = P₁ - P_1.max ≤ 0
• g₃(P₂) = P_2.min - P₂ ≤ 0
• g₄(P₂) = P₂ - P_2.max ≤ 0

Lo Lagrangiano è:

d_f = f + ϕ + λ₀g₂ + λ₁g₂ + λ₂g₃ + λ₃g₄

Si distinguono 4 casi:

a) Se la soluzione ottima si ha per P_R e P_u compreso tra i limiti: λ₁ = λ₂ + λ¹ = λ² = 0 e C₁(P₁) = C₂(P₂) = λ

b) La soluzione ottima ricade che uno dei due gruppi funzionano sul suo limite inferiore (centrale molto poco conveniente, per essere l’unico modo per ottenere zero nei prodotti, è che i moltiplicatori di lagrange siano nulli e si ritrova la condizione per cui se le centrali lavorano sull’interno dei limiti: devono necessariamente lavorare allo stesso costo incrementale per dar luogo a condizioni di funzionamento ad hoc.

Quindi, il prodotto λ’(P_R.min-P₂) presentano la quantità da prodotta nulla per qualunque quantità di λ_i. Inoltre, per tutte le altre quantità verso il centro dei limiti, ottiene λ_i, come per λⁱ per ottenere ogni risultato preferita condizione.

c) Se il proprio gruppo si trova al suo limite massimale, non può più gestire i vincoli dei gruppi e ottimizzare predicamenti dello svantaggio nascenti. Ne consegue che il costo incrementale associato allo stabilito decisiva al suo limite inferiore maggiore uguale o minore uguale ai costi incrementali del gruppo che si trova entro i nostri limiti.