Appunti di Idrodinamica per esame

Idrodinamica

1. Lo schema di continuo: I fluidi sono composti da molecole poste a grandi distanze rispetto alla loro dimensioni e hanno elevate velocità relative, per questo, e per loro natura, hanno una struttura discontinua. In un punto arbitrario dello spazio è impossibile definire con precisione le propieo di un fluido, perchè non so se metanas o eseresci una molecola con una certa massa e i con una certa velocità.

Ciò che avviene a livello molecolare non è di nostro interesse, e possibile prescindere da questo costituire disontinua so si prende in considerazione un volume che racchiude un certo numero di molecule e si definiscono delle grandezze medie. Ha poco senso parlare di massa se si istante, so parla di massa per unità di volume.

• ρ₁=M₁
• V₁≠ρ₂=M₂
• V₂

In generale ρ₁≠ρ₂

Per definire la massa per unità di volume in un punto, devo scegliere un volume infinitesimo che lo contiene. Attenzione: la density in un punto non e definita come ΔV→0 ma come:

Perchè il volume (e non) deve essere un ΔV piccolo abbastanza grande da contenere un numero di molecule accettabile, un ΔV troppo piccolo create dei problemi in quanto il numero di molecule sec in un volume, e inciderebbe troppo se ΔV→0

• Σ
• ρ dipende da temperatura e pressione
• ρ(T, p)
• Posizione x_E tempo t

• ρ(x, t)
• Le dimensioni della ρ sono di una massa divisa per un volume
• [^ML−3]
• È l’unità di misura nel SI ed
• [kg/m³]

• Aqua dolce
• T:10°C → ρ ≈1000 kg/m³
• 50°C → ρ ≈998 kg/m³
• Ara secca
• T: 0°C → ρ ≈1,285 kg/m³
• T: 50°C → ρ ≈1,05 kg/m³

Analogamente alla densità possiamo definire qualsiasi grandezza F continua nello spazio. Considerando che le caratteristiche del fluido dipendono anche del tempo, F e continua del tempo se

• lim ^t→t₀ F (x, t) = F(x₀, t₀)

• Lim
• F(x, t) continus

nello spaxio

• *La dimensione e l’ente che accomune grandezze della stessa nature. Le 5 dimensioni fondamentali di base sono: M(massa), L(lunghezza) e T (tempo)

2. Forze di massa e di superficie:

Le molecole che costituiscono la materia esercitano delle forze sulle altre molecole che possono essere di:

• forze a corto raggio (valori significativi a distanze dell'ordine di dimensioni delle molecole) e forze di lungo raggio (decadono lentamente con la distanza, rilevanti).

(utilizzando lo schema di continuo, si introducono forze di massa (risultato delle forze di lungo raggio), e forze di superficie (risultato delle forze di corto raggio).

La forza di massa e una forza proporzionale alla massa o alla superficie prese in considerazione.

• Forze di massa: considerando un volume infinitesimo dV, si assume che la materia contenuta nel volume dV eserciti una forza dG sul continuo contenuto in dV.

siccome dG e una forza di volume è esprimibile con la relazione:

dG = f p dV

dG = f g p dV

Dove f è detto CAMPO DI FORZE, ha le dimensioni di: forza/massa, cioè una accelerazione, ne [f] = L T^-2

Per determinare G:

G = ∫_V f pdv = g∫_V pdv = g_m massa

Se g = 9,81 m/s²

F = f (x, t, ε)

• Forze di superficie: considerando un volume infinitesimo dV (all'interno di un volume V) e una superficie infinitesima dS', i fluido all'esterno della superficie exerce una forza dF' sul continuo all'interno.

dF' = t dS¹ dove t è la tensione, ha dimensioni di: forza/superficiale, quindi di una pressione tex = M L^-1 T^-2

forza proporzionale alla superficie

t si misura in P₀ [N/M²] 1 b = bar = 10⁵ Pa

F_t = ∫_tS1

K_t = f (x, t, n)

dipende anche dalla normale alla superficie (uscente) n = (n₁, n₂, n₃)

Note: se il fluido è fermo, la risultante delle forze è:

G + F = 0

3. Fluidi in quiete:

In generale, la tensione dipende dalla pressione, dal tempo e dalla normale uscente della superficie (t = t(x, t, n)).

Nei fluidi in quiete la tensione assume una forma particolarmente semplice è risulta sempre ortogonale alla superficie è diretta verso di essa:

t = -pQ dove p è la pressione, con dimensioni uguali alla tensione [P] = M L^-1 T^-2

la pressione dipende da posizione e tempo p(x, t)

Equazione integrale della statica:

esprime il fatto che il volume di fluido è fermo, quindi la risultante delle forze deve essere nulla:

G + F = 0 ∫_V f pdv = 0 ∫_V f f nds = 0

∫_s f pdv

σ integrale, non si può applicare punto per punto ma solo ad un volume. Per applicarla in maniera puntuale va elaborata utilizzando il teorema del gradiente.

5. EQUAZIONE DI STATO:

Lo stato dei fluidi termodinamici dipende da due variabili (di stato), la pressione e la temperatura

ρ = ρ(p,T)

L'equazione di stato che lega densità, pressione e temperatura.

Variando p e T varia ρ del fluido.

In forma differenziale l'equazione di stato può essere scritta come:

dρ = (∂ρ/∂p) _Τ dp + (1/ρ) (∂ρ/∂T) _ρ dT

dove chiamiamo:

ε = (1/ρ) (∂ρ/∂p) _Τ coefficiente di comprimibilità isoterma [ε^-1] = M^-1 L^-1 T² u.d.m.:Pa^-1

α = (1/ρ) (∂ρ/∂Τ) _ρ coefficiente di dilatabilità isobaro [α^-1] = Θ^-1 u.d.m.: K^-1

per cui

dρ = ρ[ ε dp - α dT]

Così come per il fluido anche ε^-1 e α dipendono da p e T ma se le variazioni non sono elevate, ε^-1 e α possono essere considerati costanti e para ε^-1 = ε₀ e α = α₀

ρ_{∫ ß} dρ = ε₀ ∫ dp - α₀ ∫ dT integrò da ρ₀ a ρ _p0T0

1/ρ _ρ/ρ0 dρ

▼">'(x/o) p ² d|d_ei

ln (r/p_o)

10. Tensione in un Fluido in Movimento:

Nei fluidi in quiete _σt = _{t t} con _t sempre ortogonale alla superficie. Nei fluidi in movimento la direzione di _t non è generalmente ortogonale perchè si manifestano delle tensioni tangenziali alla superficie.

Prendiamo in considerazione due piastre parallele poste ad una distanza _d tra cui è presente un fluido di densitá costante _ρ. La piastra inferiore è ferma e quella superiore si muove con una velocitá _U0.

Inserendo il sistema di riferimento x,y,z si nota che la velocità ha componente solo nella direzione x, vale 0 in y=0 e vale U₀ in y=d, varia linearmente con d.

u = U_{0 y}/d

Per mantenere la piastra superiore in movimento con velocitá U₀ è necessario applicare una forza in direzione x₁, che diviso per la superficie della pistra dá un valore che indichiamo con τ.

Risulta evidente che τ _x= -τ _x tensione esercitata dal fluido sulla superficie forza per unitá di area che la parete esercita sul fluido in direzione _x.

Sperimentalmente si dimostra che:

• Varo U₀ → scopro che τ ∝ U₀ → τ ∝ U₀
• Varo d a scopro che τ ∝ 1/d → τ ∝ U₀/d

La costante di proporzionalitá dipende dal fluido ed è chiamata viscositá dinamica μ.

τ = μU₀/d e vale per i fluidi Newtoniani

[μ] = [τ][d] / [U₀] , M L^-1 T^-1

u.d.m. P.d.s. → _Kg / _{m s}

si legge “centipois”

Spesso, al posto della viscositá dinamica, si utilizza la viscositá cineamatica, definita come:

ν := μ / ρ

[ν] = L² / T

acqua ν ≈ 10^-6 m² /s oppure ν ≈ 4.5 • 10 ^-5 m² /s²

In generale: τ = μ_du/_dy →Legame costitutivo nel nostro caso in esame

_du/_dy = _v0 / _d0