Appunti di Geometria differenziale

X

f := η (x)g(x) + η (x)g(x )

0 i i

i=1 □

k

→

3.1.1 Vale anche per g : X

Corollario R

4. Riassunto

I concetti da ricordare sono

• Partizioni dell’unità: possiamo, in modo liscio, coprire la no-

stra varietà ”a pezzi”. 2k

• Immersione di Whitney: ogni varietà si immerge in R

• Ogni mappa continua a valori in si approssima a piacere con

R

una funzione liscia. CAPITOLO 5

Transversalità ed intorni tubolari

1. Transversalità

1.1

Definizione (Transversalità)

≤ →

Siano X e Z Y varietà e f : X Y liscia.

−1

∀x ∈

f transversa a Z (f Z) se f (Z) vale

⋔ Im df + T Z = T Y

p f (p) f (p)

≤

In particolare se X Y allora X Z se T X + T Z = T Y (f = ι)

⋔ x x x

1.1

Teorema (Di transversalità)

−

Sia f Z e sia q := dim X + dim Z dim Y

⋔ −1 ≥

Allora f (Z) è una svl di dimensione q se q 0, mentre è l’insieme

vuoto per q < 0 −1 −1

In particolare, se X con bordo allora f (Z) è una svl con bordo (∂f ) (Z) =

−1 ∩

f (Z) ∂X −1

∈

Sia q < 0 e x f (Z), allora

Dimostrazione.

≤

dim(Im df + T Z) dim X + dim Z < dim Y contraddicendo f Z

⋔

x x −1

≥ ∈

Sia quindi q 0 e sia x f (Z) e consideriamo coordinate ϕ tali

dim Z

{0} ×

che, localmente, Z ha coordinate : poniamo g := πϕ con

R

π(u , . . . , u ) = (u , . . . , u )

1 dim Y 1 codim Z

−1

Abbiamo quindi Z localmente è g (0) e dg = πdϕ e quindi g som-

z z

mersione e T Z = Ker dg

z z

In particolare quindi 0 valore regolare per gf se e solo se d(gf ) suriet-

x

−1 −1

∈

tiva per tutti gli x gf (0) = f (Z) (localmente)

Ma ciò accade se e solo se Im df + T Z = T Y per le proprietà di g:

x z z

−1

traducendo, si ha che se f Z =⇒ f (Z) è una varietà.

⋔ gf g

f π

dim Y codim Z

X Y R R

ϕ

df dϕ π

x z dim Y codim Z

T X T Y R R

x z dg z

d(gf )

x □

27

1. TRANSVERSALITÀ 28

−1 −1

∩

1.1.1 Se f Z, allora T f (Z) = (df ) (T Z)

Corollario x x f (x)

−1

Sia g come nella dimostrazione, allora f (Z) =

Dimostrazione.

−1 −1 {v ∈

(gf ) (0) e quindi T f Z = Ker dg df = : df (v) T Z} □

x x x

f (x) f (x)

∩ ∩

1.1.2 X Z =⇒ T (X Z) = T X T Z

⋔

Corollario x x x

1.2

Teorema (Transversalità parametrica)

≤ × →

Siamo X, S, Y, Z varietà tale che Z Y e F : X S Y Z

⋔

Allora, posto f := F (·, s) Z per q.o. s

⋔

s

Dimostrazione.

−1 × × →

W := F (Z) è una svl di X S e sia π : X S S

−1

∈ (Z) e z = f (x)

Siano s regolare per π| , x f s

s

W ×

(1) per transversalità T Y = T Z + dF (T X T S)

z z x s

(x,s)

(2) per regolarità T S = π(T W )

s (x,s)

−1

(3) T W = dF (T Z) e quindi T Z = dF (T W )

z z x,s x,s

(x,s) x,s

∈

Sia w T Y

z

• ∈ ∈ ∈

per (1) esistono v T Z, u T X, h T S tale che w =

1 z 1 x 1 s

v + dF (u , h )

1 x,s 1 1

• ∈ ∈

per (2) esistono u T X, h T S tale che π(u , h ) = h e

2 x 2 s 2 2 1

quindi h = h

2 1

• −

per linearità dF (u , h ) = dF (u , h ) + dF (u u , 0)

x,s 1 1 x,s 2 1 x,s 1 2

• ∈

dF (u , h ) = dF (u , h ) T Z

x,s 2 1 x,s 2 2 z

• − −

dF (u u , 0) = df (u u )

x,s 1 2 s 1 2

Ricapitolando T Z

z

z }| { −

w = v + dF (u , h ) = v + dF (u , h ) +df (u u )

1 x,s 1 1 1 x,s 2 2 s 1 2

Per Sard s regolare per q.o. s □

1.3

Teorema (Transversalità composta)

f g

X Y Z

≤

t.c. g W Z

⋔ −1 ⇐⇒

Allora f g (W ) gf W

⋔ ⋔

2. INTORNI TUBOLARI 29

Dimostrazione. −1 −1

⇐⇒

f g (W ) df T X + T g (W ) = T Y

⋔ x x y y

⇐⇒

gf W d(gf ) T X + T W = dg (df T X) + T W = T Z

⋔ x x z y x x z z

⇐⇒

g W dg T Y + T W = T Z

⋔ y y z z

−1 −1

(dg ) T W = T g (W )

y z y

−1

Sia f g (W ), alla luce di quanto appena visto

⋔ −1

dg (df T X + T g (W )) = dg (T Y ) + T W = T Z

y x x y y y z z

∈ ∈ ∈

Viceversa sia gf W : allora, fissato w T Y , esistono v T X, u

⋔ y x

T W t.c. dg (w) = dg (df (v)) + u e quindi

z y y x −1 −1

− ∈ − ∈

dg (w df (v)) T W =⇒ w df (v) (dg ) T W = T g (W )

y x z x y z y −1

∈

=⇒ w df T X + T g (W )

x x y □

2. Intorni tubolari

2.1

Definizione (Intorno tubolare)

k k

→ →

Sia X immerso in e consideriamo la mappa E : N X , (x, v)

R R

x + v

Notiamo che, fissato x, E genera lo spazio affine passante per x ed

ortogonale a T X

x

Un intorno U di X è detto intorno tubolare se

∃V {(x, ∈ |v| → ∞

:= v) N X : < δ(x) per qualche δ : X (0, ) continua}

→

tale che E : V U diffeomorfismo.

2.1

Teorema (Esistenza intorno tubolare)

Ogni varietà ammette intorno tubolare.

La dimostrazione è cosı̀ composta:

Dimostrazione.

(1) Dimostrazione dell’esistenza di un intorno di N M sul quale E

diffeomorfismo locale.

(2) Costruzione di una funzione continua ρ adeguata che svolgerà

il ruolo della δ nella definizione vista sopra.

(3) Costruzione di un intorno sul quale E diffeomorfismo globale.

{(x, ∈

Sia X := 0) N X} e notiamo che

0 2. INTORNI TUBOLARI 30

∼

• →

E : X X diffeomorfismo e quindi T X T X attraver-

=

0 0 x

(x,0)

so dE ristretta.

x,0 ∼

n

• →

Fissato x, E : N X mappa affine e quindi T N X =

R

x x

(x,0)

N X attraverso dE ristretta.

x x,0

n

• = T X + N X e quindi dE isomorfismo.

R x x x,0

Fissato x, per il teorema della funzione inversa esiste un intorno

{(y, ∈ |x − |v|

V (x) := v) N X : y| < δ, < δ}

δ →

aperto tale che E : V (x) E(V (x)) diffeomorfismo.

δ δ

Sia ora ≤ →

ρ(x) := sup{0 < δ 1 : E : V (x) E(V )(x) diffeomorfismo}

δ δ

∈

Mostriamone ora la continuità: fissiamo x, y X

• |x − − |x −

se y| < ρ(x) allora, posto δ := ρ(x) y|, ho

|z − |z − |z − |x − |x −

y| < δ =⇒ x| < y| + y| < δ + y| = ρ(x)

⊆ ≥ − ≤

e quindi V (y) V (x), ovvero ρ(y) δ e quindi ρ(x) ρ(y)

δ ρ

|x − y|

• |x − ≥ − ≤ |x −

sia y| ρ(x) allora ρ(x) ρ(y) y| banale.

− ≤ |x − |ρ(x) − ≤ |x −

Per simmetria ρ(y) ρ(x) y|, e quindi ρ(y)| y|

∈ ∃δ ∈

Fissiamo (z, v), (y, w) V (x), allora t.c. (z, v), (y, w) V (x) e

δ

ρ(x)

̸

quindi E(z, v) = E(y, w) essendo diffeomorfismo: in particolare si ha

E iniettiva su V (x)

ρ(x)

{(x, ∈ |v| ∈

Sia V := v) N X : < ρ(x)/2} e siano (z, v), (y, w) V t.c.

E(z, v) = E(y, w) e, senza perdere di generalità, ρ(y) < ρ(z), allora

|x − |v − ≤ |v| |w| ≤ ≤

z| = w| + ρ(y)/2 + ρ(z)/2 ρ(z)

e quindi entrambe le coppie appartengono a V (z), insieme sul quale

ρ(z)

E iniettiva e quindi (z, v) = (y, w)

Ora, E diffeomorfismo locale e perciò mappa aperta, indi per cui U :=

k →

E(V ) aperto di . Ne segue che E : V U biettiva e diffeomorfismo

R

locale e quindi diffeomorfismo. (1.5, capitolo 2) □

→

2.1.1 Se U tubolare di X esiste r : U X liscia che

Corollario

è sia retrazione che sommersione.

{(x, ∈

Sia X := 0) N X} e V intorno di X t.c.

Dimostrazione. 0 0

E

∼ →

V U , il quale esiste per definizione di tubolare. Sia π : N X X la

= −1 →

proiezione standard e sia r := πE : U X □

2.1.2 Se X compatta, allora ammette intorno tubolare

Corollario

∈

con δ(x) =: δ R Sia δ := min δ(x) □

Dimostrazione. k

→ ⊆

2.1.3 Sia f : X Y liscia con Y senza bordo.

Corollario R

k × →

Allora esistono S palla aperta di e F : X S Y liscia tale che

R

• ·)

F (·, 0) = f e F (x, sommersione

2. INTORNI TUBOLARI 31

• F, ∂F sommersioni

Sia S la palla unitaria e U tubolare di Y di

Dimostrazione.

parametro δ(y) e poniamo F (x, s) := π(f (x) + δ(f (x))s) □

2.2

Definizione (Omotopia)

→ × →

f, g : X Y omotope se esiste H : X [0, 1] Y liscia tale che

H(·, 0) = f, H(·, 1) = g

Risulta essere una relazione d’equivalenza.

2.1.4

Corollario (Omotopia funzioni vicine)

||f −

Siano g|| < δ e Y senza bordo avente intorno tubolare di ampiezza

almeno δ, allora f, g omotope. −g)+g, ||t(f −g)+g|| ≤

Sia H(t, x) := t(f allora

Dimostrazione.

δ+g e quindi H ha codominio nell’intorno tubolare. Se r è la retrazione

dal tubolare a Y , allora rH è l’omotopia cercata. □

2.1.5

Corollario (Omotopia con transversa)

→ ∀Z ≤

Sia f : X Y liscia con Y senza bordo, allora Y senza bordo

esiste g Z, ∂g Z t.c. g ed f omotope.

⋔ ⋔ Sia F come nel corollario antecedente la quale,

Dimostrazione.

essendo sommersione, è Z

⋔

Per il lemma di transversalità parametrica esiste g := f t.c. g, ∂g Z

⋔

s

e g omotopa ad f tramite H(x, t) := F (x, ts) □

k k

→ ≤

2.1.6 Sia f : X e Z

Corollario R R

k

∈

Allora, fissato v , f (x) = f (x) + v Z per q.o. v

⋔

R v k k

× → →

Sia F : X , (x, v) f (x) + v Questa

Dimostrazione. R R

è una sommersione e quindi Z

⋔

Per il lemma di transversalità parametrica segue la tesi. □

2.1.7

Corollario (Lemma di posizione generale)

X + v Y per q.o. v

⋔ f = ι □

Dimostrazione.

2.2

Lemma (Vicinanza ed omotopia)

→ →

Siano f : X Y, g : X Y con Y senza bordo con intorno tubolare

controllato da δ(x)

|f −

Se g| < δ allora sono omotope. −

Sia H(t, x) = t(f (x) g(x)) + g(x) e notiamo

Dimostrazione.

|H(t,