Appunti di Fondamenti di ricerca operativa

N

B = =

=

= , ,

(13)/ 5

Ab

-B =

=

= bisogna altem

= gave

=

Eg In

F2 =

=E,

quindi abbiamo quale

S sia

cione

o

=

= a

, di

infici

gli

no

base la

scrivere

neu

soluzione .

BASE

SOLUZIONE AMMISSIBILE

DI

Sia Ab

=

F di

soluzione base

una .

= 0m m

- di

è

se alleva ammissibile

base

soluzione SBA

2 o .

, della base

delle di è

è

Una componenti mulla

degenere almeno

sba se una .

B

degenere componenti

la esattamente degenere

Una la

esservazione ,

non sia

nulle una

m-m

sba

: Li

s i componenti nulle maggiore n-m

un numero .

fuovato

Negli Que

esempi di base

mima soluzioni

avevamo :

= O

f

degeneue = degenere

F SBA SBA

=

= mon

S

O

g

Le d i

di PL e

massimo

in Finito Il

problema in

Sba SBA

n u m e ro

sono

un :

n u m e ro

.

!

M m

= Si

(m m) di combinazioni semplici

!

!

m numero n

m - Si

elementi, guunpi m

a

del

ventusi

i poliebua

le

> SBA sono

ESEMPIO diverse

Proviamo basi

prendere

a : =o

Abb

29

Bej1 (3)

1 N

, = =

101 1

Ab Nove

EB - E SBA

= =

= = = 2

012 t

=- =

3)

2 As

21 (2)

N

B =

=

,

= =

2

!

ab

= x = sa

=

= =

=

=

B (

3) -f)

Vi

22 As

3 B = =

, =

(() (1) = )

Ab

Fb =

= Sa

=

=

= =

TEOREMA COINCIDENZA PUNTI VERTIC

ESTREMI SBA

,

, di

dai

descritto di

poliebuo nincoli

consideriamo in stambard

PL

problema Jouma

il .

un

x OS

PEXERM: At AERmem ber

,

,

Ricordiamo alue :

** x

P

e di Esiste di

veutrice incupiamo

1 P

supporto # in

solo

neu

un un Herm.exexy

E germ : * etX , ep

* P 5x 1)

di (0

punto 2)y

=P

estremo

e = 1

=

2 xx

x +

un : = -

,

,

,

my

FBIf

* Abb ,

,

detlabio

di

e

3x /Bl

p

sba o

: m

una = , ,

....,

.

Queste equivalenti

nuomietà sono

DIMOSTRAGIONE 1 2

= BERM *

* Allora ex

P Six

sia XxEP

di

ventrise

Supponiamo clue esiste

x un : ,

.

*

1)

delo /1-2/8

Supponiamo Allowa

yep

due +

e Xy

x ,

, , .

*

ex a)

(ay 87xcx ex*

ex

C + (1 + 1

x(8) 2)

m +

+ xe assurdo

+

y

= = =

-

= - *

* Dunque

delo

Quindi P

11-1/8 di

FyzeP 11 estuemo

punto .

X e

e

: + un

y

,

,

2 3

DIMOSTRAZIONE = dimostruiamo

si dimostratione 3

cisé

contrappositione due

fa 2 >

una per non

non =

, * 300

* =Gi

di P Allava

due

supponiamo scelto veroi

i

sia :

SBA comma

X non ,

una ,

.

devamo dipendi /altuimenti I

comispondenti limeaumente completare

si notwebbe

esseue neu

* SBA)

quindi

B

base Allora

sarebbe

x

goumave e

una una .

Iberm 01 Ab

tale

defo

=de Albi

due 0

com = =

, , #

Xi

xt-ed ***

yizep

la

Scegliende si

neue-min

26

+

- yi

y +

e e

X

=

= , ,

defo'di

igl ,

* Quindi *

2/8 di P

e punto .

estremo

1

x +

Cy x un

nom

= - . =1

DIMOSTRAZIONE 3 * P tuovave

que

mostriamo

di base clue

rispetto B

supponiamo sia SBA

due alla

X e

una si

H=fxERM *

incupiamo eset

tale

di

e ,

supporte neup ep

: ave n d

un x = ,

È cu

quembene 1

en

se

sufficiente e

co

com ...,

,

ExeP

Infatti

, exo Exp

xz0 E

, ,

***, *,

* O

Impetwe ( SX

X CBXB CNXV 0

=

= =

*

P

Quindi ex)

x X >

=

& 0

x =

, X* P

.

cost

Abbiamo di

Limestrato è

due veutrice

un

PL

FONDAMENTALE DELLA

TEOREMA

li) l'insieme vusto

è esiste almeno

ammissibile solo SBA

se se

non e una .

lesiste veufeirer

um

di limitare di

delle

neumette delle

soluzioni

la alla

viceura

>i SBA

viceuca

roblema

un

- .

fiil è

esiste esiste almeno due

soluzione altrima solutione dima

una

solo

una e se

se

vertice

(almeno fidiamo di

di problema

qualsiasi

soluzione

in la

SBA

andue un

.

fimizatione)

d di da

lua

Un ammissibile

PL insieme sostituito infiniti

problema in

Osservazione genere

: , un

,

teaema fondamentale di

luntei di

la ingriantimento

il della consente lente

PL mettere su un

; ai

di coisnombentei della

ventici

finito punti alle

quelli

, regione

SBA ave vo

n u m e ro ,

ammissibile

.

Peu dimostrazione

la i

amalizziamo

gave solo

, e

se sei

banale l'insieme

la esiste ammissibile

Nee è almeno

Que sba

paute

mimo

· una

,

casa se ,

b lue

vuoto nell'insieme

è esiste qualsiasi

banale

quella è solucione

non

non se una

,

ammissibile, deve

questa SBA

uma

essere .

secondo è è

banale

Nel andle

due soluvione SBA

esiste offrma clue

· una

se

,

caso ,

duiamente fima

esiste soluzione

una .

DIMOSTRAZIONE telema

michiamo del completamento

sue Azfan and Rm

RM

consideri lo

si in

euclideo insieme di vetoui

sia

spacio e un

, ...

Bab by

indipendenti Rm

di Allora

base

limeaumente esistemo

Kim Sia n-k

com una

, ...,

, . .

in

fa

tali

B di

l'insieme bil

due . sostituisce

bi bin

vertoni base

an

, una

...,

, ,

...

Rm /i) esiste

insieme wotd-

assencione ammissibile SBA

: non

RmxM di linecumente

matuire indipendente

è

instesi side soltmatuise

vango m mxm

: , .

) b ,

I ammissibile A

(i

punte side

Sia 4

e

un =

, .

. ... ,

di I

le di X

maggiori F

componenti

consideriamo stuettamente Po

e seus

p di

le An

consideriamo maggiori

colignombenti Ap

variabili A

alle teus

solomme : , ...

,

i

Distringuiamo casi

e :

1 Ap

le indipendenti

An lineaumente

Az,

colamme sond

, ...,

2 lineaumente dipendenti

Ap

le Ar Az

colonne sono

, ...,

,

1

Caso p m

= Amo Ano

Ant b

Azz Amm assia

+ ... ... =

di

definizione

ABBAvOm-m b degenere

soluzione

SBA con non

=

1bp-m teduema completamento

il intesi

del

utilizziamo poidlue esistema

due

sappiamo neu

twoave

indipendenti

lineaumente quindi mode

in

colonne

possiamo

colonne m-p

m

tale indipendenti

An ,

Ap limeaumente

due cide

siamo

Az, Ain tim-p foumino

, , ...

, ..., ,

AB

mature di base

una : punto

ritualiamo

Essembe As assia

la

singolave nel

si

non come , degenere

caso sicuramente

ABB questo

AvOm-m è sa neuslué

in

b

+ ma una :

= ,

AnE1 b

App AirO Aim-pO AvOn-m

Aiz0 +

+

+... + + +... + = Li

i

la coefficiente

vediamo base X

quando completivame colonne

lue com m-p ,

tutti è degenere

uguali quindi

, forza

teuo neu

sono a sba

una .

2

Caso dipendenti

delle

idea lineaumente

le

XPLO luanno couispettive significa

abbiamo cue ,

colonne

se

: l'idea

di ti

delle di

linea è

Que quindi

combinazioni alture eliminare

alcune sono

esse ,

fiowave

quindi variabile alter

colomma S punter

qualdue

quaeseve invece

blue

e un

fulte precedente

rindutiamo

limeaumente indipendenti

mesenta le al

si

colomme casa

e .

Quindi, di di necessaus

è alcone limeaume

perevé

il colonne maggiore quello , sono

n u m e ro tutte indipendenti

limeaumente

Dipendenti

me e

eliminaume aveule

alcune

vogliamo neu

,

micondurci al 1

.

cas a verificato

Da è possibile

I due A e

ammissibile

punto b ,

assia 20 n u ova

generare un

un = ,

,

I presenta

pu

la componenti ad

ammissibile due al

punto blue veroi

p-1 20 mon

,

dipendenti

lineaumente . ba

b

Az limeaumente

Ap Sp

A1 dipendenti

se esistono

abbiamo scalavi mulli

p mon

,

,

, ...,

, ...,

tali Azz

Alba App

clue ... 0

=

Sia 01

b b

= Op

Om-p Abo

neu sostruzione . ~

manga X0

dobbiamo

X &b ammissibile A b

si dide

assicurame sia

due

+ X .

=

,

= ,

, neuclue

Essenviamo Ab

clue 0

o

: =

= Vg

b

Ak &Ab

A +

= = d mode

X ammissibile Ab

neuwe scelto due

in

eva e aveva m o 0

.

=

in mober blue

s

scegliere

Occorre :

a) =0

b) Y a

Mi

componente in rispetto

abbia almeno nulla

una

& Vdiso

Fitebizo

le condicioni

imponiamo componente componente :

neu Flico

Fi-2/dilz0

cidé : · Vito di

il garante rapporti

pi

wendeue queste

basta

-

· Abito di

basta mi mappati

pembene piccolo

il questi

-

diso] e di

=mint

maxte.

Poniamo de =

Osservazione : diso

/ee esiste

Seco se

-do mon

=

(eu dito

Enzo esiste

to se non

= illimitati

Possono entrambi

essere dif0

No penclué mindue

! di

sarà

quindi

almeno maggiore o

e teus