Appunti di Fondamenti di automatica sulle reti correttrici

Appunti di Fondamenti di automatica per l'esame della professoressa Dotoli, fondamentali per seguire le lezioni di Mascolo, opportunamente appuntati, evidenziati ed integrati al fine di …

Esame Fondamenti di automatica

Facoltà Ingegneria i

Dal corso del Prof. Mascolo Saverio

Università Politecnico di Bari

Publisher Daniele8283

A.A. 2023-2024

48 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

CG

Si ha quindi una pulsazione di crossover del guadagno ω -1

=3.08 rad·s .

CG

Il margine di fase vale quindi:   

          

M G( j ) arctg 0.31 rad (18 ) .

F CG CG

2 Bode Diagram

Gm = Inf, Pm = 17.964 deg (at 3.0842 rad/sec)

(dB)

Magnitude 0

-20

-40

-90

(deg) -135

Phase -180 -1 0 1

10 10 10

Frequency (rad/sec)

Ciò conferma che il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile, essendo il

margine di fase positivo. Tuttavia il margine di stabilità non è particolarmente

elevato.

Calcoliamo anche la larghezza di banda. La banda passante del sistema B=ω indica

la pulsazione ω alla quale risulta:

f | G ( j0) |

     

| G ( j ) | | G ( j ) | | G ( j0) | 3dB .

0 f 0 f dB 0 dB

Mariagrazia Dotoli. L’autore garantisce il permesso

presente materiale per i soggetti privati, alla condizione che la fonte originale e l’autore siano esplicitamente

riconosciuti e citati. 28

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In questo caso si ha: 10

 

G ( j ) ,

0 2

   

j 10

quindi  .

| G (0) | 1

Dunque deve essere:

10 1 4 2 4 2

             .

19 100 200 19 100 0

  2 2

2 2

   

Ponendo ω 2 =t e risolvendo per t si ha:

 

19 361 400  

2 -1

          

t 19t 100 0 t 23.29 23.29 4.83 rad s .

 

2 o f=B/(2π)=0.77

-1

Si ha quindi una banda B=4.83 rad·s Hz.

Consideriamo ora la seconda specifica. Come anticipato, si ha:

3 3

   s

t 6

s5%  0.5

che non verifica la specifica imposta sulla rapidità. La situazione è analoga quando il

guadagno è di valore maggiore. In effetti si osserva che al variare del guadagno K,

quando i poli in anello chiuso sono complessi e coniugati, non varia la loro parte

reale, che resta fissa a 0.5, come si verifica dal luogo delle radici, dunque il tempo di

assestamento al 5% è sempre pari a 6 secondi.

Scegliamo dunque di mantenere il valore minimo del guadagno K=10 fissato con la

specifica sulla precisione e introduciamo sul ramo diretto una rete anticipatrice con

uno zero che cancelli il polo in -1 in anello aperto del plant (ovvero poniamo nella

τ=1). Posizioniamo

rete poi il polo della rete sufficientemente lontano nel semipiano

sinistro (in modo che la rete correttrice sia appunto una anticipatrice):

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

1 s

 , 0<α<1.

G (s)

A  

1 s

Osserviamo che in questo caso si è scelta una rete anticipatrice con guadagno statico

unitario, in modo da non modificare la specifica imposta sulla precisione. Inoltre,

avendo posizionato lo zero dell’anticipatrice in 1/τ=1, perché la rete sia

un’anticipatrice il suo polo, che vale -1/ατ=-1/α ed è a fase minima, deve avere un

costante di tempo inferiore a τ=1.

l’introduzione della rete anticipatrice la funzione di trasferimento in anello

Con

aperto vale: 

10 1 s 10

  

G (s)G(s) .

A     

s(1 s) 1 s s(1 s)

Ne consegue che la funzione di trasferimento in anello chiuso diventa:



 

G (s)

0 2 1 10

   2  

s s 10 s s

 

ed è dunque scritta nella forma di riferimento dei sistemi del secondo ordine, con



 10

10  

  

 n



n 

 

  .

  1

1 

 

 

n 



  2 10

Quindi il tempo di assestamento del sistema in anello chiuso vale

3 3

   

t 6 .

s5%  1

n 

Imponiamo dunque    ,

t 6 3

s5%

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da cui si ottiene   .

0.5

A questo risultato si poteva giungere anche semplicemente osservando che l’effetto

complessivo della regolazione con l’anticipatrice è quello di spostare il polo negativo

in anello aperto a sinistra della sua posizione iniziale. I rami del luogo delle radici si

spostano così verso il polo in anello aperto introdotto dalla rete anticipatrice, con un

vantaggio in termini di prontezza di risposta. Inoltre la forma del luogo è invariata,

poiché, a causa della cancellazione, in anello aperto le singolarità realmente efficaci

–1/α dell’anticipatrice e il polo nell’origine del plant. In effetti la

sono il polo in –1/α

posizione del polo determina anche la posizione dei poli complessi e coniugati

in anello chiuso che, come è noto, si trovano per simmetria sulla retta s=-1/(2α), ossia

hanno parte reale -1/(2α).

La specifica sul tempo di assestamento diventa così

   

t 6 3 ,

s5% 1



da cui si ottiene nuovamente   .

0.5

α=0.5, distanza dall’asse

Scegliamo allora il valore massimo ossia la minima

immaginario del polo posto nel semipiano sinistro (s=-1/α=-2) che consente la

compensazione. La rete compensatrice scelta è dunque



1 s



G (s) ,

A 

1 0.5s

quindi la funzione di trasferimento di anello diventa:

 



1 s 10 10

  

G (s)G(s)    

A   

1 0.5s s 1 s s 1 0.5s

ed è evidente la cancellazione polo-zero.

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Il sistema con il regolatore è ancora di tipo 1 e la precisione è invariata, poiché la rete

anticipatrice utilizzata ha guadagno statico unitario. Infatti si ha:

  

K lim sG (s)G(s) lim 10

V A 

  (0.5s 1)

s 0 s 0

ed in definitiva 

e 0.1

V

che verifica la specifica sulla precisione.

Il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile, infatti si ha

10 20

 

G (s)

0 2 2

   

0.5s s 10 s 2s 20

con poli complessi e coniugati in

     .

p 1 1 20 -1 j 4.4

1/ 2

Il tempo di assestamento al 5% vale quindi:

3 3

   s

t 3

s5%  1

che verifica la specifica imposta sulla rapidità. In effetti il sistema in anello aperto,

per via delle rete anticipatrice è il seguente:



1 s K K 2K K'

    

G (s)G(s) .

       

A     

1 0.5s s s 1 s 1 0.5s s s 2 s s 2

Il nuovo luogo delle radici è quello nella figura successiva.

forma del luogo è invariata, ma è evidente l’effetto complessivo della regolazione,

che provoca lo spostamento dei rami del luogo delle radici verso il polo della

anticipatrice, con un vantaggio in termini di prontezza di risposta.

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Root Locus

0.8

0.6

0.4

0.2

Axis 0

Imag -0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

Real Axis

Valutiamo ora l’effetto della compensazione sul margine di fase. Si ha:

20 20

   

G ( j )G( j ) ,

A    2

  

j ( j 2) 2 j

da cui 20 4 2

         .

| G G( j ) | 1 4 400 0

A 4 2

  

Ponendo ω 2 =t e risolvendo per t si ha:  

2 -1

            .

t 4t 400 0 t 2 4 400 18.1 18.1 4.25 rad s

 

CG

Si ha quindi una pulsazione di crossover del guadagno ω -1

=4.25 rad·s , superiore

CG

rispetto a quella ottenuta con il sistema non compensato.

Il margine di fase vale quindi:   

          

M G G( j ) arctg 0.5 0.44 rad (25.2 ) .

F A CG CG

Ciò conferma che il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile, essendo il

margine di fase positivo. Inoltre il margine di fase è aumentato di 7° rispetto alla

situazione iniziale, migliorando la stabilità relativa del sistema. Questa può

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evidentemente essere ulteriormente incrementata diminuendo il valore di a, ossia

spostando più a sinistra nel semipiano di Gauss il polo della rete anticipatrice.

Bode Diagram

Gm = Inf, Pm = 25.18 deg (at 4.2541 rad/sec)

(dB)

Magnitude 0

-20

-40

-90

(deg) -135

Phase -180 -1 0 1

10 10 10

Frequency (rad/sec)

Calcoliamo anche la nuova larghezza di banda. In questo caso si ha:

 

G ( j ) ,

0 2

   

2 j 20

quindi  .

| G (0) | 1

Dunque deve essere:

20 1 4 2 4 2

             .

36 400 800 36 400 0

  2 2

2 2

   

20 4

Ponendo &omeg

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