Appunti di Fisica sperimentale - parte 2

A si chiama ampiezza e φ si chiama fase

Immaginiamo di avere un moto in cui si fa partire la molla dopo averla

portata ad una certa estensione.

A: ampiezza

φ: fase

t₀: t=0 posizione e: t=0

t₀: x(t₀)=0 velocità a t=0

x(t₀)=A sin(ωt₀+φ)=x=⊤=0 ➔ φ=A sin=0

x(t₀)=A cos=0 (⊤⊤)=0 x(t₀)=0

x(t)=A cos ωt (A cos)=x(t+

t=²

Se vogliamo avere un periodo dobbiamo avere che ω(t₀+T) + φ❽

ωt + φ + =ωt + φ + 2n

ωt + ωT =ωt + 2n

T = 2π

ω

ω

ω

ωsi chi chiama pulsazione ed è legata al periodo

Supponiamo di avere un punto su una circonferenza, la posizione iniziale dell’angolo è φ e il corpo

ruota con una velocità angolare

ω

α(t) =(ω + φ)

se guardiamo le sue proiezioni sull’orizzontale e la verticale

se (P=0=) A

le proiezioni descrivono due moti armonici equivalenti ma sfasati.

Immaginiamo che il sistema sia immerso nell'acqua, si parla di smorzamento viscoso, l'acqua ferma...

_t

La soluzione è analoga alla precedente, oscillatoria, ma presenta un termine di smorzamento esponenziale.

capire bene che dice tante cose

Introduciamo la funzione V(x) la cui derivata prima cambiata di segno ci dà la forza. La funzione è ¹/₂ kx² e definita come energia potenziale elastica della molla, questa grandezza è definita a meno di una costante

V(x) dU(x)/dx = -F(x) quindi: V(x): ¹/₂ kx² + U(0)

poniamo arbitrariamente V(o)=0 quindi V(x): ¹/₂ kx²

• Oscillatore armonico e oscillatore armonico smorzato
• x(t): A cos (ω₃ t + φ)
• ω₃² = ω₀
• x(t): A cos (ω₃ t + φ) e^μ₁t
• x₁: μ x˙ = ω₀
• ω₃: ω₁ = ω₁t^t
• x(t)
• Identico = non c'è dissipazione.
• REALE → non si conserva l'energia meccanica che si trasforma, c'è dissipazione
• la differenza sta nel termine x˙ che è il termine non ideale opposto alle velocità, è l'attrito viscoso

Lavoro ed Energia

L'energia è la capacità di fare un lavoro. Il lavoro NON è forza x spostamento!

Il lavoro è misurabile e si collega all'energia cinetica e meccanica. Più propriamente il lavoro è legato alla variazione di energia cinetica e meccanica.

Caso Particolare:

Un corpo è soggetto ad una forza costante e lo spostamento è rettilineo e parallelo alla forza.

In questo caso il lavoro è il prodotto tra la forza applicata per lo spostamento del corpo.

Il lavoro può essere positivo in questo caso, mentre se la forza fosse parallela allo spostamento ma avesse verso opposto risulterebbe negativo. Il lavoro è diverso nelle due situazioni.

Il lavoro è uno scalare (un numero) ma nasce da due vettori, è uno scalare con segno.

• \( \vec{S} = (\vec{y}_f - \vec{y}_0) \)

in questo caso positivo

• \( \vec{F} = mg\vec{j} \)

costante

\( \vec{L}(\vec{P}, \vec{S}) = mg(\vec{y}_0-\vec{y}_f) = -mgH \) La forza peso fa un lavoro negativo (antiparallela a \( \vec{S} \))

\( \vec{L}(\vec{F}, \vec{S}) = mg(\vec{y}_f-\vec{y}_0) = +mgH \) La forza \( \vec{F} \) fa un lavoro positivo

L: \( \vec{F} \cdot \vec{S} = [\mathrm{N}][\mathrm{m}] = \mathrm{J} \) (Joule)

Se la forza \( |\vec{F}| \) è maggiore della \( |\vec{P}| \) allora la forza risultante accelera il corpo che arriva

in cima con una velocità non nulla.

Vediamo il caso in cui la forza peso è bilanciata dalla forza vincolare, per mettere in moto

l'oggetto serve una forza minima, il lavoro è uguale a zero perché la forza peso è perpendicolare

allo spostamento.

Una buona definizione di lavoro è il prodotto scalare tra \( \vec{F} \) e \( \Delta \vec{S} \) con \( \vec{F} \) costante

• \( \theta = 0: \quad L = F \cdot S \)
• \( \theta = 90: \quad L = 0 \)
• \( \theta \neq 0: \quad L = F \cdot S \)
• \( \theta \) generico: \( L = F \cdot S \cdot \cos \theta \)

Consideriamo la rappresentazione cartesiana nel caso unidimensionale:

F costante

L: \( \int_{x_i}^{x_f} F \cdot \Delta x = F \cdot \Delta x = F \cdot (x_f - x_i) \) questo può essere scritto come l'integrale tra:

L: \( \int_{x_i}^{x_f} F(x) \cdot dx = \int_{x_i}^{x_f} dL = F(x)|_{x_i}^{x_f} \)

Riprendiamo il caso di una caduta di un oggetto con moto uniformemente accelerato

F_m = m·a_j

m·g_j = m·g_j

y = gẏ = -gẏ(t;) = -^gt2⁄₂ + y₀

y(t) = ^gt2⁄₂ + y₀

v = g·ty ₁v = √2·g·h

L'energia cinetica inizialmente è zero perchè il corpo è fermo , la forza peso inizia a fare lavoro quindi il corpo inizia a cadere perchè la forza fa lavoro = se vuole dire variazione dell'energia cinetica

Quando il corpo arriva in fondo il lavoro della forza peso che è mgh è diventato tutta energia cinetica

L = mgh = ¹⁄₂mv_f² => v_f² = 2g·h

Si trova la stessa soluzione che si trova facendo ???

L'effetto del lavoro è variare l'energia cinetica, se la forza fa lavoro positivo l'energia cinetica aumenta , se la forza fa lavoro resistente l'energia cinetica diminuisce.

Ad esempio un oggetto che si muove su un piano con una certa velocità iniziale dopo un po' si ferma perchè la forza d'attrito fa lavoro resistente diminuendo l'energia cinetica che diventa zero.

(G-O) = 1/M _TOT ∑_i=1^N m_i (P_i-O) e la coordinata del centro di massa, la sua derivata rispetto al tempo e la sua velocità

v̅_G = 1/M _TOT ∑_i=1^N m_i v̅_i e si considera che le masse rimangano costanti → -> 1/M _TOT ∑_i=1^N m_i a̅_i

Se facciamo la derivata seconda di t il dell'accelerazione a̅_G = 1/M _TOT ∑_i=1^N m_i a̅_i = 1/M _TOT ∑_i=1^N F̅_i

se sommiamo tutte le forze diventano a̅_G = P̅_ext/M _TOT = P̅_ext/M _TOT = P_ext/M _TOT

Se P_ext -> è formalmente uguale alla equazione di Newton e si dice la prima equazione cardinale del corpo rigido. Questa equazione si esprime per descrivere i movimenti di un qualsiasi punto; possiamo considerare tutte le masse del sistema e la sommatoria è zero se è soggetto alla risultante delle forze esterne allora l'accelerazione è data dalla somma delle forze diviso la massa totale.

La quantità di moto è P̅ = ∑_i=1^N m_i v̅_i e il centro di massa è (G-O) = 1/M _TOT ∑_i=1^N m_i (P_i-O)

Le velocità del centro di massa è v̅_G = a̅_G = 1/M _TOT ∑_i=1^N m_i v̅_i quindi P̅ = M _TOT v̅_G questa si dice che la somma delle forze esterne applicate ad un sistema è zero l'accelerazione del centro di massa è nulla e quindi le sue velocità è costante, quindi se le velocità del corpo è costante allora la quantità di moto si conserva.

GLI URTI

Negli urti si hanno forze che agiscono per breve tempo e con grande intensità; una schematizzazione che viene fatta è di avere davanti già il urti e si assume il isolato perché le forze che si sviluppano durante l'urto sono cosi intense da rendere trascurabili le altre forze, quindi la quantità di moto totale del sistema non cambia nella collisione.

Teorema dell'impulso:

una grande variazione della quantità di moto corrisponde ad una forza grande che ha agito assumendo di avere una forza che agisce durante l'urto che ha un andamento che non conosciamo, l'impulso verrà utilizzato per sommare gli effetti della forza nel tempo in cui ha agito.

F̅ (t_i) dt = dp̅ = d³t F̅ (t) dt = [M _TOT a̅_i dt = (a̅_i³ - a_i) = Δ P̅

F̅ (t_i)

Se immaginiamo di avere una forza F̅(t) prima dell'urto sarà zero, esse che entrano in contatto il corpo inizia a deformarsi fino a quando la pallina si ferma e poi torna indietro. La forza raggiunge un valore massimo che corrisponde alla massima deformazione.

Non è possibile conoscere l’andamento preciso della forza tra t_i e t_f ma è possibile calcolare una forza media ΔT: T_f- T_i

mi F̅_{media/sup> = ΔP / ΔT di F media ^{t Nd F ΔF / ΔT = Fmedia = ΔP}}