Appunti di Fisica (ottica onde)

B

M = ρ AL e applicando la seconda legge

0 0 Ricordando che il valor medio del seno al

di Newton si ha quadrato per un tempo di osservazione lun-

12

go rispetto al periodo, vale , si ottiene la

2

A∆p = (ρ AL )(−∆L/t )

0 0 potenza media trasferita:

Se l’impulso si muove a velocità costante v, 2 2

Av(∆p ) A(∆p )

m m

P = =

allora il tempo necessario ad attraversare 2B 2ρ v

0

l’intero elemento di fluido è t = L /v, da

0 L’intensità di un’onda acustia risulta essere

cui 2

−∆p P (∆p )

1 m

2 I = =

v = A 2ρv

ρ A∆L / (AL )

0 0

| {z } | {z }

∆V V É utile introdurre la scala logaritmica del

livello sonoro:

−∆p/(∆V

Ricordando che B = /V ) si ha, I

infine, L = log 10 I

s 0

B

v = −12 2

Dove I = 10 W/m è il valore di so-

ρ 0

0 glia tipico dell’orecchio umano. Per il li-

L’equazione appena ottenuta prende il no- vello sonoro si adotta come unità di mi-

me di equazione di Newton-Laplace e vale sura il bel(B), di cui largamente usato è

solo per i fluidi. sottomultiplo decidel(dB).

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3.6 Riflessione di onde acustiche 3 ONDE SONORE

3.6 Riflessione di onde acustiche nel tubo si instauri uno schema stazionario

di oscillazione longitudinale: il fenomeno è

Consideriamo un impuso viaggiante in un del tutto analogo a quello studiato nel caso

tubo con estremità chiusa (fig. 32). delle onde trasversali che si propagano lun-

go una corda tesa.

Nel tubo quindi, si osserverà una successione

di nodi e di ventri di pressione; a differen-

za di quanto accade nel caso della corda

tesa, però, nel tubo i nodi e i ventri non

Figura 32: Impuso viaggiante in un tubo con sono punti ma piani. La frequenza forzante

estremità chiusa. deve essere uguale a una delle frequenze na-

turali del tubo, il cui valore dipende dalla

All’estremità del tubo si osserva una rifles- lunghezza del tubo.

sione. La compressione all’estremità risulta

essere massima, pertanto l’onda riflessa è in

fase e il fenomeno è analogo al caso della 3.8 Battimenti

riflessione di un’onda meccanica su una cor- Si consideri un punto attraversato da due

da con estremo libero. onde acustiche. In fig. 34 è mostrata, in fun-

Consideriamo un impuso viaggiante in un zione del tempo, la variazione di pressione

tubo con estremità aperta (fig. 33). nel punto considerato dovuta alle due on-

de prese separatamente. Per semplictià, si

suppone che le due onde abbaino medesima

ampiezza.

Figura 33: Impuso viaggiante in un tubo con

estremità libera.

All’estremità aperta la pressione è sempre

uguale alla pressione esterna p , pertanto

0

◦ Figura 34: Due onde acustiche con frequenze

l’onda riflessa è sfasata di 180 e il fenomeno quasi uguali sommate.

è analogo al caso della riflessione di un’onda

meccanica su una corda con estremo fisso. Si osservi l’onda risultante ottenuta come

somma dei due contributi. Essa ha ampiez-

3.7 Onde stazionarie longitudinali za che varia con il tempo; nel caso delle

Si supponga di avere un treno d’onde sinu- onde sonore queste variazioni di ampiezza

soidale che si propaga lungo un tubo. É sono dette battimenti.

già stato osservato che le onde vengono ri- Fissata la posizione possiamo scrivere per

flesse dall’estremità del tubo sia se questa le due onde

è aperta, sia se questa è chiusa. Si può

pensare che la sorgnete del treno d’onde sia ∆p (t) = ∆p sin (ω t)

1 m 1

un autoparlante. Il moto dell’autoparlante ∆p (t) = ∆p sin (ω t)

2 m 2

produce un’onda di pressione nel tubo che,

sovrapponendosi all’onda riflessa, fa sı̀ che

Fisica (ottica onde) Pagina 36 di 92

3.9 Effetto Doppler 3 ONDE SONORE

In virtù del principio di sovrapposizione che grazie alla prima formula di Prostaferesi

abbiamo si scrive nl modo seguente

∆p(t) = ∆p (t) + ∆p (t) =

1 2

= ∆p [sin(ω t) + sin(ω t)]

m 1 2

− ω + ω

ω ω 1 2

1 2 t sin t

∆p(t) = 2∆p cos

m 2 2

consideri una sorgente di onde acustiche S

Definendo e un osservarore O.

|ω − |

ω + ω ω

1 2 1 2

ω = e ω =

amp

2 2

si ottiene

∆p(t) = [2∆p cos(ω t)] sin(ωt)

m amp

Si ha che i battimenti, ovvero i massimi di

intensità, si osservano quando cos(ω t) è

amp

−1.

uguale a 1 o Dunque

− |

ω = 2|ω ω

1 2

bat

In base alla relazione ω = 2πν si può Figura 35: Fronti d’onda emessi da una sor-

calcolare la frequenza dei battimenti gente acustica puntiforme S. Un

osservatore O si muove verso la

− |

ν = 2|ν ν

1 2

bat sorgente con velocità v .

0

3.9 Effetto Doppler Nella fig. 35 viene illustrato il caso in cui

Un ascoltatore in moto verso una sorgen- la sorgente è ferma rispetto al riferimento

te ferma, rispetto al mezzo di trasmissione, scelto e l’osservatore gli si avvicina a velocità

riceve un suono di frequenza maggiore ri- costante v . Se l’osservatore fosse a riposo,

0

spetto a quello che ascolterebbe se anche lui in un intervallo di tempo t riceverebbe vt/λ

fosse fermo. La frequenza ricevuta è, ive- fronti, ove v è la velocita dell’onda rispetto

ce, minore se l’ascoltatore si allontna dalla al mezzo di propagazione considerato. A

sorgente. Fenomeni analoghi si manifestano causa del suo moto di avvicinamento alla

se la sorgente si muove rispetto al mezzo sorgente, nel medesimo intervallo t, l’osser-

di trasmissione mentre l’ascoltatore resta vatore riceve ulteriori v t/λ fronti d’onda.

0

fermo. Questo effetto è noto come effetto Se l’osservatore si allontana dalla sorgente a

Doppler e si osserva per tutte le onde indi- velocità costatne v , allora vi saranno v t/λ

0 0

pendentemente dalla loro natura fisica. Si fronti che non giungono a destinazione.

Fisica (ottica onde) Pagina 37 di 92

4 EQUAZIONI DI MAXWELL

EQUAZIONI DI MAXWELL

4.1 Le equazioni fondamentali mento dei sistemi elettromagnetici. Si vuole

dell’elettromagnetismo ora identificare l’insieme di equazioni che

costituicono le equazioni di Maxwell. Per

Le equazioni di Maxwell rappresentano l’in- fare ciò, si considerino le quattro equazioni

sieme di equazioni più piccolo e compatto mostrate in tabella 1.

che ci permette di analizzare il comporta-

Tabella 1: Insieme di prova di equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo.

Simbolo Nome Equazione q

H ·

I Legge di Gaus per l’elettricità E dA = ϵ

0

H ·

II Legge di Gauss per il magnetismo B dA = 0

dΦ

H · −

III Legge dell’induzione di Faraday E ds = B

dt

H ·

IV Legge di Ampere B ds = µ i

0

In molte occasioi si è visto come il prin- se si varia un campo

cipio di simmetria permei la fisica e come magnetico(−dΦ si pro-

/dt),

B H ·

esso abbia spesso portato a nuove scoperte. duce un campo elettrico( E

Analizzando la tabella 1 dal punto di vista ds).

della simmetria, si vede che i primi membri Per il principio di simmetria si potrebbe

delle equazioni I e II sono, rispettivamen- sospettare che debba valere la relazione

te, integrali di superficie di E e di B su analoga, cioè:

superfici chiuse, mentre i primi membri del-

le equazioni III e IV sono, rispettivamente, se si varia un campo

integrali di linea di E e di B su curve chiu- elettrico(−dΦ /ds), si produce

se. I primi membri di tali equazioni sono E H ·

un campo magnetico( B ds).

quindi, a due a due, completamente simme-

trici. I secondi membti, al contrario, non Questa supposizione si vedrà che fornisce

sono simmetrici. Al secondo membrio dell’ il termine mancante nella legge di Ampere

−dΦ

equazione III compare il termine /dt.

B per far valere il principio di simmetria tra

Questa equazione, può essere interpretata la III e la IV equazione.

dicendo: Fisica (ottica onde) Pagina 38 di 92

4.2 Campi magnetici indotti

e correnti di spostamento 4 EQUAZIONI DI MAXWELL

4.2 Campi magnetici indotti

e correnti di spostamento

Il campo magnetico e la corrente sono legati

dalla legge di Ampere (a)

I ·

B ds = µ i

0 (b)

Cioè l’integrale di linea del campo magne-

tico lungo la spira è proporzionale alla Legge di Ampere applicata a un

Figura 37:

corrente totale che attraversa la superficie condensatore.

delimitata dalla sipra. In fig. 37(b) si è mantenuta la stessa spira

ma si è deformata la superficie da essa deli-

mitata in modo che essa racchiuda tutto il

piatto di sinistra del condensatore. Poichè

la spira non è cambiata, il primo membro

della legge di Ampere assume ancora il me-

desimo valore, ma il secondo membro risulta

zero, perchè nessun filo conduttore attraver-

sa la superficie. Sembra che si abbia una

violazione della legge di Ampere.

Figura 36: La corrente concatenata a una li- All’accomularsi della carica sul condensato-

nea chiusa l è la corrente che attra- re, il campo elettrico al suo interno varia

versa una qualsiasi superficie chiu- con una velocità dE/dt. Le linee di forza

sa γ. del campo elettrico attraversano la superfi-

cie di fig. 37(b), quindi il flusso del campo

elettrico attraverso la superficie considera-

ta è variabile. Allora sembra vera la con-

In fig. 37(a) è stata applicata la legge di clusione ottenuta nel paragrafo precedente:

Ampere a un conduttore collegato a un con- un campo magnetico viene generato da un

densatore. Una corrente i entra nel piatto campo elettrico variabile. Per descrivere la

di sinistra, mentre una corrente uguale i natura di questo nuovo effetto, si è guidati

esce dal piatto di destra. La spira amperia- dall’analogia con la legge di Faraday,

na circonda il filo e forma il contorno di una

superficie attraversata dal filo. In questo I dΦ B

· −

E ds =

H ·

caso vale B ds = µ i. dt

0 Fisica (ottica onde) Pagina 39 di 92

4.3 Le equazioni di Maxwell 4 EQUAZIONI DI MAXWELL

Per la controparte simmetica si scrive fig. 37(b). La carica q sulle armature è le-

gata al campo elettrico E nel condensatore

I dΦ E dall’equazione

·

B ds = µ ϵ

0 0 dt q = ϵ EA

0

In generale, bisogna tenere conto di entram-

bi i modi di generare un campo magentico: Derivando si ottiene

per mezzo di una corrente e per mezzo di un

campo magnetico variabile, sicchè bisogna dq d(EA)

i = = ϵ

0

modificar