Appunti di Finanza per l'impresa (6 crediti)

LA VALUTAZIONE

RICHIAMI SUI CONCETTI DI VALORE ATTUALE E VALORE ATTUALE NETTO

Valutare un investimento significa valutarne prezzo, rischio e rendimento.

Un investimento è un impiego di capitale effettuato in vista di un recupero delle risorse

investite di importo maggiore rispetto a quelle inizialmente impiegate: pertanto, valutare un

investimento significa capire quale potrebbe essere il valore corretto da pagare prevedendo

certi flussi di recupero di quell'investimento (capitale investito + rendimento atteso).

Quando calcoliamo il valore di un investimento, esiste una metodologia applicabile a

qualsiasi tipologia di investimento: questa metodologia si chiama valore attuale.

Il concetto di valore attuale (VA) si può spiegare a partire da quello di valore futuro (VF),

esprimibile come flusso di cassa (FC ), di un investimento (P ) che genera un certo

1 0

rendimento (r) nell'arco di un determinato tempo: il valore futuro rappresenta l'ammontare

che si ottiene in una data futura investendo oggi una certa somma ad un tasso di rendimento

r, mentre il valore attuale rappresenta la somma che deve essere investita oggi per ricevere in

futuro un certo capitale assumendo un rendimento atteso pari a r.

Attualizzare significa scontare dei flussi di cassa futuri, privandoli del rendimento atteso.

VF = FC = P + r*P = P *(1+r)

1 1 0 0 0

VA = P = VF /(1+r) = FC /(1+r)

0 1 1

ESEMPIO:

VF = FC = 100*(1+10%) = 110

1 1

VA = P = 110/(1+10%) = 100

0

Tra il prezzo dell'investimento e il rendimento richiesto c'è una relazione inversa, poiché un

maggior (minor) tasso di rendimento è realizzabile, una volta stimati i flussi di cassa, solo

pagando un prezzo inferiore (superiore).

Nell'ambito del VA:

• r = tasso di sconto o di attualizzazione;

• 1/(1+r) = fattore di sconto o di attualizzazione.

In presenza di più flussi di cassa generabili in futuro da un investimento (FC , FC , FC , …), si

1 2 3

può calcolare il VA di ciascuno di essi (capitalizzazione composta).

Ragionando come prima e quindi partendo dal concetto di valore futuro, ecco un esempio:

VF = FC = P *(1+r)*(1+r)*(1+r) = P *(1+r) , quindi il VA di FC = P = FC /(1+r) = VF /(1+r) .

3 3 3

3 3 0 0 3 0 3 3 1

P è il prezzo corretto che, in relazione ai flussi di cassa previsti, permette all'investitore di

0

ottenere un rendimento pari a r.

Il VAN permette di capire se un investimento è in grado di creare valore rispetto ai finanziatori

dell'investimento stesso: consiste nel confrontare il valore attuale dell'investimento, ovvero

l'insieme dei flussi finanziari in entrata opportunatamente attualizzati, con i deflussi finanziari

generati dall'investimento, anch'essi eventualmente sottoposti a procedura di

attualizzazione.

IL VALORE E IL RENDIMENTO DELLE OBBLIGAZIONI E DELLE RENDITE

Le obbligazioni attribuiscono al loro possessore la qualità di creditore nei confronti del

soggetto emittente e quindi il diritto di percepire gli interessi periodici (cedole) sulla somma di

denaro prestata e il rimborso del capitale.

Le cedole obbligazionarie sono calcolate moltiplicando il tasso cedolare per il capitale:

questo tasso di interesse non va confuso con il tasso di rendimento r che l'obbligazionista si

aspetta di ottenere dall'investimento obbligazionario.

Il contratto di prestito obbligazionario definisce le diverse tipologie di obbligazioni, riguardo:

• al soggetto emittente: pubblico, privato e internazionale;

• alle caratteristiche tecniche (tipologie, eventuali garanzie e status

dell’obbligazionista);

• alle modalità di rimborso: a scadenza, anticipatamente, a date prefissate e per gruppi

di obbligazioni e con piano di ammortamento del prestito (tale tematica verrà trattata

successivamente).

Il prezzo di un’obbligazione che paghi un interesse cedolare fisso (le cedole sono tutte uguali)

per n periodi al termine di ciascun periodo t e preveda il rimborso a scadenza del capitale è:

Il prezzo di un’obbligazione che paghi un interesse cedolare variabile (in ogni periodo la

cedola differisce da quelle precedenti e da quelle successive) per n periodi al termine di

ciascun periodo t e preveda il rimborso a scadenza del capitale è: 2

La rendita conferisce al suo titolare il diritto di percepire una serie di flussi di cassa periodici

che possono essere perpetui (permanenti) o temporanei: esempi di rendite perpetue sono i

prestiti irredimibili, vale a dire obbligazioni emesse da soggetti pubblici (es. Stato Britannico

durante la 2° Guerra Mondiale per finanziare la spesa militare) che conferiscono ai loro titolari

un flusso di cassa periodico in eterno, ma senza restituzione del capitale; esempi di rendite

temporanee invece sono i canoni di affitto, le rate di un mutuo, gli stipendi o le pensioni.

Il prezzo di una rendita perpetua a flussi di cassa costanti posticipati è il seguente:

Infatti, ponendo a = C/(1+r) e x = 1/(1+r), allora: P = a + ax + ax + ax + … .

2 3

0

Moltiplicando i due membri per x, si ottiene: xP = ax + ax + ax + ax + … .

2 3 4

0

Sottraendo poi la seconda espressione dalla prima, si ha: P – xP = P (1–x) = a + ax + ax + ax

2 3

0 0 0

+ … – ax – ax – ax – ax – … = a – ax .

2 3 4 n

Quando n tende ad infinito, allora: -ax = -a[1/(1+r)] tende a zero perché 1/(1+r) è un numero

n n

compreso tra 0 e 1, per cui si può scrivere: P (1–x) = a.

0

Sostituendo a e x si ottiene: P [1–1/(1+r)] = C/(1+r) P – P /(1+r) = C/(1+r).

→

0 0 0

Moltiplicando 1° e 2° membro per (1+r), si può scrivere: (1+r)P – P = C P + rP – P = C

→ →

0 0 0 0 0

P = C/r, come sopra indicato.

0

Inoltre, il tasso di rendimento di tale rendita è pari a: r = C/P .

0

Il prezzo di una rendita perpetua a flussi di cassa crescenti ad un tasso g e posticipati è invece

dato dalla seguente espressione matematica:

Infatti, ponendo a = C /(1+r) e x = (1+g)/(1+r), allora: P = a + ax + ax + ax + … .

2 3

1 0

Moltiplicando i due membri per x, si ottiene: xP = ax + ax + ax + ax + … .

2 3 4

0

Sottraendo poi la seconda espressione dalla prima, si ha: P – xP = P (1–x) = a + ax + ax + ax

2 3

0 0 0

+ … – ax – ax – ax – ax – … = a – ax .

2 3 4 n

Quando n tende ad infinito, allora: -ax = -a[(1+g)/(1+r)] tende a zero, per cui si può porre:

n n

P (1–x) = a.

0

Sostituendo a e x si ottiene: P [1–(1+g)/(1+r)] = C /(1+r) P – P (1+g)/(1+r) = C /(1+r).

→

0 1 0 0 1

Moltiplicando 1° e 2° membro per (1+r), si può scrivere: (1+r)P – P (1+g) = C P + rP – P –

→

0 0 1 0 0 0

gP = C P (r–g) = C P = C /(r–g), come sopra indicato.

→ →

0 1 0 1 0 1

Inoltre, il tasso di rendimento di tale rendita è pari a: r = C /P + g.

1 0

Con g > r, P diventa negativo e, se alla luce di successive verifiche non si riesce a sanare il

0

valore negativo al denominatore, questa formula è inutilizzabile: pertanto, la formula funziona

solo se r > g.

Il prezzo di una rendita temporanea che paghi un importo fisso per n periodi al termine di

ciascun periodo t, cioè posticipatamente, è: 3

Se l'erogazione della prima somma fosse stata immediata, non avremmo dovuto attualizzarla.

a (a figurato n al tasso r) = valore attuale di una rendita unitaria (1€) che dura n periodi con

n┐r

un rendimento pari ad r.

Alternativamente, il prezzo di tale rendita può essere calcolato come differenza dei prezzi di 2

rendite perpetue:

• valore di una rendita perpetua a flussi costanti con primo pagamento al termine del

periodo 1 = C/r;

• valore di una rendita perpetua a flussi costanti con primo pagamento al termine del

periodo n+1 = (C/r)*1/(1+r) .

n

Infatti, se la prima rendita offre un flusso di cassa C dal termine del periodo 1 e se la seconda

produce un flusso di cassa C dal termine del periodo n+1, allora la differenza tra il valore

attuale della prima e il valore attuale della seconda rendita è il valore attuale, cioè il prezzo,

della rendita che paga C per n periodi, al termine di ciascun periodo t.

In formule: C/r – (C/r)*1/(1+r) .

n

Infine, il prezzo di una rendita temporanea che paghi importi crescenti ad un tasso g per n

periodi al termine di ciascun periodo t è:

È ora possibile riprendere il ragionamento sulle modalità di rimborso del prestito

obbligazionario: a scadenza, anticipatamente, a date prefissate e per gruppi di obbligazioni e

con piano di ammortamento del prestito.

Il rimborso a scadenza richiede una notevole capacità di programmazione perché da qui alla

scadenza la liquidità dell'impresa può variare e, se a scadenza l'impresa non ha tutti i soldi

necessari per rimborsare gli obbligazionisti, fallisce: per questo motivo, normalmente, il

prestito viene rimborsato attraverso una riduzione graduale del debito.

Il rimborso anticipato può essere una facoltà riconosciuta contrattualmente all'impresa

oppure all'obbligazionista:

• callable bonds: includono un’opzione call a favore dell’emittente, cioè una clausola di

rimborso anticipato da parte dell’emittente stesso del titolo. La motivazione di

avvalersi di una clausola di rimborso anticipato sta nella riduzione del costo del

finanziamento: ad esempio, se i tassi di mercato sono decrescenti, l'impresa che ha

contratto un prestito obbligazionario a tasso fisso lo rimborsa e si rifinanzia per lo

stesso importo ad un tasso di interesse più basso; 4

• puttable bonds: comprendono un’opzione put a favore del sottoscrittore. L’investitore,

quindi, ha la facoltà di chiedere il rimborso anticipato del capitale. L’obbligazionista si

avvale di tale clausola per il motivo contrario all'impresa che decide di avvalersi della

clausola di rimborso anticipato: ad esempio, se i tassi stanno aumentando,

l'investitore chiede il rimborso e reinveste immediatamente in un titolo analogo (con

un livello di rischio paragonabile a quello del precedente investimento) ad un tasso di

interesse più alto.

Il rimborso a date prefissate e per gruppi di obbligazioni prevede un meccanismo per cui, al

verificarsi di determinati date, una parte del prestito, rappresentata da singole obbligazioni (e

non da una parte di ogni obbligazione), viene rimborsata.

Questi rimborsi possono avvenire alternativamente secondo 2 modalità:

• estrazione a sorte: gli obbligazionisti da rimborsare vengono estratti a sorte e l'impresa

rimborsa il valore nominale delle obbligazioni estratte;

• acquisto sul mercato: l'impresa va sul mercato e rimborsa indirettamente gli

obbligazionisti, comprando le obbligazioni al prezzo di mercato.

Se il rendimento aumenta, è molto probabile che il prezzo scenda al di sotto del valore

nominale e l'impresa va sul mercato rimborsando un valore inferiore al valore nominale. Al

contrario, se il rendimento scende, il prezzo tende ad aumentare e per l'impresa è più

conveniente rimborsare il valore nominale dell'obbligazione.

Il rimborso con piano di ammortamento del prestito prevede che ogni singolo titolo

obbligazionario venga rimborsato gradualmente e ogni rata di rimborso (assimilabile ad una

rendita temporanea percepita dall'obbligazionista) ha 2 componenti (quota capitale + quota

interessi).

Il piano di ammortamento può essere:

• a rata costante: l'importo della somma prestata oggi all'azienda emittente il prestito è

il prezzo, ovvero il valore attuale, di una rendita temporanea posticipata della durata

stabilita (P = VA = R*a ), da cui si può ricavare il valore della rata (R = VA/a ). Inoltre,

0 n┐r n┐r

per ogni rata, è necessario quantificare sia il valore della quota interessi maturati

sull'importo residuo di capitale da rimborsare, sia, per differenza tra il valore della rata

e il valore della quota interessi, il valore della quota capitale.

Poiché VA = P = VR = importo capitale iniziale, allora:

0 0

C = R – VR *r;

➢ 1 0

C = R – VR *r, con VR = VR – C ;

➢ 2 1 1 0 1

C = R – VR *r, con VR = VR – C ;

➢ 3 2 2 1 2

…

➢ C = R – VR *r.

➢ k k-1

Man mano che viene rimborsato il capitale, la quota interessi si riduce perché viene

calcolata sul debito residuo via via decrescente e la quota capitale cresce: pertanto, 5

all'inizio del periodo di finanziamento, l'impresa debitrice paga soprattutto interessi.

• a quota capitale costante: l'emittente rimborsa periodicamente al sottoscrittore una

quota capitale costante che corrisponde al valore del prestito iniziale diviso per la

durata dello stesso. La rata viene determinata sommando alla quota capitale costante

il tasso di interesse moltiplicato per il valore residuo del debito al termine del periodo

precedente:

R = VN/n + r*VR ;

➢ 1 0

…

➢ R = VN/n + r*VR .

➢ k k-1

La quota capitale non varia, mentre la quota interessi decresce: pertanto, l'importo

della rata si riduce nel tempo.

IL RENDIMENTO DELLE OBBLIGAZIONI CON RIMBORSO A SCADENZA: UN

APPROFONDIMENTO

Il rendimento delle obbligazioni con rimborso a scadenza si determina calcolando r a partire

dalla nota formula del prezzo di tali obbligazioni: 6

r = tasso di rendimento effettivo lordo a scadenza (REL) dell'investimento è il rendimento

→

effettivamente conseguito dall'investitore solo se egli porta fino a scadenza il suo impiego di

capitale.

Il REL di un'obbligazione è del tutto equiparabile al TIR di un progetto di investimento e quindi

rappresenta la redditività di un impiego di capitale in obbligazioni.

I fattori che determinano il valore del REL:

• l'importo degli interessi determinati in funzione del tasso cedolare;

• il valore di rimborso alla scadenza;

• la periodicità con cui si manifestano i flussi di cassa.

La quantificazione degli elementi appena considerati e la conoscenza del prezzo

dell'obbligazione permettono di calcolare il REL attraverso 2 metodologie piuttosto semplici,

cioè attraverso:

• la determinazione approssimativa del rendimento effettivo (RELA);

• la stima del REL per interpolazione.

APPLICAZIONE PRATICA:

Si tratta di una rendita temporanea posticipata di 2n semestri, con interessi corrisposti

semestralmente, a cui si aggiunge un pagamento finale dato dal rimborso del prestito (1.000).

Poiché ogni rendimento è un rapporto tra il profitto dell'investimento e il capitale che è stato

investito, il RELA pone a rapporto gli incassi netti medi sul titolo e l’investimento medio nel

titolo; in formule, utilizzando la simbologia precedente, si ha:

Rendimento annuo = 2 cedole semestrali + capital gain annualizzato [(valore di rimborso –

prezzo di acquisto)/numero di anni].

Capitale investito = semisomma tra il valore di rimborso e il prezzo di acquisto (tuttavia,

adottando il punto di vista dell'investitore, sarebbe preferibile utilizzare come denominatore

solo il prezzo di acquisto che è stato effettivamente pagato per l’investimento).

ESEMPIO:

Si consideri un bond con cedola annuale del 10% (calcolata semestralmente), scadenza fra

20 anni, quotato €900 e rimborsabile a €1.000: 7

Il metodo di stima del REL per interpolazione si basa su un processo iterativo: operativamente

occorre procedere per tentativi, scontando i flussi di cassa a tassi diversi finché non si

individuano due tassi “sufficientemente vicini”, che costituiscano gli estremi di un intervallo

all’interno del quale è compreso il REL cercato.

ESEMPIO:

Si utilizzano anche i parametri dell’esempio precedente (quindi, cedola annuale al 10%

calcolata semestralmente; durata dell’obbligazione 20 anni; quotazione 900).

P = C*a + 1.000*[1/(1+r/2)]

2n

0 2n┐r/2

Si può affermare che il REL è compreso tra il 10% e il 12%.

Si calcola infatti il valore corrente con r = 10%: P = 50*a + 1.000*[1/(1+0,05)] =

40

0 40┐0,05

50*17,159 + 1.000*0,142 = 1.000 (poiché è maggiore di €900, r deve essere un po' più alto per

la relazione inversa tra prezzo e rendimento).

E poi il valore corrente con r = 12%: P = 50*a + 1.000*[1/(1+0,06)] = 50*15,046 +

40

0 40┐0,06

1.000*0,097 = 849,3 (poiché è minore di €900, r deve essere un po' più basso).

Poiché sulla base dei valori correnti ottenuti, l’intervallo in cui cade il REL è compreso tra il

10% e il 12%, si procede ad effettuare l’interpolazione per individuare il REL cercato:

Dato che 2% : 150,7 = x : 100 (la differenza tra 10% e 12% sta alla differenza tra 1.000 e 849,3

come x sta alla differenza tra 1.000 e 900), allora:

x è il differenziale di rendimento da aggiungere al 10% per ottenere il REL cercato.

Il REL fin qui considerato è un rendimento effettivo ex ante o promesso perché esso si basa

sulle ipotesi che:

• il titolo venga tenuto fino alla scadenza (in caso di vendita, si rinuncia ad alcune cedole

e il prezzo di vendita può non coincidere con il valore nominale);

• i pagamenti delle cedole siano completamente e immediatamente reinvestiti ad un

tasso pari al REL (capitalizzazione composta);

• tutti i pagamenti delle cedole e della quota capitale siano effettuati puntualmente alle

scadenze prefissate, ovvero che l'impresa emittente il prestito obbligazionario sia

solvibile (questo tema verrà trattato successivamente).

Se una o più di queste ipotesi non si verifica, il rendimento effettivo ex post o realizzato si

discosta necessariamente dal rendimento promesso.

Il mancato possesso del titolo fino alla scadenza è una condizione che può v