Appunti di Elettrotecnica

Sistemi Trifase

Figura 23

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O• Vale a dire che la È evidente inoltre che il punto coincide con il baricentro geometrico del triangolo i cui lati rappresentano le tensioni di linea.

O O• ‰O OLa differenza di potenziale esistente tra il baricentro del sistema ed un qualunque centro stella è rappresentata nel diagramma polare della figura 23 dal vettore che unisce con . L’espressione simbolica si deduce dalle relazioni:

+ =Jw J w+ =Jw J w+ =Jw J w

Infatti, sommandole membro a membro e ricordando che la terna baricentrica è pura, si ottiene:

+ += w w w3Jw ŠJw wŠ

Vale a dire, la tensione fra il baricentro del sistema ed un centro stella generico è espressa, in termini simbolici, w .

Questa tensione può, evidentemente, essere espressa anche

Poiché non è altro che l'opposto della tensione stellata baricentrica, si ha: − += =−9 ; 3 JJwed infine −= 3J O‰Banalmente, con analogo procedimento, è cioè facendo coincidere con i vertici 2 e 3 del triangolo delle tensioni dilinea, otteniamo: −= 3J −= 3J

Sistemi Trifase Pagina 27 di 843.3 Potenza nei sistemi dissimmetrici e squilibrati K , K , KDato un sistema trifase dissimmetrico e squilibrato, a tre o quattro fili, l'andamento degli scambi energetici, può rilevarsi dall'esame della variazione nel tempo delle potenze istantanee, , erogate dai tre generatori (o assorbite dalle tre fasi del carico). La potenza trifase istantanea che il sistema trasmette alla linea (o che il carico assorbe dalla linea), è data dalla somma delle tre potenze istantanee.Date quindi le correnti e le tensioni relative alle singole fasi: ;8 =0 sin9 +~= sin9 +~ +: ;= sin9 +~ +: ; ;8 =0 sin9 +~= sin9 +~ +: ; ;8 =0

sin9 +~Abbiamo: K = K +K +K = 8 + 8 + 8 = ;= 0 cos : − 0 cos92 + 2~ + ‘ +;+ 0 cos : − 0 cos92 + 2~ + ‘ +;+ 0 cos : − 0 cos92 + 2~ + ‘La potenza istantanea è quindi, come ben noto, costituita da due addendi, il primo costante (Potenza Costante):K = 0 cos : + 0 cos : + 0 cos :’ed il secondo variabile (Potenza Fluttuante):; ; ;MK = −L 0 cos92 + 2~ + ‘ + 0 cos92 + 2~ + ‘ + 0 cos92 + 2~ + ‘ =WZ " += 0 sin 2 + 2~ + ‘ − 2+ 0 sin 2 + 2~ + ‘ − " +2 "+ 0 sin 2 + 2~ + ‘ − 2La potenza fluttuante è quindi costituita dalla somma delle potenze fluttuanti messe in gioco da ciascuna fase.Diversamente da quanto avviene nei sistemi trifase simmetrici ed equilibrati, dove abbiamo visto che la potenza fluttuantetrifase è nulla, in questi sistemi la stessa è presente e costituisce un peculiare carattere distintivo del regime dissimmetricoe

Vogliamo comunque utilizzare, per comodità, un coseno, possiamo affermare che il fattore di potenza coincide con il coseno dell'angolo di cui va ruotata la stella delle correnti rispetto a quella delle tensioni o viceversa affinché l'espressione della potenza attiva risulti massima.

3.4 Teorema di Aron

Consideriamo un sistema a dissimmetrico e squilibrato e costruiamo un qualsiasi centro stella O (figura 24); tre fili s

Figura 24 - Teorema di Aron

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Si rileva che l'espressione (potenza attiva, rispetto ad O): s;X9Š = 0 cos θ + 0 cos θ + 0 cos θ = ∙ 0 + ∙ 0 + ∙ 0w w Z w w Z w w Z w w Z w Z w Z è invariante rispetto al centro stella, non varia cioè di valore qualsiasi sia il centro stella scelto.

Supponiamo di costruire ora un altro centro stella qualsiasi O ed indichiamo con la tensione tra i due centri stella, s'avremo: s;X9Š = ∙ 0 + ∙ 0 + ∙ 0 = F + G ∙ 0 + F + G ∙ 0 + F

+ G ∙ 0w‹ w‹ Z w‹ Z w‹ Z ww‹ w Z ww‹ w Z ww‹ w Z= ∙ F0 + 0 + 0 G + ∙ 0 + ∙ 0 + ∙ 0ww‹ Z Z Z w Z w Z w Z

Ed essendo la terna delle correnti una terna pura, cioè la somma delle correnti è zero, si ha:

X9Š = ∙ 0 + ∙ 0 + ∙ 0 = X9Šw‹ w Z w Z w Z w‚ ‚• –L’invarianza vale anche, ovviamente, per i centri stella od dei generatori o del carico (se connessi a stella);perciò indicando con P la potenza attiva trifase del sistema, si ha:

∙ 0 = X∙ 0 +X9Š ∙ 0 += ZZ wZ ww‹ w

Quindi possiamo terminare affermando che la potenza attiva trifase di un sistema trifase a tre fili qualsiasi è uguale allasomma dei prodotti scalari delle correnti di linea per le corrispondenti tensioni stellate relative ad un qualunque centro(Teorema di Aron).stella scelto ad arbitrioIl teorema, dimostrato nel caso di generatori o carichi supposti a stella,

è valido anche nel caso in cui siano connessi a triangolo. La potenza trifase, infatti, erogata dal generatore (o assorbita dal carico) a triangolo è uguale a quella erogata dal generatore (o assorbita dal carico) a stella ad esso equivalente. Consideriamo un generatore (o un carico) connesso a triangolo ed immaginiamo di sostituire ad esso il suo equivalente a stella, sapendo che:

−0=00−= ⋌⋋⋋△ −= −0=00⋋⋋△ ⋌ −0=00−= ⋌⋋⋋△

avremo: =G ∙ 0−+ FG ∙ 0−+ FG ∙ 0−=F∙0+∙0+∙0X = ⋋⋋⋋ ⋋⋋ ⋋△△△△ ∙ 0 = X+∙0 + ∙0G =G + ∙ F0 − 0− 0− 0 G + ∙ F0∙ F0= ⋌ ⋌⋋⋌ ⋋ ⋌⋋⋋⋋⋋

Analogamente può dimostrarsi per la potenza reattiva trifase quando, al posto dei prodotti scalari, si sostituiscono i prodotti vettoriali. Pertanto qualunque sia il centro stella al quale è riferita la terna delle tensioni stellate, si ha:

Y= ⋀0 + ⋀0 + ⋀0w Z w Z

Il teorema di Aron indica, quindi, come possono esprimersi le potenze di un sistema trifase dissimmetrico e squilibrato a tre fili, in funzione delle sole grandezze di linea, indipendentemente dal generatore e dal carico.

Riprendendo, infatti, l'espressione generale della potenza attiva trifase:

X = √3 * Vab * Iab + √3 * Vbc * Ibc + √3 * Vca * Ica

scrivendo l'equazione al nodo (centro stella) per il sistema a tre fili:

Vab + Vbc + Vca = 0

Vca = -Vab - Vbc

e ricavando da quest'ultima, per esempio, e sostituendola, si ha:

X = √3 * Vab * Iab + √3 * Vbc * Ibc + √3 * (-Vab - Vbc) * Ica

X = √3 * Vab * (Iab - Ica) + √3 * Vbc * (Ibc - Ica)

ed analogamente per la potenza reattiva trifase.

In conclusione: X = √3 * Vab * (Iab - Ica) + √3 * Vbc * (Ibc - Ica)

Y = √3 * Vab * (Iab + Ica) + √3 * Vbc * (Ibc + Ica)

3.5 Misura della potenza nel sistema dissimmetrico e squilibrato

Lo schema di principio per la misura delle potenze in un sistema trifase qualsiasi discende immediatamente

dalle precedenti considerazioni. Inseriamo, infatti, in un sistema a tre fili, tre wattmetri come in figura 25 e creiamo con le tre bobine voltmetriche il centro stella O. In virtù del teorema di Aron, la somma delle indicazioni dei wattmetri è uguale alla potenza attiva trifase del sistema:

X = X₁ + X₂ + X₃ = ∑ W₁ + ∑ W₂ + ∑ W₃

È chiaro che questo metodo è valido anche per la misura nei sistemi a quattro fili quando si faccia coincidere O con il filo neutro.

In pratica, nei sistemi a tre fili la misura si esegue mediante l’uso di soli due wattmetri; facendo infatti coincidere il centro stella O con uno dei due fili, ad esempio il filo 2, si ha (figura 26):

Figura 26 – Sistema Aron