Appunti di Economia politica sulle scelte collettive

VOTAZIONE PER MAGGIORANZA

Teorema di May

Alla luce degli studi di May, il sistema di votazione per maggioranza possiede alcune proprietà

desiderabili.

May ha applicato un’approccio simile a quello di Arrow, è partito da 4 condizioni nella scelta di 2

alternative:

- Anonimato, tutti i soggetti votanti devono essere trattati bello stesso modo.

- Neutralità, tutte le opzioni devono essere trattate in modo eguale.

- Principio di determinazione, il meccanismo di preferenze individuali dev’essere in grado di

arrivare a una decisione nale.

- Meccanismo di reattività positiva, un aumento del numero di voti per l’opzione che risultava

già vincente deve confermare il risultato, non può ribaltare l’esito.

May nel suo teorema dimostra che quando ci sono due alternative il sistema a maggioranza

soddisfa tutte 4 le condizioni, inoltre è l’unico sistema di aggregazione a soddisfarle.

Tale risultato è molto importante anche se può risultare residuale. In relata la votazione di

maggioranza con 2 alternative è molto di usa, basta pensare a camera e senato che devono

votare per una legge, la approvano o la ri utano, 2 alternative.

Metodo di Condorcet

Considerando e cace la votazione a maggioranza con due possibili opzioni, si potrebbe pensare,

nel caso in cui le opzioni fossero più numerose, di confrontare le opzioni due a due in modo

consequenziale. si può manipolare l'agenda,

Il problema principale di questa procedura riguarda che quindi a

seconda dell'ordine con il quale vengono presentate le opzioni, si possono ottenere outcome

diversi tra loro.

Un'alternativa è il metodo di Condorcet, che considera opzioni 2 a 2 ma tiene conto di tutti i

possibili confronti.

Se esiste un opzione che scon gge le altre, essa è il vincitore di Condorcet. Es: a>b, a>c.

Tuttavia questo tipo di vincitore esiste in circostanze molto limitate e spesso la sua esistenza

dipende da come sono strutturate le preferenze individuali.

Teorema dell’elettore mediano 1

Per individuare l’esistenza di un vincitore di Condorcet possiamo fare riferimento ai 2 teoremi

dell’elettore mediano. Tali teoremi portano alla conclusione comune: il vincitore di Condorcet

corrisponde all’elettore mediano. preferenze single-peaked.

Consideriamo il primo dei due teoremi, fa riferimento a

ffi fi fi fi ff

Immaginiamo di dover scegliere la posizione di una fermata di un bus in una via e di avere degli

individui sparsi lungo la strada in maniera equidistante. Ogni individuo vorrà posizionare la

fermata vicino a casa.

Chiediamo agli individui di confrontare queste n possibilità di posizionamento fermata facendo

tutti i possibili confronti 2 a 2 per arrivare alla decisione nale. Se n è un numero:

- Dispari, allora l’opzione più votata sarà quella dell’individuo mediano, chi sta nel mezzo della

via, sarà il vincitore di Condorcet.

- Pari, non esiste l’individuo mediano le due abitazioni centrali prenderanno più voti, possiamo

immaginare che la fermata sarà posizionata al centro.

Per rispettare queste caratteristiche la votazione deve essere composta da individui con

preferenze single-peaked.

In questo gra co è rappresentato sull’asse delle ordinate l’utilità degli individui e sul ascisse la

strada, e quindi le diverse opzioni di voto.

Teorema con varie applicazioni nel mondo reale, ad esempio i partiti di centro sono favoriti alle

elezioni.

Laddove abbiamo A e B partiti politici, m mediana ed L e R estremi, vi sarà una progressiva corsa

verso il centro, quindi B vincerà le elezioni perché otterrà le preferenze dei soggetti di destra, più

della metà di quelli tra B ed A; di conseguenza A avrà l'incentivo a posizionarsi in un punto tra B

ed m per ottenere la maggioranza, e B cercherà di spostarsi verso il centro.

Principio di Hotelling della di erenziazione minima: tendenza progressiva a spostarsi sempre più

verso il centro.

fi ff fi

Aspetti critici di questo teorema:

- Numero di soggetti coinvolti devono essere dispari, quindi maggioranza vota secondo la

preferenza dell'elettore mediano; laddove il numero dei soggetti è pari le 2 preferenze più vicine

otterrebbero lo stesso numero di voti, e il teorema non dice nulla sulla decisione nale in questo

caso.

- decisione unidimensionale,

Tale teorema si può applicare solo quando è ovvero riguarda un

solo singolo aspetto (es. posizionamento lungo la strada della fermata del bus).

Teorema dell’elettore mediano 2 single-crossing.

Un’ulteriore versione di questo Teorema è stata applicata alle preferenze

Se i è alla sinistra di j, l’alternativa x è alla sinistra di y allora le preferenze single-crossing sono

soddisfatte se…

Supponiamo che ci siano un numero dispari di elettori, che lo spazio politico sia unidimensionale,

se le preferenze degli elettori sono single-crossing allora l’elettore mediano è il vincitore di

Condorcet.

Le condizioni single-peaked e single-crossing, nonostante portino alla stessa soluzione, sono

diverse. Con la prima versione ci riferiamo alla mediana delle opzioni preferite dagli elettori, con il

secondo ci riferiamo all’opzione preferita dall’elettore mediano.

In gura l’individuo 2 è alla sinistra dell’individuo 3 che

a sua volta è alla sinistra dell’individuo 1.

La preferenza single-crossing è rispettata, la single-

peaked no.

I teoremi dell’elettore mediano non dipendono dall’intensità delle preferenze quindi non c’è alcun

incentivo alla dichiarazione errata, il voto onesto è strategicamente migliore.

Il risultato dell’elettore mediano non è detto che sia il risultato e ciente, è data le condizioni un

risultato stabile. In ne questi teoremi si applicano solo in contesti unidimensionali.

fi fi ffi fi

Multidimensional Voting

Rendiamo la votazione più complessa, inseriamo la dimensione tempo nell’esempio dell’autobus.

multidimensionale.

La votazione non sarà più unidimensionale, ma

Prendiamo come riferimento preferenze single-peaked multidimensionali di 3 soggetti, sull’asse

delle ascisse misuriamo il luogo, su quello delle ordinate il tempo.

I punti, in prossimità di x1, x2, x3, corrispondono all’utilità

massima dei soggetti, man mano che ci si allontana dai

punti i soggetti subiscono un decremento della loro

utilità. Possiamo descriverli come curve d’indi erenza a

stampo circolare, i punti che costituiscono i cerchi

restituiscono al soggetto una data utilità.

Immaginiamo che i soggetti debbano scegliere tra le opzioni x1, x2, x3, e che le preferenze siano

ordinabili secondo la tabella sottostante:

- x1>x2, 2-1.

- x2>x3, 2-1.

- x3>x1, 2-1.

Paradosso di Condorcet, intransitività delle preferenze a livello collettivo quando a livello

individuale le preferenze sono transitive.

Nonostante le preferenze siano single-peaked, inserendo la componente multidimensionale, non

c’è più transitività non potendo considerare l’elettore mediano e quindi neanche il vincitore di

Condorcet.

Una possibile alternativa considerare i due problemi separatamente; chiedendo ai tre soggetti di

votare prima le preferenze in termini spaziali, poi in termini temporali. In questo caso siamo in

grado di ordinare i soggetti e trovare l’elettore mediano. Spazio: 1. Tempo: 2. L’outcome nale

sarà per lo spazio la preferenza x1 per il tempo la preferenza di x2.

ff fi

Agenda Manipulation

Quando il vincitore di Condorcet non è presente nasce un ciclo di votazione, in cui non è possibile

trovare un risultato a meno che non si applichi una votazione delle preferenze sequenziale. Si

mette a confronto prima 2 alternative, e la vincente si confronta con la terza.

L’ordine con il quale vengono proposte le alternative in uisce sul risultato nale, quindi chi

può in uenzare l’agenda può prevedere l’esito delle votazioni, in questo senso manipolazione

dell’agenda.

Es: a>b

b>c

c>a

In questo caso possono nascere i voti strategici, ovvero i votanti, a conoscendo le preferenze

altrui, potrebbero votare in modo non veritiero al ne di ottenere un outcome nale migliore

rispetto al caso in cui avessero votato in modo sincero.

Includendo i voti strategici, si possono alterare l’insieme di risultati potenzialmente raggiungibili?

Dipende dalle informazioni del soggetto che decide l’agenda, se esso è a conoscenza del voto

strategico è come se le preferenze dei soggetti trovassero un nuovo ordine attraverso il quale il

soggetto decisore dell’agenda può arrivare al risultato a lui congeniale.

Miller: “se tutte le opzioni sono incluse nell’agenda il voto strategico non cambia l’insieme degli

esiti.”

Ciclo top, insieme di tutti gli esiti possibili che contempla anche la possibilità di voti strategici.

Anche con preferenze di Condorcet, il voto strategico può in uenzare l’esito.

Se a>b, b>c, a>c, Il vincitore di Condorcet sarebbe a. Immaginiamo che un categoria di individui

abbia come ultima preferenza a (come intermedia b, come prima c) e decida quindi di votare

strategicamente. Evitando la vittoria di a e favorendo quella di b.

Consideriamo adesso le preferenze in una tabella con 4 opzioni:

a>b>c>d>a

L’opzione d può essere top cycle, ma d è dominata in senso paretiano

da c.

Quando il vincitore di Condorcet non esiste il top cycle può essere molto

ampio, no a comprendere tutte le alternative.

Teoria di McKelvey:

- Chi de nisce l’agenda ha un ruolo determinante può far risultare vincitrice qualsiasi opzione.

- L’esistenza di cicli rende l’outcome nale arbitrario, in quanto in uenzabile dal decisore

dell’azienda e totalmente imprevedibile.

fi

fl fi fi fi fl fl fl fi fi

Alla luce di ciò risulta di cile de nire l'esito di una votazione a maggioranza come la volontà dei

soggetti. Il problema legato a questo aspetto è che le condizioni legate all'esistenza di un

vincitore di Condorcet non sono a atto scontate: infatti uno studio di Fishburn mostra come

all'aumentare del set di opzioni a disposizione degli individui la probabilità che

e ettivamente esista un vincitore di Condorcet tende a 0.

Se implementiamo questo risultato nel contesto di tutti i giorni, ad esempio al panorama politico

italiano sotto elezioni, caratterizzato da decine di partiti e movimenti correnti, possiamo avere un

riscontro diretto di come possa risultare di cile trovare un vincitore, e questo senza neanche

considerare il fa