Appunti di Costruzioni navali 3 - da lezione 12 a 19

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che il momento viene applicato nel piano di simmetria della nave). Applico un momento crescente e la trave

si infli e nel piano ver cale (piano di sollecitazione e piano di flessione coincidono), nei primo istan di

applicazione del momento quando esso è basso siamo in campo lineare, quindi l'asse neutro sarà

orizzontale e baricentrico.

Appena una delle fibre esce dal campo lineare l’asse neutro si sposta dal baricentro, esso si sposta poiché la

distribuzione di deformazioni con nua ad essere lineare in ragione della distanza dall'asse neutro ma la

distribuzione di tensioni non è più lineare (poiché ci sono alcuni pun della sezione in cui la deformazione è

tale per cui la tensione non è più proporzionale alla deformazione).

No amo che la sigma sulla sezione ha un andamento che non è una re a, in par colare “mancano” delle

sigma rispe o all’andamento re lineo, ciò significa che se mancano delle sigma nega ve l’integrale delle

sigma in dA porterà un risultato maggiore di 0, se N>0 e lo voglio riportare a 0 devo cercare di aumentare la

zona delle sigma nega ve (quelle in alto) e quindi devo abbassare l’asse neutro, quindi alcune fibre che

prima erano in trazione adesso diventano in compressione (ovvero sto aumentando la compressione media

della trave). Quindi se le non linearità si verificano in alto (cosa più frequente dato che le non linearità si

verificano nelle fibre più lontane dall’asse neutro) devo spostare l’asse neutro in basso, se per caso le non

linearità si verificassero in basso dovrei fare il contrario. Quindi devo spostare l’asse neutro in maniera tale

da fare in modo che la distribuzione di ε (che ha un zero diverso pur essendo sempre lineare) induca una

distribuzione di Ϭ il cui integrale diven 0.

in questo caso non s amo cercando due componen di momento poiché sappiamo già che il momento

totale è un momento totalmente ver cale. Il momento può essere valutato rispe o ad un asse qualunque

perché se io applico il momento di una distribuzione di forze rispe o ad un asse e poi tale momento voglio

portarlo rispe o ad un altro asse parallelo devo applicare un trasporto e sommare o so rarre al momento

calcolato un termine che vale la distanza tra i due assi mol plicato l’integrale della distribuzione di forze, ma

l’integrale di sigma in dA è nullo (ho fa o in modo che fosse 0 la risultante); quindi il momento lo posso

calcolare secondo un asse qualsiasi tanto il termine di trasporto è nullo. Se mi interessano due componen

di momento posso fare il momento rispe o ad un asse e il momento rispe o ad un asse perpendicolare e

non importa dove me o ques due assi.

Se aumenta ancora il momento aumentano ancora le non linearità e quindi l’AN si sposta ancora di più,

quindi tu e le volte che applico un momento devo spostare l’asse neutro finché non riesco a dividere la

sezione in due par in maniera tale che la forza normale complessiva sia sempre uguale a 0.

Una volta che ho trovato la giusta posizione dell’AN (tale che mi soddisfi la prima equazione) ho la vera

distribuzione di Ϭ (essa è quella che verifica la condizione di trave semplicemente inflessa), quindi posso

calcolare qual è il momento esercitato dalle forze interne secondo la formula

Il momento esercitato dalle forze interne indica quanto sono allungate o accorciate le singole fibre, ovvero

quanto le piccole molle del materiale, in ragione della loro distanza dall’asse neutro esercitano un momento

di richiamo, ovvero che tenderebbe a portare la trave nella posizione indeformata. Tale momento sarà

uguale al momento esterno applicato (ho realizzato l’equilibrio tra momento interno e il momento esterno,

il segno meno sta proprio ad indicare che il momento interno è uguale e contrario al momento esterno).

Flessione deviata

Il problema si complica poiché in questo caso si applica un momento che non agisce nel piano di simmetria

della nave ma è inclinato rispe o ad esso, l’asse neutro (perpendicolare al piano di flessione) non è

orizzontale. Il piano di flessione non coincide con il piano di sollecitazione.

Applico un momento man mano crescente:

nei primi istan di applicazione (quando il momento è ancora basso) l’asse neutro è baricentrico ed

inclinato della quan tà calcolabile tramite la relazione

() = ()

Appena la prima fibra longitudinale collaborante alla robustezza esce dal campo lineare l’asse neutro si

sposta dal baricentro e incomincia a ruotare, all’aumentare del momento l’asse neutro con nua a spostarsi

e a ruotare. Quindi questa volta devo determinare sia la posizione ver cale ma anche la giacitura

(angolazione).

Andare a cercare una posizione dell’asse neutro facendo variare non più solo le infinite posizioni ver cali ma

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anche le infinite giaciture comporta infinito combinazioni che è difficile ges re.

Dobbiamo comunque determinare la posizione dell’asse neutro poiché ci serve per capire come è distribuita

la ε e quindi come è distribuita la Ϭ.

Una volta determinata la posizione dell’AN bisognerà individuare qual è la distribuzione di forze interne alla

sezione (quindi quanto sono allungate o accorciate tu e le fibre, quindi ciascuna di queste quanto ra o

spinge), integrando la distribuzione di queste forze interne mol plicate per la distanza da un asse

orizzontale e da un asse ver cale troviamo qual è il momento interno (che fa equilibrio al momento

esterno).

Individuazione asse neutro nel caso di flessione deviata non in campo elas co

La procedura è la seguente:

Invece che fissare qual è il momento esterno agente (ovvero in che piano agisce), si applica una flessione

(ovvero definisco, invece che il piano di sollecitazione, il piano di flessione) e si cerca di capire il momento

che la genera. Scelgo poi la curvatura

Se si impone il piano di flessione invece che quello di sollecitazione, automa camente si conosce la

giacitura dell’asse neutro, che è perpendicolare al piano di flessione, quindi nella determinazione della

posizione dell’AN non ho più il problema di dover conoscere quanto è inclinato perché lo so già, mi occorre

solo sapere a che quota si trova. Faccio quindi una ipotesi sulla posizione ver cale dello stesso.

Conoscendo dov’è l’asse neutro e quant’è la curvatura so come è distribuita la deformazione (in direzione

perpendicolare all’asse neutro in ragione della curvatura).

Con questa deformazione posso assegnare a ciascun elemento della sezione una sigma, tale sigma la posso

integrare e vedere se viene 0 oppure no. Se l’integrale è nullo, la posizione dell’asse neutro è corre a, se

non lo è si sposta ver calmente l’asse neutro parallelamente all’asse ipo zzato in precedenza (la giacitura

non la cambio perché so per certo che l’AN è perpendicolare al piano di flessione, quindi la giacitura è

giusta). Questo significa tornare al punto 3:

Quindi con una iterazione semplice (facendo variare una sola variabile ovvero la posizione ver cale) riesco a

trovare la posizione giusta dell’AN.

Tale posizione giusta mi da luogo a una distribuzione giusta di tensioni sulla sezione, tali forze interne le

integro in ragione della distanza da due riferimen (assi) arbitrari, ad esempio uno orizzontale e uno

ver cale e mi trovo la componente di momento fle ente interno ver cale e la componente di momento

fle ente interno orizzontale esercita dalle forze di deformazione interne alla trave. Tale momento,

cambiato di segno, è il momento che devo applicare sulla trave per realizzare quello stato di deformazione.

Avendo le due componen del momento applicato posso calcolare anche la sua inclinazione γ (che non sarà

uguale a quella del piano di flessione scelto inizialmente).

Tu o ciò serve a trovare un punto in un grafico momento-curvatura:

Fissato δ (ovvero fissato il piano di flessione) ipo zzo una certa curvatura (ovvero fisso l’ascissa del grafico) e

ricavo qual è il momento esterno che devo applicare. Qui si riporta il modulo del momento, ho trovato

quindi un punto del grafico.

Poi aumento la curvatura nello stesso piano, rifaccio tu i calcoli e trovo un nuovo momento il cui modulo

lo riporto sullo stesso grafico, faccio questo lavoro tante volte e ad un certo punto raggiungo il massimo

della curva. In corrispondenza di quel massimo mi interessa calcolare qual è γ, ovvero qual è la giacitura del

piano di sollecitazione in quella situazione di momento ul mo.

() = ()

Quindi conosco il modulo e la direzione del momento ul mo che devo applicare per rompere la trave

fle endola nel piano δ.

Le due coordinate M e γ le posso riportare riportare in un altro grafico dove riporto tu i massimi delle

u u

varie curve o enute a δ fissato.

Il significato della curva a dx è di rappresentare tu i pun di massimo momento che posso applicare sulla

trave (come modulo in ordinata e come angolo in ascissa). Quindi le coordinate di ciascun punto della curva

a destra mi dicono che se applico quel tale momento in quella direzione la trave si rompe. Questo grafico

serve a capire se la trave si rompe o meno se applico un momento x nella direzione y (se sono so o la curva

la trave non si rompe, se sono sopra la trave si rompe).

Se si parla di una flessione ver cale γ=0 o 180° (insellamento o inarcamento). I due pun di minimo rela vo

rappresentano l’insellamento e l’inarcamento, in mezzo intorno ai 90° abbiamo la flessione orizzontale,

no amo che la nave resiste meglio a flessione orizzontale (Mu maggiore), questo è dovuto alla forma

re angolare bassa della sezione trasversale della nave. Ovviamente durante la sua vita la nave non viene

flessa mai puramente orizzontalmente.

Dalla figura si nota che la nave resiste meglio in inarcamento, questo perché in inarcamento il fondo è

sogge o a compressione, in tale situazione una stru ura doppia come il doppio fondo ha un bel momento

d’inerzia e resiste bene a compressione, quando siamo in insellamento il ponte è in compressione e resiste

male.

Si no che la differenza tra i due momen fle en ul mi vale solo perché siamo in campo non lineare,

infa in campo non lineare abbiamo una differenza di comportamento in trazione e in compressione (in

par colare della stru ura del fondo e del ponte), in campo lineare non potremmo fare questa differenza

perché conta la distanza dall’asse neutro, il che significa che quando sono in insellamento vuol dire che la

stru ura del ponte è più compressa di quanto non sia tesa la stru ura del fondo, quan