Appunti di Controlli automatici

G G

2 3

dove G (jω) è la funzione elementare della costante di guadagno, G (jω) è quella del polo

1 2

nell’origine, G (jω) è quella del polo a fase minima, mentre τ = 0.1 è la costante di tempo.

3 p

Pertanto il diagramma dei moduli della G(jω) è pari alla somma dei moduli dei tre

contributi, e la fase è la somma dei tre. Calcoliamo alcune pulsazioni fondamentali per il

tracciamento dei diagrammi di Bode: ω

1 B

= 10 , ω = =1 , ω = 10ω = 100

ω = A C B

B τ 10

p ω

B = 2 , ω = 5ω = 50

ω =

a c B

5

La legge di variazione del modulo della funzione G(jω) espresso in decibel è pari a:

M = G (jω) + G (jω) + G (jω)

1 2 3

h i h i h i

2 2

− −

= + 20 + 20 log (ω) + 10 log (1 + 0.1 ω )

10 10

e quindi il diagramma di Bode dei moduli, riportato in figura 6.9, ottenuto per sovrapposizione

degli effetti e quindi anche come somma dei grafici elementari, intersecherà l’asse delle ordinate

−20

in +20 dB (primo termine di guadagno costante) e decrescerà di dB/dec (secondo termine)

−40

fino a ω oltre la quale l’attenuazione sarà di dB/dec (terzo termine).

B

La legge di variazione della fase della funzione G(jω) è pari invece alla somma di:

ϕ = G (jω) + G (jω) + G (jω)

6 6 6

1 2 3

π

h i h i h i

− −

= 0 + + arctan(ωτ )

p

2 ◦

−90

Come visibile dalla figura 6.9 la fase parte da un valore di a causa della presenza del

◦ ◦ ◦

−90 − −135

polo semplice nell’origine, passa attraverso la pulsazione di breack in 45 = e

◦

raggiunge 180 a causa della presenza del polo a fase minima.

52

Figura 6.9: Bode complessivo

◦

Esempio n 2

Tracciare i diagrammi di Bode della seguente funzione di trasferimento.

4(1 + j0.5ω)

G(s) =

2

ω 0.4ω

−

jω 1 + j2ω 1 + j

64 8

Soluzione

La rispettiva funzione di risposta armonica è pari a:

G

G 4

1 1 1 1

z }| {

z}|{ · · · ·

G(jω) = 4 (1 + j0.5ω)

jω 1 + j2ω 2

ω 0.4ω

−

1 + j

64 8

|{z} | {z }

G G

2 3 | {z }

G

5

dove in particolare alla G (jω) corrispondono:

5 ω = ω = 8 rad/s , δ = 0.2

B n

Dopo aver ricavato tutte le pulsazioni utili alla costruzione dei diagrammi di Bode

elementari si può tracciare quello della risposta armonica finale sommando i moduli espressi in

dB, e le fasi. Si ricavano i diagrammi di figura 6.10 dove, essendo delta compreso nell’intervallo

≤

di esistenza della risonanza (0 δ < 0.707), è presente il picco di risonanza in:

√

1

∼ ∼

√

2

− · →

ω = 8 1 2 0.2 8 rad/s M = 20 log 8 dB

= =

R 10 2

−

0.4 1 0.2

53

Figura 6.10: Bode complessivo

54

Capitolo 7

Progettazione dei sistemi di controllo

Si consideri un tipico esempio di sistema di controllo retroazionato come quello di figura

7.1, comprendente la funzione del controllore, del plant e del trasduttore.

Figura 7.1: Tipico sistema di controllo in retroazione

In un sistema di questo tipo compito del progettista è quello di far sı̀ che esso soddisfi

1

particolari specifiche di progetto riguardanti il suo comportamento dinamico

7.1 Margini di stabilità

Un altro metodo per verificare se un sistema in anello aperto sarà asintoticamente stabile

una volta messo in retroazione, è la valutazione dei margini di guadagno e di fase della

funzione di risposta armonica in anello aperto G(jω).

Il margine di guadagno rappresenta l’estremo superiore dei fattori moltiplicativi k del

guadagno di anello che un sistema in retroazione unitaria può tollerare senza perdere la

proprietà di stabilità asintotica. Pertanto esso fornisce una misura del grado di robustezza

della stabilità a fronte di possibili incertezze sul guadagno di anello, oppure il guadagno

ulteriore massimo che il sistema può sopportare prima di raggiungere la condizione critica di

stabilità (figura 7.2.a).

Il margine di fase invece può essere considerato come una misura del grado di robustezza

della stabilità a fronte di possibili incertezze sulla fase della funzione di anello in corrispondenza

della pulsazione critica, o equivalentemente l’ulteriore massimo ritardo puro che il sistema

può sopportare prima di raggiungere la condizione critica di stabilità (figura 7.2.b).

Si definisce a tal proposito pulsazione critica, la pulsazione alla quale il sistema è in

condizioni di semplice stabilità asintotica. In tali condizioni le pulsazioni di crossover

1 L’asintotica stabilità si ritiene da qui in poi scontata poichè ritenuto prerequisito fondamentale.

55

coincidono e risulta che i margini valgono:

ω = ω = ω

CG CF

|G(jω)| −π

= 1 , [G(jω)] =

6 ◦

Figura 7.2: Esempio di margini di fase: M = 65 e M = +∞

F A

I margini di stabilità sono indicatori specifici per la caratterizzazione della robustezza

di un sistema retroazionato nei confronti di variazioni non previste di modulo o fase della

funzione di guadagno di anello. La valutazione congiunta di questi due indicatori permette

una ragionevole stima dell’entità delle perturbazioni che il sistema può tollerare prima di

diventare instabile. Infatti il criterio di Bode afferma che affinché un sistema in retroazione

unitaria (che presenti solo poli nel semipiano destro e che attraversi l’asse a modulo unitario

2

solo una volta), è asintoticamente stabile se e solo se esso presenta un margine di fase positivo .

◦

Esercizio n 1

Data la funzione di guadagno riportata di seguito, determinare il valore del guadagno k

◦

ed il picco di risonanza M quando il margine di fase è pari a M = 50 . Ricavare infine la

P F

massima sovraelongazione percentuale M della risposta indiciale.

P % k

G(s) = 2

(s + 1)

Soluzione

La rispettiva funzione di risposta armonica è:

k k

→

G(s) = G(jω) =

2 2

(s + 1) (jω + 1)

2 Nelle ipotesi del criterio di Bode i margini di stabilità sono sempre concordi.

56 ◦

Per poter determinare il valore di k ricercato imponiamo che il margine di fase sia di 50 alla

pulsazione di crossover di guadagno ω :

CG

ϕ

z }| {

h i ◦ ◦ ◦

→ −135

M = G(jω ) +180 = 50 ϕ =

6

F CG

k k

[k] + +

ϕ = 6 6

6 (jω + 1) (jω + 1)

CG CG

◦

= 0 + 2[− arctan(ω )]

CG ◦

−2 −135

= arctan(ω ) =

CG

◦ →

ω = tan(65 ) ω = 2.14 rad/s

CG CG

Valutando ora G(jω ), ed essendo questa nota e pari a 1, possiamo trovare il valore di k:

CG

k 1 1 k

· · =1

M = = k = 2

p p

2

(jω + 1) 1 + ω

2 2

2 2

1 + ω 1 + ω CG

ω=ω CG CG

CG k →

=1 k = 5.58

2

1 + ω

CG

Ricaviamo ora la funzione di trasferimento in anello chiuso che ci servirà per il calcolo di

M :

P % 0

k

z}|{

5.58 5.58 6.58 6.58

0

· →

G (s) = = G (s) = k

0 0

2 2 2

s + 2s + 6.58 6.58 s + 2s + 6.58 s + 2s + 6.58

Ma sappiamo anche che: (

2 δ = 0.389

ω

6.58 0

0 n →

= k

G (s) = k

0 2 2 2

s + 2s + 6.58 s + 2δω s + ω ω = 2.56

n n

n

e perciò la massima sovraelongazione percentuale è pari a:

πδ

√

−

· →

2

M = 100 e M = 26.5%

1−δ

P % P %

Per quanto riguarda il picco di risonanza, verificato che effettivamente il sistema è di tipo

≤

sottosmorzato (0 δ < 0.707) e che quindi esiste una frequenza di risonanza, attraverso la

3

funzione di risposta armonica in anello chiuso possiamo ricavare che:

0

k

z}|{

5.58 5.58 6.58 6.58

0

· →

= G (s) = k

G (jω) =

0 0

2 2 2

− − −

6.58 ω + 2jω 6.58 6.58 ω + 2jω 6.58 ω + 2jω

da cui si ottiene il picco di risonanza: 1

0 √ → M = 1.18

M = k

R R

2

−

2δ 1 δ

3 Ricavata dalla funzione di trasferimento in anello chiuso valutata in s = jω.

57

◦

Esercizio n 2

Data la funzione di guadagno riportata di seguito, determinare il valore del guadagno

k, l’errore di velocità e ed il margine di fase M quando il margine di ampiezza è pari a

V F

M = 6 dB.

A k

G(s) = 2

s(1 + 0.5s)

Soluzione

La rispettiva funzione di risposta armonica è:

k 1

1 ·

·

G(jω) = = k

2 2

jω(1 + 0.5jω) jω (i + 0.5jω)

Ricaviamo la frequenza di crossover di fase che sarà necessaria per imporre la condizione sul

margine di ampiezza: h i ◦

−180

ϕ = G(jω ) =

6 CF

ω=ω CF

1 1 1

ϕ = [k] + + +

6 6 6 6

ω (1 + 0.5jω ) (1 + 0.5jω )

CF CF CF

◦

= 0 + [− arctan(ω )] + 2[− arctan(0.5ω )]

CF CF

◦ ◦ ◦

− −180

= 0 90 + 2[− arctan(0.5ω )] =

CF

◦ ◦

→

arctan(0.5ω ) = +90 ω = tan(45 ) = 2 rad/s

CF CF

Imponiamo la condizione sul margine di ampiezza alla frequenza di crossover di fase:

1

M = = +6 dB

A G(jω )

CF 2

−20 log[k] + 20 log[ω ] + 20 log 1 + 0.5jω ) = +6

CF CF

2 2

−20 −

log[k] + 20 log[ω ] 20 log[1 + 0.5 ω ] = +6

CF CF

−20 log[k] + 6.02 + 6.02 = +6

→

20 log[k] = 6.04 k =2

Calcoliamo ora la pulsazione di crossover di guadagno (che ci servirà per calcolare poi il

margine di fase) ponendo il modulo della funzione di risposta armonica pari a: ω :

CG

1 1 1

√ √

· · ·

M = G(jω ) = 2 =1

CG ω 2 2

1 + 0.5ω 1 + 0.5ω

CG CG CG

2 →

=1 ω = 1.36 rad/s

CG

2

2

ω 1 + 0.5 ω

CG CG

Adesso possiamo ricavare il margine di fase:

◦

M = [G(jω )] + 180

6

F CF

1 1 1 ◦

= [2] + + + + 180

6 6 6 6

ω (1 + 0.5jω ) (1 + 0.5jω )

CF CF CF