Appunti di Analisi matematica 1 su insiemi e funzioni

Insiemi e funzioni

Insieme = collezione di oggetti ben definiti e distinti

Rappresentazioni possibili: denotazione per caratteristica, per diagrammi

È dato l'insieme A = {a, b, c}. L'insieme delle parti di A è

P(A) = {A, ∅, ...

Operazioni tra insiemi

UNIONE

A e B → A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B

Intersezione / Differenza / Complementare

Disgiunti: se la loro intersezione è vuota.

Il prodotto cartesiano

Consideriamo due insiemi A e B. Si definisce il prodotto cartesiano

A × B come l'insieme

A × B = {(x, y) | x = (a, b), a ∈ A, b ∈ B}

Esempio

Consideriamo gli insiemi A = {a, b} e B = {c, d}. Il prodotto cartesiano

A × B è

A × B = {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}

Invece B × A è

Insiemi e funzioni

Insieme = collezione di oggetti ben definiti e distinti

Rappresentazioni possibili: elencazione per caratteristica, per diagrammi

È dato l'insieme A = {a, b, c}. L'insieme delle parti di A è

P(A) = {A, ∅}

Operazioni tra insiemi

• Unione

A e B ⇒ A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

Intersezione / Differenza / Complementare

Disgiunti: se la loro intersezione è vuota.

Il prodotto cartesiano

Consideriamo due insiemi A e B. Si definisce il prodotto cartesiano

A × B come l'insieme

A × B = {x | x = (a, b), a ∈ A, b ∈ B}

Consideriamo gli insiemi A = {a, b} e B = {c, d}. Il prodotto cartesiano

A × B è

A × B = {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}

Invece B × A è

B x A = {(c, e), (c, b), (d, a), (d, b)}

A x B ≠ B x A

Cenni agli insiemi numerici

(l’insieme N (numeri naturali)

L’insieme Q dei numeri razionali

L’insieme Q è qui definito come l’insieme dei numeri razionali:

insieme di numeri che hanno dopo la virgola un numero infinito di

cifre che si ripetono periodicamente.

Teorema = La soluzione dell’equazione x²=2 non appartiene

all’insieme Q

Numeri trascendenti = (π, e)

Insiemi Ordinati

Una relazione d’ordine ≤ su A è una relazione che verifica una

delle seguenti proprietà

Riflessiva, Antisimmetrica, Transitiva

Diversi tipi di relazioni d’ordine:

• Ordine totale

Se ogni coppia elementi di A sono confrontabili:

• Buon ordine

Se esiste un elemento a∈A tale che a≤b per

ogni b∈A

Il principio di induzione

Il principio di induzione si basa sull'assioma di induzione. Esso afferma che se P(m) è una proprietà che dipende da n numero naturale tale che:

• P(0) è vera
• P(m) vera implica P(m+1) è vera

allora P(m) è vera per ogni n numero naturale

Funzioni

Una funzione dell'insieme A all'insieme B è una associazione fra i due insiemi tale che per ogni elementi di A viene associato uno e un solo elemento di B.

A = Dominio B = CodominioL'associazione dei due insiemi è chiamata legge della funzione

Esempio

A = {a,b,c} B = {1,2,3} allora la legge f definita come { (a,1), (b,2), (c,3) }

Consideriamo nell'esempio precedente

si ha f(c) = 1 , si dirà che l'elemento

c ∈ A ha come "immagine" tramite f

l'elemento 1 ∈ B [ 1 è immagine di c ]

[c è contro-immagine di 1 ]

Funzioni iniettive e suriettive.

Funzione iniettiva:

Una funzione f: A ⟶ B è iniettiva se esiste

una corrispondenza uno ad uno tra dominio e

insieme delle immagini.

Oppure possiamo dire che una funzione è iniettiva

se ogni elemento del codominio ammette

al più di una controimmagine.

Un altro modo per dire che una funzione è iniettiva è

Una funzione f: A → B è iniettiva se

f(x) = f(y) ⇒ x = y

FUNZIONE SURGETTIVA

Una funzione f: A → B è suriettiva se l'insieme delle immagini è uguale al codominio

Oppure possiamo dire che una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio ammette almeno una contro-immagine.

A = { a, b, c, d }   B = { 1, 2, 3 }

Funzione Bigettiva

Una funzione f: A → B è bigettiva se è iniettiva e suriettiva

A = {a, b, c} B = {1, 2, 3}

[corrispondenza perfetta]

Funzioni Composte

Affrontiamo ora la questione della composizione di funzioni

siano date due funzioni f: A → B g: B → C

Vogliamo definire una nuova funzione avente Dominio A e Codominio C che applica prima g e poi g

si definisce la funzione f composta g

g ◦ f: A → C la cui legge di

(g ◦ f) = g(f(x))

È data una funzione f: A → B con legge

y = f(x). La funzione f si dice

invertibile se esiste una funzione g: B → A

tale che

g ∘ f = i_A

f ∘ g = i_B

Se una tale funzione g esiste, diciamo

che è la funzione inversa di f, ed indicato

in genere con f^-1

Una funzione è invertibile

SE E SOLO SE è Biiettiva

Questo perché solo per una funzione bigiettiva

se la percorro dal codominio al dominio ho

ancora una funzione.

ESERCIZI

1. Siano A = {1, -3, 2} B = {6, 2} Determinare

• (a) A ∪ B
• (b) A ∩ B
• (c) A - B
• (d) A × B