Appunti di Algebra e geometria

Esame Algebra e geometria

Facoltà Ingegneria ii

Dal corso del Prof. Cantarini Nicoletta

Università Università degli Studi di Bologna

Appunti esame

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Matrici.
Algoritmo di Gauss.
Soluzione di sistemi lineari parametrici e non.
R-spazi vettoriali: definizione ed esempi.
Lo spazio vettoriale Rn; lo spazio vettoriale delle matrici mxn ad entrate reali. Sottospazi vettoriali. Esempi e controesempi.
Combinazioni lineari e generatori di uno spazio vettoriale.
Spazi vettoriali finitamente generati: esempi e controesempi.
Intersezione, unione e somma di sottospazi.
La formula di Grassmann.
Dipendenza e indipendenza lineare.
Basi di uno spazio vettoriale. Esistenza di una base di uno spazio vettoriale finitamente generato.
Dimensione di uno spazio vettoriale.
Coordinate di un vettore rispetto ad una base.
Somma diretta di sottospazi vettoriali.
Applicazioni lineari tra spazi vettoriali: definizione, esempi e controesempi.
Costruzione di applicazioni lineari, condizioni di esistenza e/o unicita`.
Studio di una applicazione lineare: nucleo e immagine. Iniettivita` e suriettivita`.
Teorema delle dimensioni e sue conseguenze.
Controimmagine di un vettore mediante una applicazione lineare. Varieta` lineari.
Matrici associate ad una applicazione lineare.
Rango di una matrice.
Teorema di Rouche' Capelli.
Prodotto di matrici, composizione di applicazioni lineari.
Matrici invertibili e calcolo dell'inversa di una matrice.
Cambiamenti di base.
Matrici simili.
Determinante e sue proprieta`.
Autovalori e autovettori di un endomorfismo.
Autospazi e loro proprieta`.
Polinomio caratteristico.
Molteplicita` algebrica e molteplicita` geometrica di un autovalore e relazione fra di esse.
Matrici diagonalizzabili: definizione, esempi, controesempi.
Diagonalizzabilita` di una matrice su R: condizioni necessarie e sufficienti.
Studio della diagonalizzabilita` di una matrice dipendente da uno o piu parametri.

…continua

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