Appunti del corso Tecnologie delle strutture aerospaziali metalliche e in composito (parte 4)

DOMANDE

1. Descrivere i parametri che intervengono nell’equazione costitutiva di una lamina

ortotropa (Legge di Hooke generalizzata) per un sistema di assi qualsiasi

2. Per quale motivo nei laminati ortotropi simmetrici la matrice B che compare

nell’equazione del laminato è identicamente nulla

Parliamo di meccanica del continuo.

Ci serve il concetto di tensione all’interno del corpo. Capiamo cos’è uno sforzo interno (stato

tensionale) e vediamo come questo è rappresentato dal tensore degli sforzi. Assegnata una

giacitura di un piano che seziona il corpo nel punto , noto lo stato tensionale, è possibile

calcolare il vettore dello sforzo.

A questo punto vorrei un sistema di riferimento che mi consenta di confrontare le

componenti del vettore dello sforzo che si sviluppa all’interno del materiale.

Per svolgere questo passaggio arriviamo alla definizione di sistema principale all’interno del

corpo. Inoltre nei compositi non è vero che la risposta del materiale è uguale lungo tutte le

direzioni quindi capire chi è il sistema di riferimento principale per gli sforzi è un passo

importante.

● Prendiamo un certo corpo dotato di una certa massa in uno spazio e fissiamo un

sistema di riferimento cartesiano

● Fissato il volume possiamo applicare forze e momenti esterni e ciò che si origina

all’interno del corpo è uno stato tensionale

● Prendiamo un piano che seziona il corpo e un punto P appartenente a tale

intersezione

● Allontanando le due parti si creano delle forze interne. Queste hanno luogo perché le

due parti sono attaccate e il corpo per ipotesi è bilanciato in ogni sua parte

● Se prendo un dS le forze che si scambiano le due parti sono una forza e un

momento che in generale hanno 3 componenti ciascuna

● Se facciamo il limite della superficie dS che tende a zero il rapporto F/dS tende a una

tensione t che definiamo t(n) cioè il vettore dello sforzo dove n è la normale alla

superficie

● t(n) è la tensione interna al materiale nel punto P. l’unità di misura è il Pascal [Pa]. Le

componenti di t(n) variano in funzione alla normale che si prende. Ovvero di come è

stato preso il piano per sezionare il corpo nel punto P

● Se prendo il rapporto M/dS siccome il braccio tende a diventare nullo. Il rapporto

tende a zero

● All’interno del corpo posso descrivere le azioni interne come delle tensioni attraverso

il vettore dello sforzo.

Arrivati a questo punto non sò dire niente sullo stato tensionale del corpo nel punto . Ma sò

che definita una giacitura di un piano che contiene anche il punto , riesco a capire chi è il

vettore dello sforzo. Siccome per un punto ci passano infiniti piani mi devo riferire a un

sistema di riferimento principale. Cauchy dimostra che noto il vettore dello sforzo lungo tre

superfici si può determinare qualsiasi vettore dello sforzo lungo qualsiasi direzione. Quindi i

gdl del sistema scendono da infinito alla due a 6.

STUDIO L’INTORNO DEL PUNTO P CON TETRAEDRO DI CAUCHY

Lo scopo dell’utilizzo del tetraedro di cauchy è che con tale metodo io riesco a definire il

sistema di riferimento x1 x2 x3 detto principale. In questo modo è possibile poter confrontare

i risultati che ottengo lungo una componente del vettore di sforzo in due punti distinti dello

spazio.

Prendiamo il punto e rinchiudiamolo in un tetraedro fatto così:

ci mettiamo sopra l’orientazione nel sistema di riferimento fissato e dopodichè faccio

passare un piano che seziona gli assi x1 x2 e x3 . La nostra superficie dS la facciamo

passare molto vicino al punto P. Ho un piano che mi seziona lo spazio in due. Dopodiché se

faccio passare un piano lungo gli assi di riferimento per ciascuna direzione come risultato di

questa operazione ottengo un tetraedro. Per denominare le superfici che si sono andate a

originare utilizzo i versori della terna del sistema di riferimento che ho utilizzato. EX.

= · = ( )

Su tali superfici agisce una certo sforzo che si oppone allo sforzo .

( ) ()

FACCIAMO IL BILANCIO DELLE FORZE

Otteniamo un'equazione che mi definisce l’equilibrio. Facendo il limite le forze di volume

tendono a sparire. Inoltre devo riferire l’equazione alla superficie dAn con la relazione scritta

sopra. Infine nomino i coseni come i coseni direttori pervenendo alla seguente relazione

() (1) (2) (3)

= + +

1 2 3

In questo modo ho espresso un generico stato di tensione attraverso 3 sforzi localizzati in 3

superfici ortogonali tra di loro . La stessa cosa la posso fare per un’altro punto generico.

In questo modo riferisco due generici stati di tensione in uno stesso sistema di riferimento

comune.

t1 t2 t3 sono 3 vettori. Ciò significa che tn è descritta da 3 componenti che dipendono a loro

volta da 3 parametri.

Prendiamo una superficie . In tale superficie agisce il vettore dello sforzo che in

generale ha 3 componenti. Il valore scalare della componente lo indichiamo con la lettera

sigma ()

= σ + σ + σ

1 1 2 2 3 3

Queste sigma, per le superfici che abbiamo determinato, sono in totale 9. Ecco perché

abbiamo detto che il generico vettore di sforzo ha 3 componenti che a loro volta dipendono

da 3 parametri. In generale lo stato tensionale del materiale è descritto da 9 parametri.

Posso anche scrivere in forma matriciale. È sufficiente prendere il vettore e i vettori e

1 2

ed impilarli uno sull’altro.

3

in questo modo esce la formula 9.6.

La generica rappresentazione di un stato tensionale è descritta univocamente rispetto al

sistema di riferimento.,

A questo punto devo distinguere le tau dalle sigma.

Posso dire che la matrice ha delle simmetrie per questioni energetiche. Ciò vuol dire che

solo 6 componenti sono indipendenti tra di loro.

Si può utilizzare la rappresentazione di voigt oppure la rappresentazione matriciale per lo

stato tensionale.

FACCIAMO BILANCIO FORZE SU UN VOLUME FINITO IN MODO TALE DA RICAVARE

LE EQUAZIONI DI EQUILIBRIO DEL SISTEMA.

Prendiamo il nostro sistema di riferimento x1 x2 x3 e prendiamo un cubetto di materiale. Su

questo cubetto agiscono delle forze volumetriche e su ogni faccia agiscono delle forze di

tensione.

Lui prende un volumetto di materia e ci applica le forze in modo tale da considerare

l’equilibrio del corpo. In generale un corpo in due diversi punti non ha la stessa tensione.

Perciò passando da una faccia all’altra ho un gradiente dello sforzo.

Detto ciò studiamo l’equilibrio per la faccia . Fissiamo il sistema di riferimento nel punto p

1

con verso delle crescenti.

1

Poniamo le variazioni delle sigma lungo le direzioni x1-x2-x3. Infine otteniamo le seguenti

equazioni ∂σ ∂σ ∂σ

11 12 13

+ + + = 0

∂ ∂ ∂ 1

1 2 3

∂σ ∂σ ∂σ

21 22 23

+ + + = 0

∂ ∂ ∂ 2

1 2 3

∂σ ∂σ ∂σ

31 32 33

+ + + = 0

∂ ∂ ∂ 3

1 2 3

= , ∀ ∈ ∂

Perciò le forze di volume interne cambiano lo stato di sforzo. Quando sto sulla superficie ho

una forza esterna che bilancia lo stato di sforzo. Tale rappresenta una condizione al

contorno.

Ho scritto un problema differenziale attraverso l'equazione di bilancio più le condizioni al

contorno.

MI SONO OCCUPATO DEL PROBLEMA DI EQUILIBRIO A QUESTO PUNTO MI OCCUPO

DEL PROBLEMA CINEMATICO

A questo punto mi devo occupare della deformazione. Anche la deformazione è

rappresentata da un tensore simmetrico quindi ho 6 g.d.l. e l’equazione che lega le

deformazioni agli spostamenti è rappresentata dall’equazione di congruenza

= ∇

In generale la deformazione è espressa in funzione dello spostamento. Nell’equazione

−

di congruenza tengo in considerazione solo della parte lineare. Ciò è valido solo per piccoli

spostamenti. Ottengo l’equazione di congruenza trascurando i termini di ordine superiore al

secondo. Questo perché il prodotto di due quantità piccole mi fornisce una quantità ancora

più piccola.

Infine definisco le componenti 1.2-1.3-2.3 come gli scorrimenti. Perciò

γ = 2ε

A QUESTO PUNTO CI SIAMO DOTATI DELLE EQUAZIONI DI EQUILIBRIO E DELLE

EQUAZIONI DI CONGRUENZA. OCCORRE STABILIRE UN PONTE TRA LE TENSIONI E

LE DEFORMAZIONI. CIÒ È SVOLTO NELLE EQUAZIONI COSTITUTIVE

Per definire il comportamento elastico meccanico di una struttura mancano le equazioni

costitutive. Tali mi permette di passare dallo stato di deformazione al conseguente stato

tensionale.

Manca del continuo il “di come è fatto sto materiale”.

Nelle equazioni costitutive si tiene in considerazione di cosa è fatto il materiale.

Dunque tali legano il tensore degli sforzi al tensore delle deformazioni.

Le equazioni costitutive mi sanciscono di cosa è fatto il materiale.

Al più il legame costitutivo è tenuto in considerazione da 36 componenti. Ma siccome anche

il tensore che descrive il materiale è simmetrico i g.d.l. per un materiale generico sono 21

possibili componenti. Perchè ho 15 elementi sopra la diagonale principale e altri 15 sotto.

Mentre 6 elementi sono sulla diagonale principale. Dunque a causa della simmetria 15

elementi sono uguali. Perciò 36-15= 21.

La matrice può essere divisa in 4 regioni. Nella prima ho il legame tra gli sforzi normali e le

deformazioni normali. La quarta lega le deformazioni di taglio a un corrispondente sforzo di

taglio e poi ci sono i termini misti cioè delle deformazioni di taglio che provocano degli sforzi

normali.

LEZIONE 29/04/2024

Nella lezione precedente ho visto come il vettore dello sforzo è influenzato dalla normale con

cui si sceglie il piano passante per il punto e come possiamo riferirci al sistema di

riferimento principale. Anche la deformazione è un tensore del secondo ordine, è

simmetrico, quindi ha 6 g.d.l.

Tra il tensore delle deformazione e il tensore degli sforzi c'è un legame definito dal legame

costitutivo rappresentato dal tensore di elasticità lineare C. Tale tensore è del quarto ordine.

In classe lo scrive in formulazione di Voigt. In questo modo è possibile scrivere il tensore del

quarto ord