Appunti del corso completo di Fisica 1

I NUMERI

I numeri naturali sono interi positivi e appartengono all’insieme _N.

I numeri razionali sono tutti i numeri che si possono scrivere nella forma ^p/_q, con p, q ∈ ℤ e R appartengono all’insieme ℚ.

Esiste un metodo per contare i numeri razionali che si basa sullo scrivere i numeri interi in una sorta di tabella.

• Ogni tratto corrisponde a un numero, con il numero della colonna al numeratore e quello della riga al denominatore.
• Proseguendo con il processo indicato si coprono tutte le possibili frazioni.
• Tra numeri razionali e numeri naturali c’è corrispondenza biunivoca.

Teorema fondamentale dell’aritmetica

Ogni numero intero può essere scritto come primi. La fattorizzazione è univoca a meno dell'ordine dei fattori.

Eg. 81584 = 2 × 5 × 41 × 83;

Numeri irrazionali

I pitagorici scoprono i numeri razionali.

c² = a² + b², se a = b = 1, c² = 2, c = √2

Si chiedono se esistono p, q t.c ^p/_q = √2

Dimostrazione: p e q non devono avere divisori in comune — √2 non è razionale.

I numeri IRRAZIONALI insieme ai numeri razionali formano l'insieme dei numeri reali.

π, √ 2 e Φ=1,15 sono degli irrazionali, in particolare sono TRASCENDENTALI perché non sono mai soluzioni di un'equazione algebrica.

RAPPRESENTAZIONE DECIMALE DEI NUMERI:

{¹/₃=0,3   1,2 ¹/₂ ecc}

Tutti i numeri razionali hanno una rappresentazione decimale finita o periodica.

Tutti i numeri irrazionali invece hanno una rappresentazione decimale infinita (che non si ripete mai).

Si dice che l'insieme dei reali è più "grande" di quello dei razionali perché i numeri REALI non si possono contare ma si possono mettere in corrispondenza biunivoca.

Dimostrazione di Cantor:

1. (0,0000000 (lo 0 è sottointeso)
2. 0,3333333
3. 1,403774
4. 9,3976
5. 6,273873

Cantor vuole dimostrare che c'è sempre un numero tra 0 e 1 che non riesco ad abbinare a un numero naturale.

→ Applico la regola della diagonale, considerando la prima cifra del primo numero, la seconda del secondo ecc.

Ottengo il numero reale 0,13477. Ora cambio ogni cifra del numero e la sostituisco con quella successiva, ottengo:

0,24388 Questo numero differisce da ogni numero reale che avevo considerato e quindi non lo posso abbinare.

NUMERI COMPLESSI

Z = 9 + ip,   dove i = √ -1

UNITÀ DI MISURA

Le leggi della natura sono esprimibili in un linguaggio della matematica.

Si è CAMPIONE si usa come unità di misura, e tutte le grandezze fisiche sono esprimibili tramite le unità di misura del SI:

• lunghezza (m) = il metro è lo spazio percorso dalla luce in un tempo 1/c

REGOLA DELLA CATENA (chain rule)

riguarda le funzioni composte. f(t) = h(g(t))

g'(t) = _dh / _dg _dg / _dt

Esempio: g(t) = (3t+2)³ g'(t) = 3(3t+2)² · 2t

REGOLA DEL RAPPORTO

Se ho f(t) = u(t) / v(t) = u(t) · [v(t)]^-1 = u'(t)Δt(t) - u(t)Δr'(t) / [v(t)]²

Esempio: g(t) = sen(t) / t g'(t) = cos(t) · t - i · sen(t) / t² = t cos(t) + i sen(t) / t²

Esercizio

g(t) = a^t g'(t) = ?

lnf(t) = lna^t = ln g(t) = t ln a d(ln g(t)) = d(t ln a)

1/1 · _df / _dt = ln a = _dg / _dt · g ln a → g'(t) = a^t ln a

USO DELLE DERIVATE PER LE FUNZIONI

g''(t) = 0

Dove g''(t) > 0 ho un minimo (se g'(t) > 0)

Dove g''(t) < 0 ho un massimo (se g'(t) = 0)

DERIVATE DEI VETTORI

dati due vettori V(t) e V(t + Δt),

trovo il vettore risultante di V(t+Δt) - V(t) e trovo ΔV = V(t+Δt) - V(t)

_dV(t) / _dt = lim Δt→0 V(t+Δt) - V(t) / Δt

Proprietà:

_d(V₁ + V₂) / _dt = _dV₁ / _dt + _dV₂ / _dt

_dmV / _dt = m _dV / _dt

_d(a̅×b̅) / _dt = a̅ × _db̅ / _dt → vale sia per il prodotto scalare che vettoriale.

Dato un vettore in componenti:

V(t) = N_x(t) î_x + N_y(t) î_y + N_z(t) î_z

_dV / _dt = N'_x(t) î_x + N'_y(t) î_y + N'_z(t) î_z → (derivate delle componenti)

CINEMATICA

Se ho \( \frac{dy}{dx} = g(x) \)

• \( dy = g(x) dx \)
• \( \int_{y_0}^{y} dy = \int_{x_0}^{x} g(x) dx \)

\( y(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} g(x) dx \) - equazione utile per la cinemàtica

\( \int_{x_0}^{x} \frac{dx}{dt} dx = 0 \rightarrow dx = v dt \)

\( \int_{x_0}^{x} dx = \int_{0}^{t} v dt \)

\( x(t) - x_0 = 0 \rightarrow x(t) = x_0 \) - retta orizzontale (parallela a t)

\( x' = v \rightarrow \int_{x_0}^{x} dx = v_0 dt \)

\( \int_{x_0}^{x} dx = \int_{0}^{t} v dt \rightarrow x(t) - x_0 = v (t - t_0) \)

\( x(t) = v(t-t_0) + x_0 \) - LEGGE ORARIA DEL MOTO RETTILINEO UNIFORME.

Se \( v = x' \) - \( x'' = 0 \) (accelerazione nulla)

\( v = 0 \rightarrow v(t) = v_0 \)

MOTO ACCELERATO

• \( a = x'' \) - a non è una funzione del tempo se il moto è uniformemente accelerato
• \( v' = a \rightarrow dv = a dt \)
• \( v(t) = v_0 + a(t-t_0) \) → EQUAZIONE DIFFERENZIALE PER 2 e X
• \( x' = v_0 + a(t-t_0) \rightarrow \frac{dx}{dt} = v_0 + a(t-t_0) \rightarrow dx = v_0 dt + a(t-t_0) dt \)

\( \int_{x_0}^{x} dx = \int_{v_0 t_0}^{v_0 t} + \int_{a t_0}^{a t(t-t_0)} dt \)

\( x(t) - x_0 = v_0(t-t_0) + a\frac{(t-t_0)^2}{2} \)

\( x(t) = x_0 + v_0(t-t_0) + \frac{1}{2}a(t-t_0)^2 \)

LEGGE ORARIA del moto uniformemente accelerato → a NON dipende dal tempo.

27/03

CINEMATICA DEL PUNTO

Si occupa del moto dei corpi (puntifòrmi). Per studiare il moto devo per prima cosa determinare un sistema di riferimento.

1. \( OP = \vec{r}(t) = X(t) \hat{i}_x + Y(t) \hat{i}_y + Z(t) \hat{i}_z \)
2. \( \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \frac{dx}{dt} \hat{i}_x + \frac{dy}{dt} \hat{i}_y + \frac{dz}{dt} \hat{i}_z \)
• \( v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec{r}(t+\Delta t) - \vec{r}(t)}{\Delta t} = v \hat{u} \) - Versore tangente alla traiettoria del punto
• La \(\vec{v}\) istantanea è tangente alla traiettoria.

REAZIONE VINCOLARE

∑ = 0 la somma delle forze verticali è uguale a 0

P + N = 0 dove N è la reazione vincolante del piano esercitata sulla massa a causa del principio di azione e reazione

FORZA DI ATTRITO

È dovuta al fatto che nessuna base è liscia, e si divide in:

• Forza di attrito statica, che agisce quando il corpo è fermo e si oppone all'inizio del suo movimento. Non è sempre uguale ma è adattata in base alla forza che si applica: Fas ≤ μsN La forza aumenta se aumenta N ed è massima per Fas = μsN
• Forza di attrito dinamica, che agisce quando il corpo si muove e si oppone al suo movimento: Fad = μdN

μs e μd sono diverse e in genere μs è più grande

PIANO INCLINATO

Nel caso in cui non ci sia attrito l'unica equazione del moto è: F = ma

Se il moto è solo su una direzione

• Lungo la x le forze sono: F = mgsinθ
• Lungo la y le forze sono: Fcosθ - N = 0

a = (m sinθ - g sinθ) / m x = mgsinθ (equazione del moto)

Nel caso in cui ci sia attrito lungo la x agisce anche la forza di attrito statico.

X : F = mgsinθ - Fas dove Fas ≤ μs mgcosθ

Affinché il corpo si muova Fsinθ - Fas > 0 -> mgsinθ > μs mgcosθ

-> tanθ > μs

TENSIONE DEI FILI

I fili ideali sono corde inestendibili con lunghezza costante e massa uguale a 0. Se la corda si muove tutte le sue parti si devono muovere con la stessa velocità.

Le due tensioni del filo devono essere uguali.