Appunti corso di fisica 1, parte di meccanica e elettrostatica

O O

Passando alle velocità si ha: dove l’ultima componente è chiamata

= ′ + ′ + ′

velocità di trascinamento.

Per le accelerazioni invece: = ′ + ′ + (′) + ′ + 2′

Un sistema di riferimento non inerziali è un sistema in moto accelerato oppure in rotazione

o entrambi, rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Si ha quindi:

che può essere riscritta come F+F =ma’

= ′ + + app

Lavoro, Energia e Momenti

ovvero l’integrale della forza lungo la traiettoria. Il lavoro della somma delle forze è pari alla somma dei lavori

=

∫

delle singole forze agenti.

La potenza corrisponde al lavoro per unità di tempo: potenza istantanea

=

Teorema dell’energia cinetica: il lavoro compiuto dalla risultante delle forze nello spostamento di un pto materiale

= ∆

dalla posizione A alla posizione B è uguale alla variazione dell’energia cinetica del pto materiale stesso.

Lavoro della forza peso: = −( − )

1 2

2

Lavoro della forza elastica: = − ( − )

2

Lavoro della forza di attrito: = −

∫

Le forze per cui il lavoro non dipende dal percorso sono chiamate forze conservative, per esempio il lavoro della forza

d’attrito dipende dal percorso e quindi è una forza non conservativa.

L’energia potenziale è: e può essere definita solo per le forze conservative.

= −

∫

, 0

e la variazione di energia potenziale è uguale in modulo al lavoro della forza: = −∆

1 2

E della forza peso: , E della forza elastica è:

= =

P P

2

Se agiscono solo forze conservative si ha la conservazione dell’energia meccanica che è: E =E +E .

m P k

Quando invece agiscono anche forze non conservative si ha dove W è il lavoro delle forze non conservative.

= ∆ nc

Il momento angolare rispetto ad un polo è il momento del vettore quantità di moto: = = .

Il momento di una forza è: M = r x F.

Teorema del momento angolare: = ⁄

Teorema del momento dell’impulso: , la variazione di momento angolare è uguale al momento dell’impulso.

= ∆

Dinamica dei sistemi di punti materiale i(E) i(I)

La forza F agente sul punto si può pensare come somma delle forze esterne F e delle forze interne F agenti sul punto.

i

Il centro di massa di un sistema di punti materiale è definito come il punto geometrico la cui posizione è individuata con

∑ ∑ ∑

m r dr m v dv m a

, la velocità con e l’accelerazione con

i i cm i i cm i i

r = v = = a = =

cm cm cm

∑ ∑ ∑

m dt m dt m

i i i

Il teorema del centro di massa dice: il centro di massa si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la

massa del sistema e a cui sia applicata la risultante delle forze esterne.

Se il sistema di punti non è soggetto a forze esterne, la quantità di moto totale del sistema rimane costante nel tempo e il

centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme o resta ferma.

Il teorema del momento angolare stabilisce: se il polo O è fisso nel sistema di riferimento inerziale o coincide con il centro

dL

(E)

di massa, il momento angolare è influenzato dal momento delle forze esterne rispetto ad O, .

M = dt

(E) (E)

Se il momento M è nullo, il momento angolare si conserva. M =0 può verificarsi quando non agiscono forze esterne o

quando il momento è nullo rispetto ad un determinato polo, ma non rispetto ad un polo qualsiasi.

Teoremi di König:

Primo teorema: ovvero il momento angolare del sistema si può riscrivere, nel

L = L' + r x mv = L' + L

cm cm cm

sistema di riferimento inerziale, come somma del momento angolare dovuto al moto del centro di massa e di

quello del sistema rispetto al centro di massa.

1 2

Secondo teorema: ovvero l’energia cinetica del sistema di punti si può riscrivere,

E = E ' + mv =E '+E

K K cm K K,cm

2

nel sistema di riferimento inerziale, come la somma dell’energia cinetica dovuta al moto del centro di massa e di

quella del sistema rispetto al centro di massa.

Teorema dell’energia cinetica: il lavoro complessivo fatto dalle forze esterne ed interne che agiscono su un sistema di punti

materiali è uguale alla variazione dell’energia cinetica dello stesso sistema tra la configurazione finale e quella iniziale:

(E) (I)

W +W =E -E ∆E

k,B k,A= k

Dinamica del corpo rigido

Un corpo rigido è definito come un sistema di punti materiali in cui le distanze tra tutte le possibili coppie di punti non

possono variare.

Moti di un corpo rigido:

1. Moto di traslazione: tutti i punti descrivono traiettorie eguali con la stessa velocità v che corrisponde alla velocità

del centro di massa v Non essendoci movimento rispetto al centro di massa si ha L’=0 ed E ’=0.

cm. k

1 2

Si ha P=mv ed E = mv

cm k cm

2

2. Moto di rotazione: tutti i punti descrivono un moto circolare e hanno tutti in un dato istante la stessa velocità

dL

angolare parallela all’asse di rotazione. L’eq. base è .

M = dt

3. Moto di rototraslazione: ogni movimento infinitesimo può essere sempre considerato come somma di una

traslazione e di una rotazione infinitesime.

Equilibrio statico: F=0 e M=0 ovvero v =0 e = 0.

cm

Assumendo l’asse z come asse di rotazione e quindi parallelo si ha:

dL = dm r R

La proiezione di L sull’asse z è dove I è il momento d’inerzia del corpo in questo caso rispetto all’asse z.

L = I

z z 1 2

Nel caso in cui L sia parallelo a si ha: che è l’eq. del moto di rotazione e .

M = I E = I

z k z

2

Momento d’inerzia principali forme geometriche:

2 2 2

I = ∫ dmR = ∫ dm(x + y )

Teorema di Huygens-Steiner: il momento d’inerzia di un corpo

di massa m rispetto ad un asse a distanza a dal centro di

massa del corpo vale: 2

I = I + ma

c

e l’energia cinetica vale: 1 1

2 2

E = I + mv

k z' cm

2 2

Moto di puro rotolamento: moto di un corpo di forma cilindrica o sferica che si trova sopra un piano e si muove rispetto ad

esso in cui la velocità del punto di contatto è nulla (es. il moto di una ruota). C’è una forza di attrito stativo tra piano e corpo.

Le due formule principali per questo moto sono: e

v = r a = r.

cm cm

F F

Mentre per la forza di attrito si ha: e dove F è la forza orizzontale applicata all’asse.

f = a =

cm

mr2 I

m(1+ )

1+ mr2

I M I

- F

mr2

Se oltre a F è applicato anche un momento M: .

r

f = I

1+ 2

mr

Pendolo composto: corpo che oscilla per azione del proprio peso.

mgh 2

La pulsazione e il periodo

Ω = T =

√ I Ω

z

L’impulso angolare J: momento dell’impulso. L’applicazione dell’impulso provoca una variazione della quantità

∆L = r x J

di moto e una variazione del momento angolare.

Urti tra punti materiali

Si usa il termine urto quando due corpi vengono bruscamente a contatto. Quando due corpi si urtano senza forze esterne

applicate si verifica la conservazione della quantità di moto totale durante l’urto.

Gli urti si dividono in tre tipologie:

1. Urto elastico: in questo tipo di urto oltre alla quantità di moto si conserva anche l’energia cinetica del sistema

2. Urto completamente anelastico: i due corpi dopo l’urto rimangono attaccati formando un unico corpo

m v +m v , non c’è conservazione dell’energia cinetica.

1 1 2 2

v =

cm m +m

1 2

3. Urto anelastico: il caso più comune, i corpi non rimangono attaccati ma non c’è conservazione dell’energia cinetica

in quanto una parte viene assorbita dall’urto. p ' p '

Si introduce il coefficiente di restituzione 1,fin 2,fin

e = - =-

p ' p '

1,in 2,in

Gravitazione

Leggi di Keplero:

1. I pianeti percorrono orbite ellittiche intorno al sole, che occupa uno dei fuochi

dell’ellissi;

2. La velocità areale con cui il raggio vettore che unisce il sole a un pianeta

descrive l’orbita è costante;

3. Il quadrato del periodo di rivoluzione di ogni pianeta è proporzionale al cubo

2 3

del semiasse maggiore dell’ellissi. T = Ka m m

La forza di attrazione tra la terra e un corpo qualsiasi è: T

F = 2

r

T

3

m

-11 24

dove e

= 6,67x10 [ ] m = 5,98x10 [kg]

T

2

kgs m

Campo gravitazionale: il campo gravitazionale G è generato dalla massa sorgente e vale (analogo per G )

1

G = - 2

1 2

r

m m

mentre la forza gravitazionale che m esercita su m è .

1 2

F = -

1 2 1,2 2

r

m m

L’energia potenziale gravitazionale è 1 2

E = -

P r

Elettromagnetismo

Forza elettrostatica e campo elettrostatico

L’interazione elettromagnetica un cui aspetto particolare è la forza elettrica.

I corpi possono essere distinti in due categorie:

• Isolanti, se capaci di trattenere la carica elettrica laddove è generata;

• Conduttori, se tendono a redistribuire la carica sulla loro superficie.

Esistono due tipi diversi di cariche elettriche: positive e negative. Si ha quindi:

• Due corpi isolati carichi entrambi positivamente o entrambi negativamente si respingono;

• Un corpo isolato positivamente e uno carico negativamente si attraggono;

• Nel processo di carica per strofinio i due corpi acquistano sempre una carica di segno opposto.

Si considerano tre cariche elementari:

• -19

-27

Protone p di carica +e e massa (e=1,6022x10 C)

m = 1,67x10 kg

p

• Neutrone n di massa m ~m

n p

• -31

Elettrone e di carica -e e massa m = 9,11x10 kg

e

Principio di conservazione della carica: in un sistema elettricamente isolato la somma algebrica di tutte le cariche elettriche

rimane costante nel tempo ovvero si conserva. q q 1

Legge di Coulomb: due cariche puntif