Appunti completi per l’esame di Teoria dei segnali (parte 1)

X

f pari ALIENATE

EH

f arctg

Segnali pari e dispari ha solo max

1 50

ha discontinuità

e

verificoseisesnaleigIIIIIIaggettEElfett sommabile

assolutamente

si

Sono rispettati i criteri di esistenza => esiste la trasformata di Fourier

527 7

72 de

è

di

e

YIN

f e

È

It

Divido casi

in 2 7 52

fede

52

Fe Fe jsinatift

id.to

de Cosatift

5 e c poiché

eegIFIE limiti vales

IIII Ivaleopert a

1

7

2

F

75

2 E

de e 1 0

g 1,1

q 7

2

f

f

2T 141711

2

TI 12

1 1 Tft

ft 1

2 é reale e pari => doveva tornare così

La funzione è continua => infatti va a zero come È

9

Lezione

Rampa golf recte

i

se calcoli

dopo ho

lo è sbagliatoqualcosa

non Egia

finita

=> il segnale è assolutamente sommabile

Quindi il segnale soddisfa tutte le condizione del criterio di Dirichlet 51

E

EH

Esentifide SiZIFE

ftp.E ECOSZTIfE

funzionedispari

calcolata su un

intervallo

simmetrico si

rispettoall'origine sinIF costift

jazz I

agg L

L Ecosatiffe

IIII E EEE

ESAT

E

EHI COSTATI p

Me lo aspettavo immaginario puro (va bene!) e dispari: il sinc é pari nel dominio delle frequenza e anche

il coseno é pari ma quel fattore davanti é una funzione dispari => il tutto é dispari

Notiamo che questa funzione presenta due discontinuità.

Come vado a zero per f che tende all’infinito? Succede lo stesso fenomeno, ho discontinuità nella funzione

=> a infinito vado come

Il coseno é una funzione a valori limitati tra -1 e 1 e anche il sinc é una funzione a valori limitati (1 é il

massimo che la funzione assume tra +infinito e -infinito.

Ho una funzione limitata - una funzione limitata moltiplicata per una funzione che va come 1/f quindi X

va a zero come 1/f.

Questa tendenza la vediamo anche con la trasformata di Fourier => per i segnali discontinui ho una

convergenza più lenta a zero rispetto ai segnali continui.

Teoremi sulla trasformata di Fourier

Questi teoremi ci permettono di fare il numero di conti più limitato possibile. DOMANDA DA ORALE

Teorema di linearità alle f

a

Ho due segnali x1(t) e x2(t) che ammettono trasformata di Fourier: se mi scrivo un nuovo segnale che é

combinazione lineare dei due segnali noti x1 e x2, allora posso ottenere la trasformata di Fourier del

segnale combinazione lineare come combinazione lineare delle trasformate di x1 e x2

nella di

serie Fourier

teoremicosì

c'erano

non

Teorema di dualità 52

importante

Ammetto di avere un segnale di cui conosco la trasformata di Fourier allora se considero il segnale X(t)

la sua trasformata di Fourier é x(-f) SENTATTAIETTILINIAN

IETTATA

oooo

oggaffAIIIIIIIIIIe_ammassapostodit

dedBIIIIIIIIIIAlba

al

grazie ifeng.ie Questo meno all’interno del rect sparisce

IIII per che il rect é una funzione pari

vado 0

a

Un segnale limitato nel tempo ha uno spettro infinito

Teorema del ritardo

Abbiamo un segnale di cui conosciamo la trasformata di Fourier.

Vediamo cosa succede se ritardo questo segnale: considero x(t-t )

0

La trasformata di Fourier di un segnale ritardato nel tempo é la stessa trasformata X(f) moltiplicata per

un esponenziale complesso di

la lo

ha nonaltera

traslazionetemporale

modulo unitario spettro ampiez

di fase

lo

varia

mentre spettro 53

doide

ÉIE fuori ho di

I unritardo

Ricorda

F ft

A Atsine

rect se

In

zero

spettrodifase

del inzer

centrato

segnale

stFross

ISTI Si potrebbe anche fare un anticipo => sposto in

avanti il tempo> il rect anticipato di T/2 é:

Cambia solo il valore di t => nel caso di anticipo

o

é negativo. Lo spettro di ampiezza non cambia,

mentre per lo spettro di fase andrei a sommare

una retta con coefficiente angolare +pigreco

ossessI si l'FULTI 54

Ricorda ITZTAT

AFFETTI I

ritardo

Teorema del cambiamento di scala

Prendo l’asse temporale e lo dilato o comprimo -> come faccio? Definisco un segnale y(t)

reale

numero cioè riesco ad avere in un intervallo più

piccolo quello che succede in un intervallo del

segnale normale x(t)

1

0 2

10 0.5

0

AMATI

Non esiste nella realtà un inversione della scala dei tempi ma nell’analisi di un segnale si (ad esempio se

registro un segnale poi posso sistemarlo facendo processing all’indietro). Nel digitale si può quindi fare un

inversione della scala dei tempi. 55

10

azione => a una compressione del segnale nel

dominio del tempo corrisponde una

dilatazione dello spettro e viceversa

E

e di

II

STRAIE II

8 minianpich Lo

α

poiche

TI alfa moltiplica il tempo => divide la frequenza

Dilatazione tempi => compressione spettro Esempio: messaggio vocale -> se lo metto in 2x sto

comprimendo l’asse dei tempi e sento la voce più

acuta perché le frequenze sono più alte

i

FFFETTATTA

basosso 56

sibilatero 7

4 1

6 Etero

esponne positivo

di

Fourier

trasformata E f

C

7 LEI

Teorema della modulazione

Se prendo un segnale di cui conosco la trasformata di Fourier e lo moltiplico per un segnale coseno

ottengo questa espressione Se moltiplico per un coseno il segnale trasla a cavallo

della portante to

e Si creano due repliche del segnale: una sulla frequenza

positiva e una sulla frequenza negativa

Quindi a rotazione di fase del tempo corrisponde

I

una traslazione in frequenza

fEnzan

T.hn

d

V

c 5

In base all’eco di ritorno posso stimare dove si trova l’aereo

Devo emettere un impulso (non può essere un rect semplice perché avrei una banda troppo bassa),

prendo quindi il rect e lo moltiplico per il coseno => ottengo in frequenza un sinc centrato sul coseno 58

Teoremi di derivazione e integrazione If

ft e

X

E

Ititrasformata dite

YE

F TI.IE afepe

icambiaIo di

spettro ampiezza

1 Se derivo un segnale rumoroso vengono

amplificate le componenti in alta frequenza

(ho una risposta che cresce con la frequenza) renziale

bilatero

Teorema di integrazione di

dal

HIHI 59

derivazione

viene teorema

zero

in

Tradaostadas

modo

lingua

Heofoxtalda

HIOYLE

Più la funzione é liscia (derivabile con continuità) e più va a zero rapidamente

1 4 510 0

II

Funzione reale e pari

dixit

derivata

Proviamo a fare la derivata di questa funzione e viene il segnale sotto, posso fare la derivata perché ho

una funzione continua (ottengo una derivata non continua). Della derivata posso fare la trasformata di

Fourier, non è difficile perché ho due rect: uno spostato in avanti di T/2 e uno spostato indietro di T/2.

Poi la trasformata che ottengo la divido per e ho trovato la trasformata dell’impulso triangolare

f

2T rossi L

BlObgna.ee

reee E

assolo

motore

Questa funzione è reale e dispari => la trasformata deve venire immaginaria e dispari

EFFIGIENFEN'EHI

Questa è la trasformata di Fourier dell’impulso triangolo

ft

Atsini continua

Ma trasformata

dispari fa

va zero

a come

vaga

Teorema del prodotto soooooo

tantitrasformata di

Fourier 61

ciiègehia

dei

due integrali

degli

spettri

Involuzione

sef.ie infrequenza

Epovet

when 1 2

e

PRODOTTO segnale

2

segnale SI

vet piu

uhm

La convoluzione serve nella risoluzione di sistemi di equazioni differenziali.

Al prodotto nel tempo corrisponde la convoluzione in frequenza. Il prodotto di convoluzione gode della

proprietà commutativa

Teorema della convoluzione al

Se vado a vedere quanto vale la trasformata di Fourier dell’integrale di convoluzione

Iiiiaggo alfa

Tatfideda

LIG e

a difende Pj Fuasformate

FLEA

111711 e

a

Convoluzione 62

Proprietà:

prodotti

convoluzione a

mm

I 2B

di B metto

al

posto 63

g

moltiplicg sei Voglio trovare la trasformata di Fourier

del quadrato di una funzione

I du

E

Erect rect E

État

TIÈ far

g

2 a

Quando i due segnali non sono

3 sovrapposti il prodotto è zero

4 sovrapposizione

parziale

Entita

Io sovrapposizio

f 2 1 B 2

36 3 4

Ora mettendo tutto insieme: La convoluzione di un segnale

con se stesso é un triangolo

sempre

VI 64

azione 11

Convoluzione di due rect che hanno una base diversa Uso il teorema della convoluzione

Trapezio isoscele => é la convoluzione dei due segnali

I

rettangolari (il segnali erano larghi uno A e l’altro B

=> la convoluzione é larga A+B)

Trasformata del prodotto di convoluzione = prodotto delle trasformate

Convoluzione tra un rettangolo e un esponenziale monolatero 65

Posso usare il teorema del prodotto

e il teorema della convoluzione se

conosco le trasformate dei segnali

9

semplificare EFessione

posso EE 04

ILLLETE

E

Facciamo il calcolo della convoluzione e poi scriviamo la sua trasformata

21T 0 sovrapposizione

parziale

gg te tEfeeIe

ftp.E

è

Sentano

osmo i

Quanto vale la trasformata di Fourier della convoluzione?

Proprietà della trasformata di Fourier: teorema di Plancherel, teorema di Parseval 66

FAFTIIEII

è.HR

Dato il segnale si calcoli il segnale:

4 xH

XLTI

Esercizio 1 è'UITI

LEI

I n

idr

CASI de_ e

f E dt.ee

e e e

e

Intyya

io definite

entrambe

tetale

YLE

Calcolare il prodotto di convoluzione w(t) tra i seguenti segnali x(t) e y(t)

2 e

0

ribalto

L 0

1

E i

1

rect

t OETEL

1

YLE 1

E 1

rect o

yle de

E 1

di t

t

rectle rect

2

LT E

WIT tengo gli

fermo FEY

e

E YLE IL 1 67

1 0

E tte 1 _EEEE 11.1

YI

YU

E 3,1

e IETE

III 1

base I

miei

Cerchiamo ora la trasformata di Fourier di questo, mi aspetto che venga un sinc al quadrato

f

Wtf Y f

E

WLE YLE f

A f

alt Vectle sinc E

f

25